ZHUANTIWU

第1講計數原理與概率

I考情分析］1.主要考查兩個計數原理、排列、組合的簡單應用，時常與概率相結合，以選擇

題、填空題為主.2.二項式定理主要考查通項公式、二項式系數等知識，近幾年也與函數、不

等式、數列交匯考查3概率重點考查古典概型、條件概率的基本應用.

考點一排列與組合問題

【核心提煉】

解決排列、組合問題的一般過程

⑴認真審題，弄清楚要做什么事情；

(2)要做的事情是需要分步還是分類，還是分步分類同時進行，確定分多少步及多少類；

(3)確定每一步或每一類是排列(有序)問題還是組合(無序)問題，元素總數是多少及取出多少元

素.

例1(1)甲、乙、丙、丁四名交通志愿者申請在國慶期間到A,B,C三個路口協助交警值勤,

他們申請值勤路口的意向如下表：

交通路口ABC

志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁

這4名志愿者的申請被批準，且值勤安排也符合他們的意向，若要求A,B,C三個路口都要

有志愿者值勤，則不同的安排方法有()

A.14種B.11種

C.8種D.5種

答案B

解析由題意得，

以C路口為分類標準：。路口值勤分得人數情況有2種，兩個人或一個人，

若C路口值勤分得人數為2,丙、丁在C路口，那么甲、乙只能在4B路口值勤，此時有

兩種安排方法.

若C路口值勤分得人數為1,丙或丁在C路口，具體情況如下.

丙在C路口：

A（丁）8（甲乙）C（丙）；

4甲丁）8（乙）。（丙）；

A（乙丁）8（甲）C（丙）.

丁在C路口：

A（甲乙）B（丙）。（丁）；

4（丙）5（甲乙）C（丁）；

A（甲丙）8（乙）。（丁）；

A（乙）8（甲丙）C（丁）；

A（乙丙）8（甲）C（丁）；

4甲）8（乙丙）。（丁）.

所以一共有2+3+6=11（種）安排方法.

（2）（2022?衡陽模擬）2022年2月4日，中國北京第24屆奧林匹克冬季運動會開幕式以二十四

節氣的方式開始倒計時，創意新穎，驚艷了全球觀眾，某中學為了弘揚我國二十四節氣文化,

特制作出“立春”、“驚蟄”、“清明”、“立夏”、“芒種”、“小暑”六張知識展板分

別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“驚蟄”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚

蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式有多少種？（）

A.192B.240C.120D.288

答案A

解析由題意得，只考慮“立春”和“驚蟄”時，利用捆綁法得到A認孑=240（種），

當“立春”和“驚蟄”相鄰，且“清明”與“驚蟄”也相鄰時，有2種排法，即“驚蟄”在

中間，“立春”“清明”分布兩側，此時再用捆綁法，將三者捆在一起，即2A2=48（種），

所以最終滿足題意的排法為24048=192（種）.

規律方法排列、組合問題的求解方法與技巧

（1）合理分類與準確分步；（2）排列、組合混合問題要先選后排；（3）特殊元素優先安排；（4）相

鄰問題捆綁處理；（5）不相鄰問題插空處理；（6）定序問題除法處理；（7）“小集團”排列問題先

整體后局部；（8）正難則反，等價轉化.

跟蹤演練1（1）2021年1月18號，國家航天局探月與航天工程中心表示，中國首輛火星車

全球征名活動已經完成了初次評審.評審委員會遴選出弘毅、顫麟、哪吒、赤兔、祝融、求

索、風火輪、追夢、天行、星火共10個名稱，將其作為中國首輛火星車的命名范圍.某同學

為了研究這些初選名稱的涵義，計劃從中選3個名稱依次進行分析，其中有1個是祝融，其

余2個從剩下的9個名稱中隨機選取，則祝融不是第3個被分析的情況有（）

A.144種B.336種

C.672種D.1008種

答案A

解析選取的3個名稱中含有祝融的共有C8種不同的情況.分析選取的3個名稱的不同情況

有A弓種，其中祝融是第3個被分析的情況有A之種，故祝融不是第3個被分析的情況有C9（AJ

—A，）=144（種）.

（2）（2022?廣東聯考）現要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去國家高山滑雪館、國家速滑館、首

鋼滑雪大跳臺三個場館參加活動，要求每個場館都有人去，且這四人都在這三個場館，則甲

和乙都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數為（）

A.12B.14C.16D.18

答案B

解析因為甲和乙都沒去首鋼滑雪大跳臺，則安排方法分兩類：

若有兩個人去首鋼滑雪大跳臺，則肯定是丙、丁，即甲、乙分別去國家高山滑雪館與國家速

滑館，

有A2=2（種）；

若有一個人去首鋼滑雪大跳臺，從丙、丁中選，有Q=2（種），然后剩下的一個人和甲、乙被

安排去國家高山滑雪館與國家速滑館，有0A3=6（種），則共有2X6=12（種）.綜上，甲和乙

都沒被安排去首鋼滑雪大跳臺的種數為12+2=14.

考點二二項式定理

【核心提煉】

1.求二項展開式中特定項或項的系數問題的思路

（1）利用通項公式將項寫出并億簡.

（2）令字母的指數符合要求（求常數項時，指數為零：求有理項時,指數為整數等），解出k

（3）代回通項公式即得所求.

2.對于兩個因式的積的特定項問題，一般對某個因式用通項公式，再結合因式相乘，分類討

論求解.

例2（1）（2022?新高考全國1）（1一?。+），）8的展開式中/）￡的系數為_______（用數字作答）.

答案一28

解析（x+y"展開式的通項-5"，2=0,1,…，7,8.令％=6,得乙+[=ax2y6；令

k=5,得石"=C*）$,所以（1—；）a+y）8的展開式中月6的系數為cg—a=-28.

（2）已知（x+￡）〃的展開式中第四項的系數為120,所有奇數項的二項式系數之和為512,則實

數。的值為,展開式中的常數項為.

答案145

解析因為Q+3”的展開式的所有項的二項式系數之和為2”，且奇數項和偶數項的二項式

系數之和相等，所以2"r=512,解得〃=10,

所以展開式中第四項A=GN⑤3,

所以Goa3=12O,解得。=1,

所以的展開式的通項為

力+1=Cf3°一伺*=63°，,

令10-5%=0,解得火=2,

所以展開式中的常數項為C?0=45.

易錯提醒二項式(al?”的通項公式方+i=C￡/r"(A=0,l,2,…，，)它表示的是二項式的

展開式的第攵+1項，而不是第&項；其中C$是二項式展開式的第4+1項的二項式系數，而

二項式的展開式的第2+1項的系數是字母球前的常數，要區分二項式系數與系數.

跟蹤演練2(1)(2022?淄博模擬)若(1一防8=制+0(1+力+。2(1+力2+???+。8(1+4)8,則期等

于()

A.-448B.-112

C.112D.448

答案C

解析(1—x)8=(^—1)8=[(1+x)—2J8

=ao+ai(1+x)+s(1+x>+…+縊(1+x))

〃6=C&X(—2產=112.

(2)(多選)己知(1—------Vai023X2023,則()

A.展開式中各項系數和為1

B.展開式中所有項的二項式系數和為22。23

C.------1~。2023=-2

D.偷+華+翁-I-----玲黑1=0

答案BCD

解析令4=1得g+〃l+…+〃2O23=-1，

???A錯誤；

二項式系數和為C?023+C1023+,?,+Ci82^=22023,

B正確；

令x=0得flo=l,

，0+。2+…+〃2O23=-2,；?C正確;

令有如+?+等H---臉照=0,'D正確.

考點三概率

【核心提煉】

1.古典概型的概率公式

事件A包含的樣本點數

"⑷一試驗的樣本點總數.

2.條件概率公式

設A,8為兩個隨機事件，且P（A）＞0,

P(AB)

如I尸(6|A)=

尸”

3.全概率公式

設4,4,…，4是一組兩兩互斥的事件，AIUA2U???UA〃=0,且HA）X）,Z=1,2,n,

則對任意的事件BC0,有P（B）=￡P（4）P（BA）.

例3（1）（2022?新高考全國I）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質

的概率為（）

I八1八1、2

A6B3C2D-3

答案D

解析從7個整數中隨機取2個不同的數，共有C3=21（種）取法，取得的2個數互質的情況

有{2,3},{2,5},{2,7},{3,4},{3,5},{3,7},{3,8},{4,5},{4,7},{5,6）,{5,7},{5,8},{6,7},

{7,8},共14種，根據古典概型的概率公式，得這2個數互質的概率為1并4與2

（2）（多選）（2022.臨沂模擬）甲和乙兩個箱子中各有質地均勻的9個球，其中甲箱中有4個紅球,

2個白球，3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球，2個黑球，先從甲箱中隨機取出一球放

入乙箱中，分別以4,A2,4表示從甲箱中取出的球是紅球、白球、黑球的事件，再從乙箱

中隨機取出一球，以8表示取出的球是紅球的事件，則（）

A.Ai，A2，4兩兩互斥

2

B.尸（硼2）=§

c.P⑻=3

D.8與4相互獨立

答案AB

解析4,A2,4中任何兩個事件都不可能同時發生，因此它們兩兩互斥，A正確;

24

P(BA2)9X7O2…

P(B|A2)=p.、——-=7,B正確;

尸(A?)￡>

4

-

9

P⑻=P(4)P(34)+P(A2yP(B\A2HP(gP(即3)

4524344

-------

9999

101010

又P(4/)=§X而=§,

4416

產(4網8)=§X0=布

???P(45)HP(4)P(B)

???A|與8不相互獨立，D錯誤.

(3)(2022?益陽調研)甲、乙、丙、丁4名棋手進行象棋比賽，賽程如框圖所示，其中編號為i

的方框表示第i場比賽，方框中是進行該場比賽的兩名棋手，第i場比賽的勝者稱為“勝者廣，

負者稱為“負者產，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為爭

而乙、丙、丁之間相互比賽，每人勝負的可能性相同.則甲獲得冠軍的概率為()

136

A?掾c絲

15-27=81

答案D

解析甲獲得冠軍,則甲參加的比賽結果有三種情況：1勝3勝6勝；1勝3負5勝6勝；1

負4勝5勝6勝.所以甲獲得冠軍的概率為瞅+2乂停)3義；=器

規律方法求概?率的方法與技巧

(I)古典概型用古典概型概率公式求解.

(2)條件概率用條件概率公式及全概率公式求解.

(3)根據事件間關系，利用概率的加法、乘法公式及對應事件的概率公式求解.

跟蹤演練3(1)某市在文明城市建設中，鼓勵市民“讀書好，好讀書，讀好書”.在各閱覽

室設立茶座，讓人們在休閑中閱讀有用有益圖書.某閱覽室為了提高閱讀率，對于周末前來

閱讀的前三名閱讀者各贈送一本圖書，閱讀者從四種不同的書籍中隨意挑選一本，則他們有

且僅有2名閱讀者挑選同一種書的概率為()

14c39

A3B9C-4D16

答案D

解析三人挑選四種書，每人有4種選法，

共有43=64種方法，

恰有2人選同一種書的方法有C4QC4種，

即36種方法，

故恰有2人選同一種書的概率尸嶗=磊.

(2)(多選)一次“智力測試”活動，在備選的10道題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中

的8題，測試時從備選的10道題中隨機抽出3題由甲、乙分別作答，至少答對2題者被評為

“智答能手”.設甲被評為“智答能手”為事件4,乙被評為“智答能手”為事件B,若P(BIA)

=P(8),則下列結論正確的是()

A.P[A\B)=P(A)

1

B.P(B依)=后

C.甲、乙至多有一人評為“智答能手”的概率星!

D.甲、乙至少有一人評為“智答能手”的概率噓

答案ABD

解析由題意，可得P(A)—ci。一120—3，

ar軟C+G56+5614

P(B)~cj()—120_百

由P(8H)=^^=P(B),

所以P(4B)=P(A)P(8),事件A,8相互獨立，

所以「(*5)=今需=孽$1=P(A),故A正確；ZW)=P(5)=!1,

1yOJlyLJI1J

—141

由條件概率的性質得P(B|A)=1~P(B\A)=1——,故B正確；

因為事件A,8相互獨立，所以4與N,T與8,工與石也都相互獨立.甲、乙都被評為

“智答能手”的概率P(A5)=尸(A)P(B)=?=-

所以甲、乙至多有一人被評為“智答能手”的概率為1一2（附=1一,=*故c錯誤;

甲、乙都沒有被評為“智答能手”的概率P（/N）=P（了）/（石）=（1一1）乂（1一|§=卜志

1

45,

____I44

所以甲、乙至少有一人被評為“智答能手”的概率為1-P（A8）=1一點=焉故D正確.

專題強化練

一、單項選擇題

1.（2022?福州質檢）展開式中的常數項為（）

A.-540B.-15

C.15D.135

答案D

解析二項式（3工一古〉展開式的通項公式為

八+尸&（31）*（一右）

6--JI

=（一］）?,36?.12,k&6,MN,

3

由6-

-2M得々=4,

則?5=（-1）4X32XC^=135,

所以（31一七下展開式中的常數項為135.

2.（2022?荊州聯考）某人民醫院召開抗疫總結表彰大會，有7名先進個人受到表彰，其中有一

對夫妻.現要選3人上臺報告事跡，要求夫妻兩人中至少有1人報告，若夫妻同時被選，則

兩人的報告順序需要相鄰，這樣不同的報告方案共有（）

A.80種B.120種

C.130種D.140種

答案D

解析若夫妻中只選一人，

則有CiC?A^=120（種）不同的方案；

若夫妻二人全選，且兩人報告順序相鄰，則有CgA2A2=2O種不同的方案，故總計有140種

不同的方案.

3.(2022?惠州模擬)(a-x)(2+x)6的展開式中x5的系數是12,則實數a的值為()

A.4B.5C.6D.7

答案C

解析利用二項式定理展開得(a—x)(2+x)6=

3—x)(Cg26+C125x+cW23+a23p+a22^+ca2A5+C婚)，

則x5的系數為6》2—。22=12,，a=6.

4.從4雙不同尺碼的鞋子中隨機抽取3只，則這3只鞋子中任意兩只都不成雙的概率為()

A.吉B.,嗎D.1

答案C

解析從4雙不同尺碼的鞋子中隨機抽取3只的方法為CB,這3只鞋子中任意兩只都不成雙，

選取的方法為CiX23,

所以所求概率為叫上C*寧X23甘4.

5.長時間玩手機可能影響視力，據調查，某校學生大約40%的人近視，而該校大約有20%

的學生每天玩手機超過1h,這些人的近視率約為50%.現從每天玩手機不超過】h的學生中

任意調查一名學生，則他近視的概率為()

&2「3

A5Bi

C,8D4

答案B

解析令4="玩手機時間超過Ih的學生”，

4="玩手機時間不超過Ih的學生”，

B=“任意調查一人，此人近視”，

則0=A|UA2,且A|,42互斥,

P(4)=0.2,P(A2)=0.8,P(BHI)=0.5,

P(B)=0.4,

依題意，

P(B)=P(Ai)P(B|Ai)+P(A2)P(BIA2)

=0.2X0.5+0.8XP(5|A2)=0.4,

解得P(B|A2)=|,

3

所以所求的概率為2

o

6.為響應國家鼓勵青年創業的號召，小王開了兩家店鋪，每個店鋪招收了兩名員工，若某節

假口每位員工休假的概率均為多且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一

家店鋪無人休假，則從無人休假的店鋪調劑1人到員工全部休假的店鋪，使得該店鋪能夠正

常營業，否則該店就停業.則兩家店鋪該節假日都能正常營業的概率為()

1「4

A.§B.g

C.§D.g

答案D

解析設兩家店鋪不能都正常營業為事件A,

由題意可知有4人休假的概率為&篇，

有3人休假的概率為弟乂I1.，

1Q1

所以兩家店鋪不能都正常營業的概率為P(4)=—

o1o1y

Q

所以兩家店鋪該節假日都能正常營業的概率為1—P(A)=1.

7.(2022?錦州模擬)定義：兩個正整數小b,若它們除以正整數機所得的余數相等，則稱小

'對于模〃?同余，記作a=b(mod雁),比如:26=16(mod10).已知r=C9o+C]o?8+C?(r82+…

+CI88。，滿足〃=p(mod7),則/)可以是()

A.23B.31

C.32D.19

答案A

解析因為〃=C%+Clo?8+C%-82+…+(21880=(1+8嚴=(7+2嚴，

也即〃=C%70+Clo-79,2+…+CV73+CI&2Q

故〃除以7的余數即為C|82io=l024除以7的余數，1024除以7的余數為2,結合選項知

23除以7的余數也為2,滿足題意，其它選項都不滿足題意.

8.“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一，最早出現在中國南宋數學家楊輝于1261

年所著的《詳解九章算法》一書中，法國數學家帕斯卡在1654年才發現這一規律.“楊輝三

角”揭示了二項式系數在三角形數表中的一種幾何排列規律，如圖所示.則下列關于“楊輝

三角”的結論正確的是()

楊輝三角

第

V廳

0-r

第

/廳

1彳

第

/廳

2V

第

3W/亍

T

第

4-亍

第

5/廳

彳

第

6V廳

-T

第

7亍

第

V廳

8-T

A.C3+CZ+Cg+…+C%=165

B.在第2022行中第1011個數最大

C.第6行的第7個數、第7行的第7個數及第8行的第7個數之和等于第9行的第8個數

D.第34行中第15個數與第16個數之比為2：3

答案C

解析由可得

（3+C4+Cg+???+C，o

=（3+c孑+c3+cg+…+c%—1

=C3+Ci+C?+*,,H-C?o—1

=Cji-i

第2022行中第1011個數為C3明vQH,故B錯誤；

a+C9+C8=G+C$+C8=（3+Q=Cj,

故C正確；

第34行中第15個數與第16個數之比為

.34X33-2134X33X…義20

C**C^=14X13X-XI:15X14X13X-X1

=15：20=3：4,故D錯誤.

二、多項選擇題

9.（2022?山東省實臉中學診斷）已知（a+b）〃的展開式中第五項的二項式系數最大，則〃的值

可以為（）

A.7B.8C.9D.10

答案ABC

解析若展開式中只有第五項的二項式系數最大，則5+1=5,解得八=8；若展開式中第四

項和第五項的二項式系數最大，則亨=5,解得〃=7；若展開式中第五項和第六項的二項

式系數最大，則受=5,解得〃=9.

10.（2022.湖南師大附中模擬）拋擲一紅一綠兩枚質地均勻的骰子，用x表示紅色骰子的點數,

y表示綠色骰子的點數，設事件4=。+尸7"，事件8=“何為奇數”，事件。='">3"，

則下列結論正確的是（）

A.A與B互斥

B.A與B對立

C.P(B|O=|

D.A與C相互獨立

答案AD

解析事件A包含的基本事件為(1,6),(2,5),

(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6種，

所以204)=￡^=不

事件5包含的基本事件為(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9種，

91

則「⑻=而=不

所以A與8互斥但不對立，故A正確，B錯誤；

事件C包含的基本事件數為3X6=18,

則p(c)=6X6=r

P(8C=6><6=75'

所以P(8|O=今怒=尢故C錯誤；

3]

因為P^C)=~=-^,

八-1II

P(A)P(Q=^X-=—,

則P(AC)=P(A>P(。，所以A與。相互獨立，故D正確.

11.(2022?襄陽模擬)A,B,C,D,E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有()

A.若A,B兩人站在一起，則共有24種排法

B?若A,3不相鄰，則共有72種排法

C.若A在B左邊,則共有60種排法

D.若A不站在最左邊，5不站在最右邊，則共有78種排法

答案BCD

解析對于A,先將A,B排列，再看成一個元素，和剩余的3人，一共4個元素進行全排

列，由分步乘法計數原理可知，共有A^d=48(種)，

所以A不正確；

對于B,先將A,8之外的3人全排列，產生4個空，再將A,B兩元素插空，所以共有A9Al

=72(種)，所以B正確；

對于C,5人全排列，而其中A在3的左邊和A在B的右邊是等可能的，所以A在B的左邊

的排法有2A§=60(種)，所以C正確；

對于D,對A分兩種情況：一是若A站在最右邊，則剩下的4人全排列有山種，另一個是A

不站在最左邊也不站在最右邊，則A從中間的3個位置中任選1個，然后8從除最右邊的3

個位置中任選1個，最后剩下3人全排列即可，由分類加法計數原理可知，共有A?+A4A4AJ

=78(種)，所以D正確.

12.甲、乙兩個均勻且完全一樣的四面體，每個面都是正三角形，甲四個面上分別標有數字

123,4,乙四個面上分別標有數字567,8,同時拋擲這兩個四面體一次，記事件A為“兩個

四面體朝下一面的數字之和為奇數”，事件8為“甲四面體朝下一面的數字為奇數”，事件

。為“乙四面體朝下一面的數字為偶數”，則下列結論正確的是()

A.P(A)=P(B)=P(。

B.P(BC)=P(AC)=P(AB)

C.P(ABQ=1

o

D.P(B\A)=^

答案ABD

解析由已知得P(4)=2(X(2+：2X-j巖1，

qqq-乙

21

P(B)=P(O=W=Q

所以P(A)=尸(B)=P(O，

則A中結論正確；

221

P(AB)=^X-=-

P(AC)=；,P(BC)=：,

所以P(BC)=P(AC)=P(AB)t則B中結論正確；

事件A,B,。不相互獨立，故P(ABC)=!錯誤，即C中結論錯誤；

O

1

-

41

--

-12

尸(附=-則D中結論正確.

2

三、填空題

13.(2022?益陽調研)為迎接新年到來，某中學“唱響時代強音，放飛青春夢想”元旦文藝晚

會如期舉行.校文娛委員會要在己經排好的8個學生節目中增加2個教師節目，若保持原來

的8個節目的出場順序不變，則不同排法的種數為.

答案90

解析總共10個節目排順序，先把老師的節目排好，剩下的8個學生的節目按原來的順序即

可，故共有Afo=9O種不同的排法.

14.（2022?全國甲卷）從正方體的8個頂點中任選4個，則這4個點在同一個平面的概率為

答案蔡

解析從正方體的8個頂點中任選4個，

取法有0=70（種）.

其中4個點共面有以下兩種情況：

⑴所取的4個點為正方體同一個面上的4個頂點，如圖1,有6種取法；

（2）所取的4個點為正方體同一個對角面上的4個頂點，如圖2,也有6種取法.

故4個點在同一個平面共有6+6=12（種）情況.

所以所取的4個點在同一個平面的概率尸=器=5

15.（2022?濱州模擬）（x+y—z）6的展開式中^z3的系數是.

答案一60

解析依題意不立3的系數為（-1）3=-60.

16.（2022?廣州模擬）如圖，在數軸上，一個質點在外力的作用下，從原點。出發，每次等可

能地向左或向右移動一個單位，共移動6次，則事件“質點位于一2的位置”的概率為

-6-5-4-3-2-10123456x

答案—

u木64

解析由圖可知，若想通過6次移動最終停在一2的位置上，則必然需要向右移動2次且向

左移動4次，記向右移動一次為R,向左移動一次為，則該題可轉化為RR〃〃六個字母

排序的問題，故落在一2上的排法種數為彘=15,所以移動結果的總數為26=64,所有落

在一2上的概率為叫號

第2講隨機變量及其分布

［考情分析］離散型隨機變量的分布列、均值、方差和概率的計算問題常常結合在一起進行

考查，重點考查超幾何分布、二項分布及正態分布，以解答題為主，中等難度.

考點一分布列的性質及應用

【核心提煉】

離散型隨機變量x的分布列為

???…

Xx\X2Xixn

…???

pPiP2PiPn

則(l)p,20,i=l,2,…，n.

(2)pi+p2H-----hp〃=l.

(3)E(X)=.vipi------\-Xip,-\------\~xnpn.

22

(4)D(X)=[.ri—E(X)Fp]+e—E(X)]p2H-----F[xn—E(X)]pn.

(5)若Y=aX+h,

則E(Y)=aE(X)+b,

D(Y)=a2D(X).

1

例1(1)(2022?保定模擬)若離散型隨機變量X的分布列為P(X=Z)=ak)g2—i—(1W2W7,

K

4￡Z),則尸(2VXW5)等于()

A-4B.|

C.1D.|log21

答案C

&+1

解析因為P(X=Q=Hog2一廠

=4[10g2(2+1)—10g2k],

P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=7)=1,

所以fl(log22—logz1+logz3—log224-----FlogzS-log27)=1,

解得a=g,所以

P(2vXW5)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)

=|log21+|log4+|log2|=|.

(2)(2022?煙臺模擬)已知隨機變星C的分布列如下表所示，旦滿足比0一0,則下列方差值中最

大的是()

4-102

1

Pa2b

A.D?B.D(iei)

C.D(2f+1)D.0(3?—2)

答案D

a+b+；=l,

一

{-lX?4-0x1+2X/>=0,

所以4的分布列為

-102

I2I

P

326

則D(<3=1x(-1-0)24-^X(0-0)2+1x(2—0)2=1,

則。(*+1)=22。(。=4；

同的分布列為

同102

2\_\_

P

326

II?

則上(廊=1X]+2X%=?

既?4(1_全+乂0_款+3(2_2去

所以0(3?-2)=32。(|4)=5,

所以。(3?—2)的值最大.

規律方法分布列性質的兩個作用

(1)利用分布列中各事件概率之和為1的性質可求參數的值及檢查分布列的正確性.

(2)隨機變量X所取的值分別對應的事件是兩兩互斥的，利用這一點可以求隨機變量在某個范

圍內的概率.

跟蹤演練1(1)(多選)(2022?廣州調研)投資甲、乙兩種股票，每股收益的分布列分別如表1

和表2所示.

表1股票甲收益的分布列

收益X/元-102

概率0.10.30.6

表2股票乙收益的分布列

收益力元012

概率0.30.40.3

則下列結論中正確的是()

A.投資股票甲的期望收益較小

B,投資股票乙的期望收益較小

C.投資股票甲比投資股票乙的風險高

D.投資股票乙比投資股票甲的風險高

答案BC

解析由題意知，

E(X)=-1X0.1+0X03+2X0.6=1.1,

方差D(X)=(-l-I.l)2X0.H-(-U)2X0.3+(2-l.l)2X0.6=1.29,

E(r)=0X0.3+lX0.4+2X0.3=l,

方差D(y)=(O-l)2XO.3+(l-l)2XO.4+(2-l)2XO.3=O.6,

所以E(x)>E(y),D(x)>D(y),則投資股票乙的期望收益較小，投資股票甲比投資股票乙的風

險高.

(2)(2022?河南三市聯考)甲、乙、丙三人參加2022年冬奧會北京、延慶、張家口三個賽區志

愿服務活動，若每人只能選擇一個賽區，且選擇其中任何一個賽區是等可能的.記X為三人

選中的賽區個數，丫為三人沒有選中的賽區個數，貝4()

A.E(X)=E(Y),D(X)=D(Y)

B.E(X)=E(Y),D(X)^D(F)

C.E(X)^E(Y),D(X)#D(Y)

D.E(X)^E(Y),Dm=D(Y)

答案D

解析由題意得X的可能取值為1,2,3,

則尸(X=D=曷=/,

r(A—Z)—33~y

A39

P(X=3)=j=g,

12219

:.E(X)=1X-+2X-+3X^=—,

WO=(1-S%+(2-y>x,+(3背

又X+y=3,?J=3-X,

198

AE(y)=3-￡：(X)=3-y=9，

D(r)=(-1)2D(X)=D(X),故選D.

考點二隨機變量的分布列

【核心提煉】

1.二項分布

一般地，在〃重伯努利試臉中，設每次試驗中事件4發生的概率為p(Ovp<l),用X表示事件

A發生的次數，則X的分布列為尸(X=A)=G//(l-p)”r,&=0,1,2,…，

E(X)=np,D(X)=np(\—p).

2.超幾何分布

一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品，從N件產品中阿機抽取〃件(不放回)，

用X表示抽取的〃件產品中的次品數，則X的分布列為P(X=￡)=,k=m,w+l,m

I#

+2,…，匚其中n,N,MEN*,MWN,nWN,加=max{0,〃-N+M},r=min{n,M}.E(X)

M

考向1相互獨立事件

例2(2022?全國甲卷)甲、乙兩個學校進行體育比賽，比賽共設三個項目，每個項目勝方得

10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結束后，總得分高的學校獲得冠軍.已知甲學

校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5,0.408,各項目的比賽結果相互獨立.

(1)求甲學校獲得冠軍的概率；

(2)用X表示乙學校的總得分，求X的分布列與期望.

解(1)設甲在三個項目中獲勝的事件依次記為A,B,C,

所以甲學校獲得冠軍的概率為

P=P(ABC)+P(_?BC)+P(A/O+P(ABF)

=0.5X0,4X0.8+(l-0.5)X0.4X0.8+0.5X(l-0.4)X0.8+0.5X0.4X(l-0.8)

=0.16+0.16+0.24+0.04=0.6.

(2)依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,

所以P(X=0)=0.5X0.4X0.8=0.16,

P(X=10)=0.5X0.4X0.8+0.5X0.6X0.8+0.5X0.4X0.2=0.44,

P(X=20)=0.5X0.6X0.8+0.5X0.4X0.2+0.5X0.6X0.2=034,

P(X=30)=0.5X0.6X0.2=0.06.

則X的分布列為

X0102030

P0.160.440.340.06

E(X)=0X0.16+10X0.44+20X0.34+30X0.06=13.

考向2超幾何分布

例3(2022?漳州質檢)北京冬奧會某個項目招募志愿者需進行有關專業、禮儀及服務等方面

知識的測試，測試合格者錄用為志愿者.現有備選題10道，規定每次測試都從備選題中隨機

抽出3道題進行測試，至少答對2道題者視為合格，已知每位參加筆試的人員測試能否合格

是相互獨立的.若甲能答對其中的6道題，乙能答對其中的8道題.求：

(1)甲、乙兩人至多一人測試合格的概率；

(2)甲答對的試題數X的分布列和均值.

解(1)根據題意，甲測試合格的概率為

ac+cb60+202

--=120=y

乙測試合格的概率為

Ci-Cj+Q_56+56_14

--=120=l5*

21428

故甲、乙兩人都測試合格的概率為§乂正=痣，

則甲、乙兩人至多一人測試合格的概率為

一駕=上

14545,

(2)由題可知,甲答對的試題數X可以取0』,2,3,

C141

又"、=0)=瓦=而=而，

C&<3363

P(X=1)=--,

C?o12010

P(X_2)—c?()—]20—2’

P(X-3)-C?()-120-6,

故X的分布列為

X0123

131

P

30U)2

31IQ

則E(X)=1X而+2X]+3Xq=5.

考向3二項分布

例4(2022?湖北聯考)某中學將立德樹人融入到教育的各個環節，開展“職業體驗，導航人

生”的社會實踐教育活動，讓學生站在課程“中央”.為了更好地了解學生的喜好情況，根

據學校實際將職業體驗分為：救死扶傷的醫務類、除暴安良的警察類、百花齊放的文化類、

公平正義的法律類四種職業體驗類型，并在全校學生中隨機抽取100名學生調查意向選擇喜

好類型，統計如下：

類型救死扶傷的醫務類除暴安良的警察類百花齊放的文化類公平正義的法律類

人數30202030

在這100名學生中，隨機抽取了3名學生，并以統計的頻率代替職業意向類型的概率(假設每

名學生在選擇職業類型時僅能選擇其中一類，且不受其他學生選擇結果的影響).

(1)求救死扶傷的醫務類、除暴安良的警察類這兩種職業類型在這3名學生中都有選擇的概率;

(2)設這3名學生中選擇除暴安良的警察類的隨機數為X,求X的分布列與均值.

解(1)由題意設職業體驗選擇救死扶傷的醫務類、除暴安良的警察類、百花齊放的文化類、

31

公平正義的法律類的概率分別為尸(A),P?P(C),P(D),則易知P(A)=m，P(8)=g,

P(O=〃,P(D)=元,

所以救死扶傷的醫務類、除暴安良的警察類這兩類職業類型在這3名學生中都有選擇的概率

為

Pi=A』P(A)?尸(B)[l—尸(A)—P(8)]+C4P(A)P(B)2+(3P(4)2?尸(B)

=端■般2+啕g

27

100-

(2)由題知選擇除暴安良的警察類的概率為P(8)=全

這3名學生中選擇除暴安良的警察類的隨機數X的可能取值為0』,2,3,X?43,￡),

則P(X=0=CSP(B)/[l-P(B)]3-/(Z=0,l,2,3),

所以X的分布列為

X0123

6448121

p125125125125

13

所以X的均值為E(X)=3X-=^.

規律方法求隨機變量X的均值與方差的方法及步驟

(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能的全部取值；

(2)求X取每個值時對應的概率，寫出隨機變量X的分布列：

(3)由均值和方差的計算公式，求得均值E(X),方差O(X)：

(4)若隨機變量X的分布列為特殊分布列(如：兩點分布、二項分布、超幾何分布)，可利用特

殊分布列的均值和方差的公式求解.

跟蹤演練2(2022?廣東聯考)如圖，某市有南、北兩條城市主干道，在出行高峰期，北干道

有M，M,NA,四個交通易堵塞路段，它們被堵塞的概率都是小南干道有S，S2,兩

個交通易堵塞路段，它們被堵塞的概率分別轉，余某人在高峰期駕車從城西開往城東，假設

以上各路段是否被堵塞互不影響.

—.—電——

SJ§2

⑴求北干道的N“M，M，M四個易堵塞路段至少有一個被堵塞的概率；

(2)若南干道被堵塞路段的個數為X,求X的分布列及均值E(X)；

(3)若按照“平均被堵塞路段少的路線是較好的高峰期出行路線”的標淮，則從城西開往城東

較好的高峰期出行路線是哪一條？請說明理由.

解(1)記北干道的M,M,M,M四個易堵塞路段至少有一個被堵塞為事件A,

WP(A)=l-(l-j)*=l-g=§.

(2)由題意可知X的可