秘密★啟用前2024年遂寧市初中畢業暨高中階段學校招生考試數學試卷試卷滿分150分考試時間120分鐘注意事項：1．答題前，考生務必將自己的學校、姓名、準考證號用0.5毫米的黑色墨跡簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.下列各數中，無理數是（）A. B. C. D.02.古代中國諸多技藝均領先世界．榫卯結構就是其中之一，榫卯是在兩個木構件上所采用的一種凹凸結合的連接方式．凸出部分叫榫（或榫頭），凹進部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到連接作用，右圖是某個部件“榫”的實物圖，它的主視圖是（）A. B. C. D.3.中國某汽車公司堅持“技術為王，創新為本”的發展理念，憑借研發實力和創新的發展模式在電池、電子、乘用車、商用車和軌道交通等多個領域發揮著舉足輕重的作用．2024年第一季度，該公司以萬輛的銷售成績穩居新能源汽車銷量榜榜首，市場占有率高達．將銷售數據用科學記數法表示為（）A. B. C. D.4.下列運算結果正確的是（）A. B.C. D.5.不等式組的解集在數軸上表示為（）A. B. C. D.6.佩佩在“黃娥古鎮”研學時學習扎染技術，得到了一個內角和為的正多邊形圖案，這個正多邊形的每個外角為（）A. B. C. D.7.分式方程的解為正數，則的取值范圍（）A. B.且C D.且8.工人師傅在檢查排污管道時發現淤泥堆積．如圖所示，排污管道的橫截面是直徑為米的圓，為預估淤泥量，測得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬為米，請計算出淤泥橫截面的面積（）A. B. C. D.9.如圖1，與滿足，，，，我們稱這樣的兩個三角形為“偽全等三角形”如圖2，在中，，點在線段上，且，則圖中共有“偽全等三角形”（）A1對 B.2對 C.3對 D.4對10.如圖，已知拋物線（a、b、c為常數，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（不含端點），則下列結論正確的有多少個（）①；②；③；④若方程兩根為，則．A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）11.分解因式：______．12.反比例函數的圖象在第一、三象限，則點在第______象限．13.體育老師要在甲和乙兩人中選擇人參加籃球投籃大賽，下表是兩人次訓練成績，從穩定的角度考慮，老師應該選______參加比賽．甲乙14.在等邊三邊上分別取點，使得，連結三點得到，易得，設，則如圖①當時，如圖②當時，如圖③當時，……直接寫出，當時，______．15.如圖，在正方形紙片中，是邊的中點，將正方形紙片沿折疊，點落在點處，延長交于點，連結并延長交于點．給出以下結論：①為等腰三角形；②為的中點；③；④．其中正確結論是______．（填序號）三、解答題（本大題共10個小題，共90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）16.計算：．17.先化簡：，再從1，2，3中選擇一個合適的數作為的值代入求值．18.康康在學習了矩形定義及判定定理1后，繼續探究其它判定定理．（1）實踐與操作

①任意作兩條相交的直線，交點記為O；②以點為圓心，適當長為半徑畫弧，在兩條直線上分別截取相等的四條線段；③順次連結所得的四點得到四邊形．于是可以直接判定四邊形是平行四邊形，則該判定定理是：______．（2）猜想與證明通過和同伴交流，他們一致認為四邊形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一種判定方法：對角線相等的平行四邊形是矩形．并寫出了以下已知、求證，請你完成證明過程．已知：如圖，四邊形是平行四邊形，．求證：四邊形是矩形．19.小明的書桌上有一個型臺燈，燈柱高，他發現當燈帶與水平線夾角為時（圖1），燈帶的直射寬為，但此時燈的直射寬度不夠，當他把燈帶調整到與水平線夾角為時（圖2），直射寬度剛好合適，求此時臺燈最高點到桌面的距離．（結果保留1位小數）（）20.某酒店有兩種客房、其中種間，種間．若全部入住，一天營業額為元；若兩種客房均有間入住，一天營業額為元．（1）求兩種客房每間定價分別是多少元？（2）酒店對種客房調研發現：如果客房不調價，房間可全部住滿；如果每個房間定價每增加元，就會有一個房間空閑；當種客房每間定價為多少元時，種客房一天的營業額最大，最大營業額為多少元？21.已知關于的一元二次方程．（1）求證：無論取何值，方程都有兩個不相等實數根；（2）如果方程的兩個實數根為，且，求的值．22.遂寧市作為全國旅游城市，有眾多著名景點，為了解“五一”假期同學們的出游情況，某實踐探究小組對部分同學假期旅游地做了調查，以下是調查報告的部分內容，請完善報告：xx小組關于xx學校學生“五一”出游情況調查報告數據收集調查方式抽樣調查調查對象xx學校學生數據的整理與描述景點A：中國死海B：龍鳳古鎮C：靈泉風景區D：金華山E：未出游F：其他數據分析及運用（1）本次被抽樣調查的學生總人數為______，扇形統計圖中，______，“：龍鳳古鎮”對應圓心角的度數是______；（2）請補全條形統計圖；（3）該學校總人數為人，請你估計該學校學生“五一”假期未出游人數；（4）未出游中的甲、乙兩位同學計劃下次假期從、、、四個景點中任選一個景點旅游，請用樹狀圖或列表的方法求出他們選擇同一景點的概率．23.如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于兩點．（1）求一次函數和反比例函數的表達式；（2）根據圖象直接寫出時，的取值范圍；（3）過點作直線，交反比例函數圖象于點，連結，求的面積．24.如圖，是的直徑，是一條弦，點是的中點，于點，交于點，連結交于點．（1）求證：；（2）延長至點，使，連接．①求證：是的切線；②若，，求的半徑．25.二次函數的圖象與軸分別交于點，與軸交于點，為拋物線上的兩點．（1）求二次函數的表達式；（2）當兩點關于拋物線對軸對稱，是以點為直角頂點直角三角形時，求點的坐標；（3）設的橫坐標為，的橫坐標為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．秘密★啟用前2024年遂寧市初中畢業暨高中階段學校招生考試數學試卷試卷滿分150分考試時間120分鐘注意事項：1．答題前，考生務必將自己的學校、姓名、準考證號用0.5毫米的黑色墨跡簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.下列各數中，無理數是（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】【分析】本題考查了無理數的概念，根據無限不循環小數為無理數即可求解，解答本題的關鍵是掌握無理數的三種形式：1、開方開不盡的數，2、無限不循環小數，3、含有的數．【詳解】解：，，0都是有理數，是無理數，故選：C．2.古代中國諸多技藝均領先世界．榫卯結構就是其中之一，榫卯是在兩個木構件上所采用的一種凹凸結合的連接方式．凸出部分叫榫（或榫頭），凹進部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到連接作用，右圖是某個部件“榫”的實物圖，它的主視圖是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了三視圖，根據從正面看到的圖形即可求解，掌握三視圖的畫法是解題的關鍵．【詳解】解：由實物圖可知，從從正面看到的圖形是，故選：．3.中國某汽車公司堅持“技術為王，創新為本”的發展理念，憑借研發實力和創新的發展模式在電池、電子、乘用車、商用車和軌道交通等多個領域發揮著舉足輕重的作用．2024年第一季度，該公司以萬輛的銷售成績穩居新能源汽車銷量榜榜首，市場占有率高達．將銷售數據用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了科學記數法的表示方法，根據科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數即可求解，解題的關鍵要正確確定的值以及的值．【詳解】解：萬，故選：．4.下列運算結果正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了整式的運算，根據合并同類項法則、同底數冪的乘法、積的乘方運算、平方差公式分別運算即可判斷求解，掌握整式的運算法則是解題的關鍵．詳解】解：、，該選項錯誤，不合題意；、，該選項錯誤，不合題意；、，該選項錯誤，不合題意；、，該選項正確，符合題意；故選：．5.不等式組的解集在數軸上表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了在數軸上表示不等式組的解集，先求出不等式組的解集，再根據解集在數軸上表示出來即可判斷求解，正確求出一元一次不等式組的解集是解題的關鍵．【詳解】解：，由得，，由得，，∴不等式組的解集為，∴不等式組的解集在數軸上表示為，故選：．6.佩佩在“黃娥古鎮”研學時學習扎染技術，得到了一個內角和為的正多邊形圖案，這個正多邊形的每個外角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了正多邊形的外角，設這個正多邊形的邊數為，先根據內角和求出正多邊形的邊數，再用外角和除以邊數即可求解，掌握正多邊形的性質是解題的關鍵．【詳解】解：設這個正多邊形的邊數為，則，∴，∴這個正多邊形的每個外角為，故選：．7.分式方程的解為正數，則的取值范圍（）A. B.且C. D.且【答案】B【解析】【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據分式方程解的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關鍵．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得，，解得，∵分式方程的解為正數，∴，∴，又∵，即，∴，∴的取值范圍為且，故選：．8.工人師傅在檢查排污管道時發現淤泥堆積．如圖所示，排污管道的橫截面是直徑為米的圓，為預估淤泥量，測得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬為米，請計算出淤泥橫截面的面積（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質，求不規則圖形的面積，過點作于，由垂徑定理得，由勾股定理得，又根據圓的直徑為米可得，得到為等邊三角形，即得，再根據淤泥橫截面的面積即可求解，掌握垂徑定理及扇形面積計算公式是解題的關鍵．【詳解】解：過點作于，則，，∵圓的直徑為米，∴，∴在中，，∵，∴為等邊三角形，∴，∴淤泥橫截面的面積，故選：．9.如圖1，與滿足，，，，我們稱這樣的兩個三角形為“偽全等三角形”如圖2，在中，，點在線段上，且，則圖中共有“偽全等三角形”（）A.1對 B.2對 C.3對 D.4對【答案】D【解析】【分析】本題考查了新定義，等邊對等角，根據“偽全等三角形”的定義可得兩個三角形的兩邊相等，一個角相等，且這個角不是夾角，據此分析判斷，即可求解．【詳解】解：∵，∴，在和中，，在中，，中，，在中，綜上所述，共有4對“偽全等三角形”，故選：D．10.如圖，已知拋物線（a、b、c為常數，且）的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，與軸的交點在，之間（不含端點），則下列結論正確的有多少個（）①；②；③；④若方程兩根為，則．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】本題主要考查二次函數和一次函數的性質，根據題干可得，，，即可判斷①錯誤；根據對稱軸和一個交點求得另一個交點為，即可判斷②錯誤；將c和b用a表示，即可得到，即可判斷③正確；結合拋物線和直線與軸得交點，即可判斷④正確．【詳解】解：由圖可知，∵拋物線的對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，∴，，則，∵拋物線與軸的交點在，之間，∴，則，故①錯誤；設拋物線與軸另一個交點，∵對稱軸為直線，且該拋物線與軸交于點，∴，解得，則，故②錯誤；∵，，，∴，解得，故③正確；根據拋物線與軸交于點和，直線過點和，如圖，方程兩根為滿足，故④正確；故選：B．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）11.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了提公因式分解因式，提公因式a即可解答．【詳解】解：故答案為：12.反比例函數的圖象在第一、三象限，則點在第______象限．【答案】四##【解析】【分析】本題考查了反比例函數的性質，點所在的象限，根據反比例函數的性質得出，進而即可求解．【詳解】解：∵反比例函數的圖象在第一、三象限，∴∴∴點在第四象限，故答案為：四．13.體育老師要在甲和乙兩人中選擇人參加籃球投籃大賽，下表是兩人次訓練成績，從穩定的角度考慮，老師應該選______參加比賽．甲乙【答案】甲【解析】【分析】本題考查了方差，分別求出甲乙的方差即可判斷求解，掌握方差計算公式是解題的關鍵．【詳解】解：甲的平均數為，∴，乙的平均數為，∴，∵，∴甲成績更穩定，∴應選甲參加比賽，故答案為：甲．14.在等邊三邊上分別取點，使得，連結三點得到，易得，設，則如圖①當時，如圖②當時，如圖③當時，……直接寫出，當時，______．【答案】##0.73【解析】【分析】本題主要考查數字規律性問題，首先根據已知求得比例為n時，，代入即可．【詳解】解：根據題意可得，當時，，則當時，，故答案為：．15.如圖，在正方形紙片中，是邊的中點，將正方形紙片沿折疊，點落在點處，延長交于點，連結并延長交于點．給出以下結論：①為等腰三角形；②為的中點；③；④．其中正確結論是______．（填序號）【答案】①②③【解析】【分析】設正方形邊長為，，根據折疊的性質得出，根據中點的性質得出，即可判斷①，證明四邊形是平行四邊形，即可判斷②，求得，設，則，勾股定理得出，進而判斷③，進而求得，，勾股定理求得，進而根據余弦的定義，即可判斷④，即可求解．【詳解】解：如圖所示，∵為的中點，∴設正方形的邊長為，則∵折疊，∴，∴∴是等腰三角形，故①正確；設，∴∴∴∴又∵∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，即是的中點，故②正確；∵，∴在中，，∵∴設，則，∴∴∴，，∴，故③正確；連接，如圖所示，∵，，又∴∴又∵∴∴又∵∴∵∴∴∴在中，∴，故④不正確故答案為：①②③．【點睛】本題考查了正方形與折疊問題，解直角三角形，全等三角形的性質與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．三、解答題（本大題共10個小題，共90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）16.計算：．【答案】【解析】【分析】此題主要考查了實數運算及二次根式的運算，直接利用負整數指數冪的性質、特殊角的三角函數值、絕對值的性質、算術平方根分別化簡得出答案，正確化簡各數是解題關鍵．【詳解】解：．17.先化簡：，再從1，2，3中選擇一個合適的數作為的值代入求值．【答案】；【解析】【分析】本題考查了分式化簡求值；先根據分式的加減計算括號內的，同時將除法轉化為乘法，再根據分式的性質化簡，最后根據分式有意義的條件，將字母的值代入求解．【詳解】解：∵∴當時，原式18.康康在學習了矩形定義及判定定理1后，繼續探究其它判定定理．（1）實踐與操作

①任意作兩條相交的直線，交點記為O；②以點為圓心，適當長為半徑畫弧，在兩條直線上分別截取相等的四條線段；③順次連結所得的四點得到四邊形．于是可以直接判定四邊形是平行四邊形，則該判定定理是：______．（2）猜想與證明通過和同伴交流，他們一致認為四邊形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一種判定方法：對角線相等的平行四邊形是矩形．并寫出了以下已知、求證，請你完成證明過程．已知：如圖，四邊形是平行四邊形，．求證：四邊形是矩形．【答案】（1）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由作圖結合對角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得答案；（2）先證明，再證明，可得，從而可得結論．【小問1詳解】解：由作圖可得：，，∴四邊形是平行四邊形，該判定定理是：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；【小問2詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴四邊形是矩形．【點睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質，矩形的判定，全等三角形的判定與性質，掌握平行四邊形與矩形的判定方法是關鍵．19.小明的書桌上有一個型臺燈，燈柱高，他發現當燈帶與水平線夾角為時（圖1），燈帶的直射寬為，但此時燈的直射寬度不夠，當他把燈帶調整到與水平線夾角為時（圖2），直射寬度剛好合適，求此時臺燈最高點到桌面的距離．（結果保留1位小數）（）【答案】此時臺燈最高點到桌面的距離為【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用；在圖1中，，在圖2中求得，進而根據燈柱高，點到桌面的距離為，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作交于點，在圖1中，∵∴∴四邊形是平行四邊形，∴在中，在圖2中，過點作于點，∴∵燈柱高，點到桌面的距離為答：此時臺燈最高點到桌面的距離為．20.某酒店有兩種客房、其中種間，種間．若全部入住，一天營業額為元；若兩種客房均有間入住，一天營業額為元．（1）求兩種客房每間定價分別是多少元？（2）酒店對種客房調研發現：如果客房不調價，房間可全部住滿；如果每個房間定價每增加元，就會有一個房間空閑；當種客房每間定價為多少元時，種客房一天的營業額最大，最大營業額為多少元？【答案】（1）種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元；（2）當種客房每間定價為元時，種客房一天的營業額最大，最大營業額為元．【解析】【分析】（）設種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元，根據題意，列出方程組即可求解；（）設種客房每間定價為元，根據題意，列出與的二次函數解析式，根據二次函數的性質即可求解；本題考查了二元一次方程組的應用，二次函數的應用，根據題意，正確列出二元一次方程組和二次函數解析式是解題的關鍵．【小問1詳解】解：設種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元，由題意可得，，解得，答：種客房每間定價為元，種客房每間定價為為元；【小問2詳解】解：設種客房每間定價為元，則，∵，∴當時，取最大值，元，答：當種客房每間定價為元時，種客房一天營業額最大，最大營業額為元．21.已知關于的一元二次方程．（1）求證：無論取何值，方程都有兩個不相等的實數根；（2）如果方程的兩個實數根為，且，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）或．【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數的關系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．（1）根據根的判別式證明恒成立即可；（2）由題意可得，，，進行變形后代入即可求解．【小問1詳解】證明：，∵無論取何值，，恒成立，∴無論取何值，方程都有兩個不相等的實數根．【小問2詳解】解：∵是方程的兩個實數根，∴，，∴，解得：或．22.遂寧市作為全國旅游城市，有眾多著名景點，為了解“五一”假期同學們的出游情況，某實踐探究小組對部分同學假期旅游地做了調查，以下是調查報告的部分內容，請完善報告：xx小組關于xx學校學生“五一”出游情況調查報告數據收集調查方式抽樣調查調查對象xx學校學生數據的整理與描述景點A：中國死海B：龍鳳古鎮C：靈泉風景區D：金華山E：未出游F：其他數據分析及運用（1）本次被抽樣調查的學生總人數為______，扇形統計圖中，______，“：龍鳳古鎮”對應圓心角的度數是______；（2）請補全條形統計圖；（3）該學校總人數為人，請你估計該學校學生“五一”假期未出游的人數；（4）未出游中的甲、乙兩位同學計劃下次假期從、、、四個景點中任選一個景點旅游，請用樹狀圖或列表的方法求出他們選擇同一景點的概率．【答案】（1），，；（2）見解析；（3）；（4）【解析】【分析】本題考查了條形統計圖與扇形統計圖信息關聯，樣本估計總體，列表法求概率；（1）根據組的人數除以占比，即可得出總人數，進而求得組的人數，得出的值，根據的占比乘以，即可得出對應圓心角的度數；（2）根據組的人數補全統條形計圖，（3）用乘以組的占比，即可求解．（4）用列表法求概率，即可求解．【詳解】解：（1）本次被抽樣調查的學生總人數為，組的人數為：，∴，∴B：龍鳳古鎮”對應圓心角的度數是故答案為：，，．（2）根據（1）可得組人數為人，補全統計圖，如圖所示，（3）解：答：請你估計該學校學生“五一”假期未出游的人數為人；（4）列表如下，

共有種等可能結果，其中他們選擇同一景點的情形有種，∴他們選擇同一景點的概率為23.如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于兩點．（1）求一次函數和反比例函數的表達式；（2）根據圖象直接寫出時，的取值范圍；（3）過點作直線，交反比例函數圖象于點，連結，求的面積．【答案】（1）反比例函數表達式為，一次函數表達式為（2）或（3）【解析】【分析】（）利用待定系數法即可求解；（）根據函數圖象即可求解；（）如圖，設直線與軸相交于點，過點作軸于點，過點作軸于點，求出點坐標，再根據關于原點對稱的點的坐標特征求出點坐標，根據計算即可求解；本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，反比例函數的性質，利用待定系數法求出函數解析式是解題的關鍵．【小問1詳解】解：把代入得，，∴，∴反比例函數表達式為，把代入得，，∴，∴，把、代入得，，解得，∴一次函數表達式為；【小問2詳解】解：由圖象可得，當時，的取值范圍為或；【小問3詳解】解：如圖，設直線與軸相交于點，過點作軸于點，過點作軸于點，則，∴，∵點關于原點對稱，∴，∴，，∴，即的面積為．24.如圖，是的直徑，是一條弦，點是的中點，于點，交于點，連結交于點．（1）求證：；（2）延長至點，使，連接．①求證：是的切線；②若，，求的半徑．【答案】（1）證明見解析（2）①證明見解析，②的半徑為．【解析】【分析】（1）如圖，連接，證明，可得，證明，可得，進一步可得結論；（2）①證明，可得是的垂直平分線，可得，，，而，可得，進一步可得結論；②證明，可得，求解，，結合，可得答案．【小問1詳解】證明：如圖，連接，∵點是的中點，∴，∴，∵，為直徑，∴，∴，∴，∴．【小問2詳解】證明：①∵為的直徑，∴，∴，∵，∴是的垂直平分線，∴，∴，，而，∴，∴，∴，∵為的直徑，∴是的切線；②∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴的半徑為．【點睛】本題考查的是圓周角定理的應用，弧與圓心角之間的關系，切線的判定與性質，相似三角形的判定與性質，銳角三角函數的應用，做出合適的輔助線是解本題的關鍵．25.二次函數的圖象與軸分別交于點，與軸交于點，為拋物線上的兩點．（1）求二次函數的表達式；（2）當兩點關于拋物線對軸對稱，是以點為直角頂點的直角三角形時，求點的坐標；（3）設的橫坐標為，的橫坐標為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請求出最小值，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，最小值為【解析】【分析】本題考查了二次函數的綜合題，待定系數法求函數解析式，勾股定理，已知兩點坐標表示兩點距離，二次函數最值，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題的關鍵．（1）用待定系數法求解即可；（2）可求，設，由，得，則，解得，（舍去），故；（3）構造的外接矩形，把代入得，把代入得，用割補法表示的面積，這個面積是關于m的二次函數，轉化為二次函數求最值問題．【小問1詳解】解：把，代入得，，解得，∴二次函數的表達式為；【小問2詳解】解：如圖：由得拋物線對稱軸為直線，∵兩點關于拋物線對軸對稱，∴，設，∵，∴，∴，整理得，，解得，（舍去），∴，∴；【小問3詳解】解：先畫一個虛擬圖，過點P作y軸的垂線交y軸于點E，過點Q作x軸的垂線，垂足為點F，兩條垂線交于點G，如圖：把代入得，把代入得，∵，，，∵，∴，∴當時，的面積取得最小值為．此時點P在y軸左側，如下圖2024年四川省雅安市中考數學試卷一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分）每小題的四個選項中，有且僅有一個是正確的．1.有理數2024的相反數是（）A.2024 B. C. D.2.計算的結果是（）A. B.0 C.1 D.43.下列幾何體中，主視圖是三角形的是（）A. B. C. D.4.下列運算正確是（）A. B. C. D.5.如圖，直線交于點O，于O，若，則的度數是（）A B. C. D.6.不等式組的解集在數軸上表示為（）A. B.C. D.7.在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位后，得到的點關于x軸的對稱點坐標是（）A. B. C. D.8.如圖，的周長為，正六邊形內接于．則的面積為（）A.4 B. C.6 D.9.某校開展了紅色經典故事演講比賽，其中8名同學的成績（單位：分）分別為：85，81，82，86，82，83，92，89．關于這組數據，下列說法中正確的是（）A.眾數是92 B.中位數是C.平均數是84 D.方差是1310.已知．則（）A. B.1 C.2 D.311.在數學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房的高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（）A.米 B.25米 C.米 D.50米12.已知一元二次方程有兩實根，，且，則下列結論中正確有（）①；②拋物線的頂點坐標為；③；④若，則．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）將答案直接填寫在答題卡相應的橫線上．13.使代數式有意義的x的取值范圍是_______．14.將，，，0，，這6個數分別寫在6張同樣的卡片上，從中隨機抽取1張，卡片上的數為有理數的概率是______．15.如圖是1個紙杯和若干個疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H與杯子數量n的變化規律的活動中，我們可以獲得以下數據（字母），請選用適當的字母表示______．①杯子底部到杯沿底邊的高h；②杯口直徑D；③杯底直徑d；④杯沿高a．16.如圖，在和中，，，將繞點A順時針旋轉一定角度，當時，的度數是______．17.如圖，把矩形紙片沿對角線折疊，使點C落在點E處，與交于點F，若，，則的值是______．三、解答題（本大題共7個小題、共69分）解答要求寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程．18.（1）計算：；（2）先化簡，再求值：，其中．19.某中學對八年級學生進行了教育質量監測，隨機抽取了參加15米折返跑的部分學生成績（成績劃分為優秀、良好、合格與不合格四個等級），并繪制了不完整的統計圖（如圖所示）．根據圖中提供的信息解答下列問題：（1）請把條形統計圖補充完整；（2）若該校八年級學生有300人，試估計該校八年級學生15米折返跑成績不合格的人數；（3）從所抽取的優秀等級的學生A、B、C、D、E中，隨機選取兩人去參加即將舉辦的學校運動會，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到A、B兩位同學的概率．20.如圖，點O是對角線的交點，過點O的直線分別交，于點E，F．（1）求證：；（2）當時，，分別連接，，求此時四邊形的周長．21.某市為治理污水，保護環境，需鋪設一段全長為3000米的污水排放管道，為了減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加，結果提前15天完成鋪設任務．（1）求原計劃與實際每天鋪設管道各多少米？（2）負責該工程的施工單位，按原計劃對工人的工資進行了初步的預算，工人每天人均工資為300元，所有工人的工資總金額不超過18萬元，該公司原計劃最多應安排多少名工人施工？22.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象l與反比例函數的圖象交于，兩點．（1）求反比例函數及一次函數的表達式；（2）求的面積；（3）若點P是y軸上一動點，連接．當值最小時，求點P的坐標．23.如圖，是的直徑，點C是上的一點，點P是延長線上的一點，連接，．（1）求證：是的切線；（2）若，求證：；（3）若于D，，，求的長．24.在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C．（1）求二次函數的表達式；（2）如圖①，若點P是線段上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，當線段的長度最大時，求點Q的坐標；（3）如圖②，在（2）條件下，過點Q的直線與拋物線交于點D，且．在y軸上是否存在點E，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

2024年四川省雅安市中考數學試卷一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分）每小題的四個選項中，有且僅有一個是正確的．1.有理數2024的相反數是（）A.2024 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了求一個數的相反數，只有符號不同的兩個數互為相反數，0的相反數是0，據此求解即可．【詳解】解：有理數2024的相反數是，故選：B．2.計算的結果是（）A. B.0 C.1 D.4【答案】C【解析】【分析】本題考查零指數冪，掌握“任何不為零的零次冪等于1”是正確解答的關鍵．根據零指數冪的運算性質進行計算即可．【詳解】解：原式．故選：C．3.下列幾何體中，主視圖是三角形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了簡單幾何體的三視圖，解題的關鍵是熟練的掌握簡單幾何體的三視圖.根據主視圖是從正面看到的視圖對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：A.主視圖是三角形，故本選項符合題意；B.主視圖是矩形，故本選項不符合題意；C.主視圖是矩形，故本選項不符合題意；D.主視圖是正方形，故本選項不符合題意.故選：A．4.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了同底數冪的乘法，冪的乘方以及同底數冪的除法，合并同類項，根據同底數冪的乘法，冪的乘方以及同底數冪的除法，合并同類項法則進行計算即可求解．【詳解】解：A．不是同類項，不能合并，故該選項不正確，不符合題意；B．，故該選項不正確，不符合題意；C．，故該選項不正確，不符合題意；D．，故該選項正確，符合題意；故選：D．5.如圖，直線交于點O，于O，若，則的度數是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了垂線、對頂角的性質，關鍵是掌握垂線、對頂角的性質．已知，可得的度數，因為對頂角，即得的度數．【詳解】解：∵，，，故選：A．6.不等式組的解集在數軸上表示為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了解一元一次不等式組和在數軸上表示不等式的解集，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．分別求出每一個不等式的解集，根據口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，則不等式組的解集為，將不等式組的解集表示在數軸上如下：故選：C．7.在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位后，得到的點關于x軸的對稱點坐標是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題主要考查了關于軸對稱點的性質以及平移的性質，正確掌握相關性質是解題關鍵．直接利用平移的性質得出對應點坐標，再利用關于軸對稱點的性質得出答案．【詳解】解：∵將點向右平移2個單位后，∴平移后的坐標為，∴得到的點關于軸的對稱點坐標是．故選：B．8.如圖，的周長為，正六邊形內接于．則的面積為（）A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質，解直角三角形是正確解答的關鍵．根據正六邊形的性質以及解直角三角形進行計算即可．【詳解】解：設半徑為，由題意得，，解得，∵六邊形是的內接正六邊形，∴，∵，∴是正三角形，∴，∴弦所對應的弦心距為，∴．故選：B．9.某校開展了紅色經典故事演講比賽，其中8名同學的成績（單位：分）分別為：85，81，82，86，82，83，92，89．關于這組數據，下列說法中正確的是（）A.眾數是92 B.中位數是C.平均數是84 D.方差是13【答案】D【解析】【分析】此題考查了方差，算術平均數，中位數，以及眾數，熟練掌握各自的計算方法是解本題的關鍵．找出這組數據中出現次數最多的即為眾數，這組數據排列后找出最中間的兩個數求出平均數即為中位數，求出這組數據的平均數，利用方差公式求出方差，判斷即可．【詳解】解：排列得：，出現次數最多是82，即眾數為82；最中間的兩個數為83和85，即中位數為84；，即平均數為85；，即方差13．故選：D．10.已知．則（）A. B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】本題考查的是條件分式的求值，由條件可得，再整體代入求值即可；【詳解】解：∵，∴，∴；故選C11.在數學課外實踐活動中，某小組測量一棟樓房高度（如圖），他們在A處仰望樓頂，測得仰角為，再往樓的方向前進50米至B處，測得仰角為，那么這棟樓的高度為（人的身高忽略不計）（）A.米 B.25米 C.米 D.50米【答案】A【解析】【分析】此題考查了解直角三角形的應用-仰角俯角問題，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形．設米，在中，利用銳角三角函數定義表示出，在中，利用銳角三角函數定義表示出，再由列出關于的方程，求出方程的解得到的值即可．【詳解】解：設米，在中，，，即，整理得：米，在中，，，即，整理得：米，∵米，∴，即，解得：，側這棟樓的高度為米．故選：A．12.已知一元二次方程有兩實根，，且，則下列結論中正確的有（）①；②拋物線的頂點坐標為；③；④若，則．A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了二次函數圖象與系數的關系、根與系數的關系、根的判別式、拋物線與軸的交點，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質是關鍵．依據題意，由有兩實根，，可得，即可得，故可判斷①又拋物線的對稱軸是直線，進而拋物線的頂點為c)，再結合，可得，故可判斷②；依據題意可得，又，進而可得，從而可以判斷③；由，故，即對于函數，當時的函數值小于當時的函數值，再結合，拋物線的對稱軸是直線，從而根據二次函數的性質即可判斷④．【詳解】解：由題意，∵有兩實根，．∴得，．∴，故①正確．，∴拋物線的對稱軸是直線．∴拋物線的頂點為．又，∴，即．∴．∴．∴頂點坐標為，故②正確．∵，∴．又，，∴，故③錯誤．，，∴對于函數，當時的函數值小于當時的函數值．∵，拋物線的對稱軸是直線，又此時拋物線上的點離對稱軸越近函數值越小，，，∴，故④錯誤．綜上，正確的有①②共2個．故選：B．二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）將答案直接填寫在答題卡相應的橫線上．13.使代數式有意義的x的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】根據二次根式被開方數必須是非負數的條件，要使在實數范圍內有意義，必須，從而可得答案．【詳解】解：代數式有意義，故答案為：14.將，，，0，，這6個數分別寫在6張同樣的卡片上，從中隨機抽取1張，卡片上的數為有理數的概率是______．【答案】【解析】【分析】本題考查概率的求法與運用，有理數與無理數的識別，一般方法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=．先根據無理數的定義得到取到有理數的有，，0，3.14這4種結果，再根據概率公式即可求解．【詳解】解：將，，，0，，3.14這6個數分別寫在6張相同的卡片上，字面朝下隨意放在桌上，任取一張，有6種等可能結果，其中取到有理數的有，，0，3.14這4種結果，所以取到有理數的概率為，故答案為：．15.如圖是1個紙杯和若干個疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H與杯子數量n的變化規律的活動中，我們可以獲得以下數據（字母），請選用適當的字母表示______．①杯子底部到杯沿底邊的高h；②杯口直徑D；③杯底直徑d；④杯沿高a．【答案】【解析】【分析】本題考查的是列代數式，由總高度H等于杯子底部到杯沿底邊的高h加上n個杯子的杯沿高即可得到答案；【詳解】解：由題意可得：，故答案：；16.如圖，在和中，，，將繞點A順時針旋轉一定角度，當時，的度數是______．【答案】或【解析】【分析】本題考查的是等腰三角形的性質，旋轉的性質，分兩種情況分別畫出圖形，再結合等腰三角形的性質與角的和差運算可得答案；【詳解】解：如圖，當時，延長交于，∵，，∴,∴；如圖，當時，延長交于，∵，，∴,∴，故答案為：或17.如圖，把矩形紙片沿對角線折疊，使點C落在點E處，與交于點F，若，，則的值是______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查矩形的性質、折疊的性質、勾股定理等知識，熟練掌握相關知識點是解題關鍵．折疊問題優先考慮利用勾股定理列方程，證，再利用求出邊長，從而求解即可．【詳解】解：∵折疊，，∵四邊形是矩形，，，，，，在中，，，解得，，故答案為：．三、解答題（本大題共7個小題、共69分）解答要求寫出必要的文字說明、演算步驟或推理過程．18.（1）計算：；（2）先化簡，再求值：，其中．【答案】（1）；（2），【解析】【分析】本題考查了負整數指數冪，實數的混合運算，分式的化簡求值等知識點，能正確根據分式的運算法則和實數的運算法則進行計算是解此題的關鍵，注意運算順序．（1）先計算開方、負整數指數冪和絕對值，然后根據有理數的加減法計算即可；（2）先計算分式的減法，再計算分式的除法進行化簡，最后代入求出答案即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式，當時，原式．19.某中學對八年級學生進行了教育質量監測，隨機抽取了參加15米折返跑的部分學生成績（成績劃分為優秀、良好、合格與不合格四個等級），并繪制了不完整的統計圖（如圖所示）．根據圖中提供的信息解答下列問題：（1）請把條形統計圖補充完整；（2）若該校八年級學生有300人，試估計該校八年級學生15米折返跑成績不合格的人數；（3）從所抽取的優秀等級的學生A、B、C、D、E中，隨機選取兩人去參加即將舉辦的學校運動會，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到A、B兩位同學的概率．【答案】（1）見解析（2）30人（3）【解析】【分析】此題考查了列表法與樹狀圖法，用樣本估計總體，以及條形統計圖，弄清題中的數據是解本題的關鍵．（1）根據成績為良好的人數除以占的百分比求出調查的總人數，進而求出不合格的人數，補全條形統計圖即可；（2）由樣本中成績不合格的百分比估計總體中成績不合格的百分比，乘以300即可得到結果；（3）列出得出所有等可能的情況數，找出恰好抽到、兩位同學的情況數，即可求出恰好抽到、兩位同學的概率．【小問1詳解】解：根據題意得：（人），∴不合格的為：（人），補全條形統計圖，如圖所示：【小問2詳解】解：根據題意得：（人），則該校八年級學生15米折返跑成績不合格的人數約為30人；【小問3詳解】解：列表如下：

ABCDEA---B---C---D---E---所有等可能的情況有20種，其中恰好抽到A、B兩位同學的情況數為2種，則P（恰好抽到A、B兩位同學）．20.如圖，點O是對角線的交點，過點O的直線分別交，于點E，F．（1）求證：；（2）當時，，分別連接，，求此時四邊形的周長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了平行四邊形和菱形．熟練掌握平行四邊形的判定和性質，菱形的判定，全等三角形的判定和性質，是解決問題的關鍵．（1）由題目中的中，O為對角線的中點，可以得出，，結合，可以證得兩個三角形全等，進而得出結論；

（2）由（1）中得到的結論可以得到，結合得出四邊形是平行四邊形，進而利用證明出四邊形為菱形，根據即可求出菱形的周長．【小問1詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵點O是對角線的交點，∴，在△和中，，∴．【小問2詳解】由（1）知，，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是菱形，∴，∴，∴四邊形的周長為．21.某市為治理污水，保護環境，需鋪設一段全長為3000米的污水排放管道，為了減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時每天的工效比原計劃增加，結果提前15天完成鋪設任務．（1）求原計劃與實際每天鋪設管道各多少米？（2）負責該工程的施工單位，按原計劃對工人的工資進行了初步的預算，工人每天人均工資為300元，所有工人的工資總金額不超過18萬元，該公司原計劃最多應安排多少名工人施工？【答案】（1）原計劃與實際每天鋪設管道各為40米，50米（2）該公司原計劃最多應安排8名工人施工【解析】【分析】此題考查了分式方程應用，以及一元一次不等式的應用，弄清題意是解本題的關鍵．（1）設原計劃每天鋪