2024年江蘇省南通市中考數學試題含解析數學注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項：1．本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷及答題卡上指定的位置．3．答案必須按要求填涂、書寫在答題卡上，在試卷、草稿紙上答題一律無效．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1.如果零上記作，那么零下記作（）A. B. C. D.2.2024年5月，財政部下達1582億元資金，支持地方進一步鞏固和完善城鄉統一、重在農村的義務教育經費保障機制．將“1582億”用科學記數法表示為（）A. B. C. D.3.計算的結果是（）A.9 B.3 C. D.4.如圖是一個幾何體三視圖，該幾何體是（）A球 B.棱柱 C.圓柱 D.圓錐5.如圖，直線，矩形的頂點A在直線b上，若，則的度數為（）A. B. C. D.6.紅星村種的水稻2021年平均每公頃產，2023年平均每公頃產．求水稻每公頃產量的年平均增長率．設水稻每公頃產量的年平均增長率為x．列方程為（）A. B.C. D.7.將拋物線向右平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐標為（）A. B. C. D.8.“趙爽弦圖”巧妙利用面積關系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形的兩條直角邊長分別為m，．若小正方形面積為5，，則大正方形面積為（）A.12 B.13 C.14 D.159.甲、乙兩人沿相同路線由A地到B地勻速前進，兩地之間的路程為．兩人前進路程s（單位：）與甲的前進時間t（單位：h）之間的對應關系如圖所示．根據圖象信息，下列說法正確的是（）A.甲比乙晚出發1h B.乙全程共用2hC.乙比甲早到B地3h D.甲的速度是10.在中，，，垂足為H，D是線段上的動點（不與點H，C重合），將線段繞點D順時針旋轉得到線段．兩位同學經過深入研究，小明發現：當點E落在邊上時，點D為的中點；小麗發現：連接，當的長最小時，．請對兩位同學的發現作出評判（）A.小明正確，小麗錯誤 B.小明錯誤，小麗正確C.小明、小麗都正確 D.小明、小麗都錯誤二、填空題（本大題共8小題，第11~12題每小題3分，第13~18題每小題4分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）11.分解因式：_________．12.已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則該圓錐的側面積為______．13.已知關于x一元二次方程有兩個不相等的實數根．請寫出一個滿足題意的k的值：______．14.社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為，，則旗桿的高度為______m．15.若菱形的周長為，且有一個內角為，則該菱形的高為______．16.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示，如果以此器電池為電源的用電器的限制電流I不能超過10A，那么用電器可變電阻R應控制的范圍是______．17.如圖，在中，，．正方形的邊長為，它的頂點D，E，G分別在的邊上，則的長為______．18.平面直角坐標系中，已知，．直線（k，b為常數，且）經過點，并把分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為，則k的值為______．三、解答題（本大題共8小題，共90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.（1）計算：；（2）解方程．20.我國淡水資源相對缺乏，節約用水應成為人們的共識．為了解某小區家庭用水情況，隨機調查了該小區50個家庭去年的月均用水量（單位：噸），繪制出如下未完成的統計圖表．50個家庭去年月均用水量頻數分布表組別家庭月均用水量（單位：噸）頻數A7BmCnD6E2合計

50根據上述信息，解答下列問題：（1）______，______；（2）這50個家庭去年月均用水量的中位數落在______組；（3）若該小區有1200個家庭，估計去年月均用水量小于4.8噸的家庭數有多少個？21.如圖，點D在的邊AB上，經過邊的中點E，且．求證．22.南通地鐵1號線“世紀大道站”有標識為1、2、3、4的四個出入口．某周六上午，甲、乙兩位學生志愿者隨機選擇該站一個出入口，開展志愿服務活動．（1）甲在2號出入口開展志愿服務活動的概率為______；（2）求甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動的概率．23.如圖，中，，，，與相切于點D．（1）求圖中陰影部分的面積；（2）設上有一動點P，連接，．當的長最大時，求的長．24.某快遞企業為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀．相關信息如下：信息一A型機器人臺數B型機器人臺數總費用（單位：萬元）1326032360信息二（1）求A、B兩種型號智能機器人單價；（2）現該企業準備用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺．則該企業選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數最多?25.已知函數（a，b為常數）．設自變量x取時，y取得最小值．（1）若，，求的值；（2）在平面直角坐標系中，點在雙曲線上，且．求點P到y軸的距離；（3）當，且時，分析并確定整數a的個數．26.綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活動．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線長的度數腰長兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②122圖③1__________________請補全表格中數據，并完成以下猜想．已知的角平分線，，，用含的等式寫出兩腰之和與兩腰之積之間的數量關系：______．【變式思考】（2）已知的角平分線，，用等式寫出兩邊之和與兩邊之積之間的數量關系，并證明．【拓展運用】（3）如圖④，中，，點D在邊上，．以點C為圓心，長為半徑作弧與線段相交于點E，過點E作任意直線與邊，分別交于M，N兩點．請補全圖形，并分析的值是否變化？

數學注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項：1．本試卷共6頁，滿分為150分，考試時間為120分鐘．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、考試證號用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫在試卷及答題卡上指定的位置．3．答案必須按要求填涂、書寫在答題卡上，在試卷、草稿紙上答題一律無效．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1.如果零上記作，那么零下記作（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了正負數的意義，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規定其中一個為正，則另一個就用負表示．首先審清題意，明確“正”和“負”所表示的意義；再根據題意作答．【詳解】解∶∵零上記作，∴零下記作，故選∶A．2.2024年5月，財政部下達1582億元資金，支持地方進一步鞏固和完善城鄉統一、重在農村的義務教育經費保障機制．將“1582億”用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中為整數，表示時關鍵要正確確定的值以及的值．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于10時，是正數；當原數的絕對值小于1時，是負數．【詳解】解：1582億．故選：C．3.計算的結果是（）A.9 B.3 C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查的是二次根式的乘法運算，直接利用二次根式的乘法運算法則計算即可．【詳解】解：，故選B．4.如圖是一個幾何體的三視圖，該幾何體是（）A.球 B.棱柱 C.圓柱 D.圓錐【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了由三視圖判斷幾何體，結合三視圖與原幾何體的關系即可解決問題【詳解】解：由所給三視圖可知，該幾何體為圓錐，故選：D5.如圖，直線，矩形的頂點A在直線b上，若，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查矩形的性質，平行線的判定和性質，過點作，得到，推出，進行求解即可．【詳解】解：∵矩形，∴，過點作，∵，∴，∴，∴，∵，∴；故選C．6.紅星村種的水稻2021年平均每公頃產，2023年平均每公頃產．求水稻每公頃產量的年平均增長率．設水稻每公頃產量的年平均增長率為x．列方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，設水稻每公頃產量的年平均增長率為x，則2022年平均每公頃，則2023年平均每公頃產，根據題意列出一元二次方程即可．【詳解】解：設水稻每公頃產量的年平均增長率為x，則2022年平均每公頃產，則2023年平均每公頃產，根據題意有：，故選：A．7.將拋物線向右平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次函數圖象的平移，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減．根據平移規律，上加下減，左加右減，可得頂點式解析式．【詳解】解∶拋物線向右平移3個單位后得到新拋物為，∴新拋物線的頂點坐標為，故選∶D．8.“趙爽弦圖”巧妙利用面積關系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設直角三角形的兩條直角邊長分別為m，．若小正方形面積為5，，則大正方形面積為（）A.12 B.13 C.14 D.15【答案】B【解析】【分析】本題考查勾股定理的證明，解題的關鍵是熟練運用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎題型．由題意可知，中間小正方形的邊長為，根據勾股定理以及題目給出的已知數據即可求出大正方形的面積為．【詳解】解：由題意可知，中間小正方形的邊長為，∴，即①，∵，∴②，①②得，∴大正方形的面積，故選：B．9.甲、乙兩人沿相同路線由A地到B地勻速前進，兩地之間的路程為．兩人前進路程s（單位：）與甲的前進時間t（單位：h）之間的對應關系如圖所示．根據圖象信息，下列說法正確的是（）A.甲比乙晚出發1h B.乙全程共用2hC.乙比甲早到B地3h D.甲的速度是【答案】D【解析】【分析】本題考查用函數圖象表示變量之間的關系，從函數圖形獲取信息，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、乙比甲晚出發1h，原說法錯誤，不符合題意；B、乙全程共用，原說法錯誤，不符合題意；C、乙比甲早到B地，原說法錯誤，不符合題意；D、甲的速度是，原說法正確，符合題意；故選D．10.在中，，，垂足為H，D是線段上的動點（不與點H，C重合），將線段繞點D順時針旋轉得到線段．兩位同學經過深入研究，小明發現：當點E落在邊上時，點D為的中點；小麗發現：連接，當的長最小時，．請對兩位同學的發現作出評判（）A.小明正確，小麗錯誤 B.小明錯誤，小麗正確C.小明、小麗都正確 D.小明、小麗都錯誤【答案】C【解析】【分析】旋轉得到，當點E落在邊上時，利用三角形的外角推出，進而得到，推出，判斷小明的說法，連接，等邊對等角，求出，進而求出，推出點在射線上運動，根據垂線段最短，得到時，的長最小，進而推出，判斷小麗的說法即可．【詳解】解：∵將線段繞點D順時針旋轉得到線段，∴，當點E落在邊上時，如圖：∵，，∴，∴，∴，∴為的中點，故小明的說法是正確的；連接，∵，∴，∵，∴，∴，∴點在射線上運動，∴當時，的長最小，∴當的長最小時，，又∵，∴，∴，∴；故小麗的說法正確；故選C．【點睛】本題考查旋轉的性質，三角形的外角，等腰三角形的判定和性質，垂線段最短，相似三角形的判定和性質，熟練掌握旋轉的性質，根據題意，正確的作圖，確定點的軌跡，是解題的關鍵．二、填空題（本大題共8小題，第11~12題每小題3分，第13~18題每小題4分，共30分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）11.分解因式：_________．【答案】【解析】【詳解】此題考查因式分解知識點，考查提取公因式法、公式法的因式分解的方法；首先看是否有公因式，如果有先提取公因式，然后利用公式法進行分解，要分解到不能再分解為止；解：原式=；12.已知圓錐的底面半徑為，母線長為，則該圓錐的側面積為______．【答案】【解析】【分析】本題考查求圓錐的側面積，根據圓錐的側面積公式進行計算即可．【詳解】解：圓錐的側面積為；故答案為：．13.已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根．請寫出一個滿足題意的k的值：______．【答案】0（答案不唯一）【解析】【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．先根據判別式的意義得到，解不等式得到的范圍，然后在此范圍內取一個值即可．【詳解】解∶∵一元二次方程有兩個不相等的實數根，∴，解得，∴當k取0時，方程有兩個不相等的實數根．故答案為：0（答案不唯一）．14.社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為，，則旗桿的高度為______m．【答案】【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應用，直接利用銳角三角函數，求出的值即可．【詳解】解：由題意：，∴；故答案為：．15.若菱形的周長為，且有一個內角為，則該菱形的高為______．【答案】【解析】【分析】本題考查的是菱形的性質，銳角的正弦的含義，先畫圖，求解，過作于，結合可得答案．【詳解】解：如圖，菱形的周長為，∴，過作于，而，∴，故答案為：16.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數關系，它的圖象如圖所示，如果以此器電池為電源的用電器的限制電流I不能超過10A，那么用電器可變電阻R應控制的范圍是______．【答案】【解析】【分析】本題考查反比例函數的實際應用，根據圖象求出反比例函數的解析式，進而求出時，電阻R的值，根據增減性，求出電阻R應控制的范圍即可．【詳解】解：由圖象，設，把代入，得：，∴，當時，，∵隨著的增大而減小，∴如果以此器電池為電源的用電器的限制電流I不能超過10A時，；故答案為：．17.如圖，在中，，．正方形的邊長為，它的頂點D，E，G分別在的邊上，則的長為______．【答案】【解析】【分析】過點作，易得為等腰直角三角形，設，得到，證明，得到，進而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根據平行線分線段成比例，求出的長即可．【詳解】解：過點作，則：，∴，∵，，∴，∴，∴，設，則：，∵正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，中，由勾股定理，得：，∴，解得：，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：．【點睛】本題考查等腰三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，正方形的性質，平行線分線段成比例，解題的關鍵是添加輔助線構造特殊圖形和全等三角形．18.平面直角坐標系中，已知，．直線（k，b為常數，且）經過點，并把分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為，則k的值為______．【答案】##0.6【解析】【分析】本題主要考查了一次函數的綜合問題，根據題意畫出圖形，求待定系數法求出的解析式，再根據直線經過點，求出，聯立兩直線求出點D的坐標，再根據靠近原點部分的面積為為等量關系列出關于k的等式，求解即可得出答案．【詳解】解：根據題意畫出圖形如下，設直線的解析式為：，把，B0,3代入，可得出：，解得：，∴直線的解析式為：，∵直線經過點，∴，∴，∴直線，聯立兩直線方程：，解得：，∴∵，B0,3，∴，，根據題意有：，即，，解得：,故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，共90分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19.（1）計算：；（2）解方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了單項式乘多項式，解分式方程，掌握運算法則是解題的關鍵．（1）根據單項式乘以多項式的運算法則進行計算即可得到答案；（2）根據解分式方程的步驟進行計算即可．【詳解】解：（1）；（2），，∴檢驗，當時，，所以，原分式方程的解為20.我國淡水資源相對缺乏，節約用水應成為人們的共識．為了解某小區家庭用水情況，隨機調查了該小區50個家庭去年的月均用水量（單位：噸），繪制出如下未完成的統計圖表．50個家庭去年月均用水量頻數分布表組別家庭月均用水量（單位：噸）頻數A7BmCnD6E2合計

50根據上述信息，解答下列問題：（1）______，______；（2）這50個家庭去年月均用水量的中位數落在______組；（3）若該小區有1200個家庭，估計去年月均用水量小于4.8噸家庭數有多少個？【答案】（1）20，15（2）B（3）648個【解析】【分析】本題主要考查了扇形統計圖，中位數的定義，以及用樣本估計總體等知識．（1）根據C組的扇形統計圖的度數即可求出n的值，再用50減去其他組別的頻數，即可求出m的值．（2）根據中位數的定義即可得出答案．（3）用樣本估計總體即可．【小問1詳解】解：根據題意可知：，解得：，∴，故答案為：20，15；【小問2詳解】解：∵一共有50組用水量數據，∴50組數據從小到大排列，中位數為第25位和26位的平均數，即中位數在B組．∴這50個家庭去年月均用水量的中位數落在B組，故答案為：B；【小問3詳解】解：（個），故去年月均用水量小于4.8噸的家庭數有648個．21.如圖，點D在的邊AB上，經過邊的中點E，且．求證．【答案】見詳解【解析】【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質以及平行線的判定，根據題意得，即可證明，有成立，根據平行線的判定即可證明結論．【詳解】證明：∵點E為邊的中點，∴，∵，，∴，∴，∴．22.南通地鐵1號線“世紀大道站”有標識為1、2、3、4的四個出入口．某周六上午，甲、乙兩位學生志愿者隨機選擇該站一個出入口，開展志愿服務活動．（1）甲在2號出入口開展志愿服務活動的概率為______；（2）求甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】題考查了利用列表法或樹狀圖法求概率：先列表或畫樹狀圖展示所有等可能的結果數m，再找出某事件所占有的可能數n，然后根據概率的概念即可得到這個事件的概率．（1）直接利用概率公式計算可得；（2）列表得出所有等可能結果，從中找到符合條件的結果數，再利用概率公式可得答案．【小問1詳解】解：∵有標識為1、2、3、4的四個出入口，∴甲在2號出入口開展志愿服務活動的概率為，故答案為：；【小問2詳解】解：畫樹狀圖如下：共有16種等可能結果，其中甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動有4種結果，∴甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務活動的概率為．23.如圖，中，，，，與相切于點D．（1）求圖中陰影部分的面積；（2）設上有一動點P，連接，．當的長最大時，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了切線的性質，勾股定理的逆定理，扇形的面積公式等知識，解題的關鍵是：（1）連接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切線的性質得出，利用等面積法求出，然后利用求解即可；（2）延長CA交于P，連接，則最大，然后在中，利用勾股定理求解即可．【小問1詳解】解∶連接，∵，，，∴，∴，∵與相切于D，∴，∵，∴，∴；【小問2詳解】解∶延長CA交于P，連接，此時最大，由（1）知：，，∴．24.某快遞企業為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀．相關信息如下：信息一A型機器人臺數B型機器人臺數總費用（單位：萬元）1326032360信息二（1）求A、B兩種型號智能機器人的單價；（2）現該企業準備用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺．則該企業選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數最多?【答案】（1）A型智能機器人的單價為80萬元，B型智能機器人的單價為60萬元（2）選擇購買A型智能機器人5臺，購買B型智能機器人5臺【解析】【分析】本題考查了一元一次不等式的應用，二元一次方程組的應用，掌握二元一次方程組，一元一次不等式的應用是解題的關鍵．（1）設A型智能機器人的單價為x萬元，B型智能機器人的單價為y萬元，根據題意列出方程組，計算結果即可；（2）設購買A型智能機器人a臺，則購買B型智能機器人臺，先求出a的取值范圍，再得出每天分揀快遞的件數當a取得最大值時，每天分揀快遞的件數最多．【小問1詳解】解：設A型智能機器人的單價為x萬元，B型智能機器人的單價為y萬元，解得，答：A型智能機器人的單價為80萬元，B型智能機器人的單價為60萬元；【小問2詳解】解：設購買A型智能機器人a臺，則購買B型智能機器人臺，∴，∴，∵每天分揀快遞的件數，∴當時，每天分揀快遞的件數最多為萬件，∴選擇購買A型智能機器人5臺，購買B型智能機器人5臺．25.已知函數（a，b為常數）．設自變量x取時，y取得最小值．（1）若，，求的值；（2）在平面直角坐標系中，點在雙曲線上，且．求點P到y軸的距離；（3）當，且時，分析并確定整數a的個數．【答案】（1）（2）2或1（3）整數a有4個【解析】【分析】本題主要考查二次函數的性質和點到坐標軸的距離，以及解不等式方程．根據題意代入化簡得，結合二次函數得性質得取最小值時x的取值即可；結合題意得到，代入二次函數中化簡得，利用二次函數的性質求得a的值，進一步求得點P，即可知點P到y軸的距離；結合已知得等式化簡得，結合的范圍求得a的可能值，即可得到整數a的個數．【小問1詳解】解：有題意知，當時，y取得最小值8；【小問2詳解】解：∵點在雙曲線上，∴，∴，∵，∴，化解得，解得或，則點或，∴點P到y軸的距離為2或1；【小問3詳解】解：

∵，∴，∴，∵，∴，化簡得，∴，則整數a有4個．26.綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形角平分線”開展主題學習活動．特例探究】（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線的長的度數腰長兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②122圖③1__________________請補全表格中數據，并完成以下猜想．已知的角平分線，，，用含的等式寫出兩腰之和與兩腰之積之間的數量關系：______．【變式思考】（2）已知的角平分線，，用等式寫出兩邊之和與兩邊之積之間的數量關系，并證明．【拓展運用】（3）如圖④，中，，點D在邊上，．以點C為圓心，長為半徑作弧與線段相交于點E，過點E作任意直線與邊，分別交于M，N兩點．請補全圖形，并分析的值是否變化？【答案】（1）見解析；，（2），證明見解析；（3）是定值【解析】【分析】（1）根據特殊角的三角函數值分別計算，再填表即可；再由可得結論；（2）如圖，延長至使，連接，過作于，延長交于，證明為等邊三角形，，，設，，利用相似三角形的性質求解，再進一步可得；（3）如圖，補全圖形如下：設，則，，求解，可得，連接，，并延長交于，再求解；可得是定值．【詳解】解：（1）∵，是角平分線，，∴，∴；∴，；圖序角平分線的長的度數腰長兩腰之和兩腰之積圖①1244圖②122圖③1如圖，由（1）可得：，∴，∴，，∴；（2）猜想：，理由如下：如圖，延長至使，連接，過作于，延長交于，∵，平分，∴為等邊三角形，，，設，，∴，，而，∴，∵，，∴，∴，，∴，，∵，∴，即，解得：，∴；，∴；（3）如圖，補全圖形如下：∵中，，點D在邊上，∴設，則，，∴，解得：，∴，∴，即，∴，連接，，并延長交于，∵，∴，，∴平分，∴平分，∵，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，即，解得：（不符合題意的根舍去），∴，∴，，∵是的垂直平分線，∴，∴；∴是定值．【點睛】本題屬于實際探究題，考查了類比方法的應用，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用，銳角三角函數的靈活應用，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．

2024年蘇州市初中學業水平考試試卷數學注意事項：1．本試卷共27小題，滿分130分，考試時間120分鐘；2．答題前，考生務必將自己的姓名、考點名稱、考場號、座位號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡相應位置上，并認真核對條形碼上的準考號、姓名是否與本人的相符；3．答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡指定的位置上，不在答題區域內的答案一律無效，不得用其他筆答題；4．考生答題必須答在答題卡上，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破，答在試卷和草稿紙上一律無效．一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相對應的位置上．1.用數軸上的點表示下列各數，其中與原點距離最近的是（）A. B.1 C.2 D.32.下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.3.蘇州市統計局公布，2023年蘇州市全年實現地區生產總值約為2.47萬億元，被譽為“最強地級市”．數據“2470000000000”用科學記數法可表示為（）A. B. C. D.4.若，則下列結論一定正確的是（）A. B. C. D.5.如圖，，若，，則的度數為（）A. B. C. D.6.某公司擬推出由7個盲盒組成的套裝產品，現有10個盲盒可供選擇，統計這10個盲盒的質量如圖所示．序號為1到5號的盲盒已選定，這5個盲盒質量的中位數恰好為100，6號盲盒從甲、乙、丙中選擇1個，7號盲盒從丁、戊中選擇1個，使選定7個盲盒質量的中位數仍為100，可以選擇（）A.甲、丁 B.乙、戊 C.丙、丁 D.丙、戊7.如圖，點A為反比例函數圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（）A. B. C. D.8.如圖，矩形中，，，動點E，F分別從點A，C同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿，向終點B，D運動，過點E，F作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則的最大值為（）A. B. C.2 D.1二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分．把答案直接填在答題卡相對應的位置上．9.計算：___________．10.若，則______．11.如圖，正八邊形轉盤被分成八個面積相等的三角形，任意轉動這個轉盤一次，當轉盤停止轉動時，指針落在陰影部分的概率是______．12.如圖，是的內接三角形，若，則______．13.直線與x軸交于點A，將直線繞點A逆時針旋轉，得到直線，則直線對應的函數表達式是______．14.鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素．如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應的弦構成一個正六邊形，中心為點O，所在圓的圓心C恰好是的內心，若，則花窗的周長（圖中實線部分的長度）______．（結果保留）15.二次函數的圖象過點，，，，其中m，n為常數，則的值為______．16.如圖，，，，，點D，E分別在邊上，，連接，將沿翻折，得到，連接，．若的面積是面積的2倍，則______．三、解答題：本大題共11小題，共82分．把解答過程寫在答題卡相對應的位置上，解答時應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說明．作圖時用2B鉛筆或黑色墨水簽字筆．17.計算：．18.解方程組：．19.先化簡，再求值：．其中．20.如圖，中，，分別以B，C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接，，，與交于點E．（1）求證：；（2）若，，求的長．21.一個不透明的盒子里裝有4張書簽，分別描繪“春”，“夏”，“秋”，“冬”四個季節，書簽除圖案外都相同，并將4張書簽充分攪勻．（1）若從盒子中任意抽取1張書簽，恰好抽到“夏”的概率為______；（2）若從盒子中任意抽取2張書簽（先抽取1張書簽，且這張書簽不放回，再抽取1張書簽），求抽取書簽恰好1張為“春”，1張為“秋”的概率．（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）22.某校計劃在七年級開展陽光體育鍛煉活動，開設以下五個球類項目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（籃球），D（排球），E（足球），要求每位學生必須參加，且只能選擇其中一個項目．為了了解學生對這五個項目的選擇情況，學校從七年級全體學生中隨機抽取部分學生進行問卷調查，對調查所得到的數據進行整理、描述和分析，部分信息如下：根據以上信息，解決下列問題：（1）將圖①中的條形統計圖補充完整（畫圖并標注相應數據）；（2）圖②中項目E對應的圓心角的度數為______°；（3）根據抽樣調查結果，請估計本校七年級800名學生中選擇項目B（乒乓球）人數．23.圖①是某種可調節支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動桿可繞點A旋轉，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．（1）如圖②，當活動桿處于水平狀態時，求可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）；（2）如圖③，當活動桿繞點A由水平狀態按逆時針方向旋轉角度，且（為銳角），求此時可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）．24.如圖，中，，，，，反比例函數的圖象與交于點，與交于點E．

（1）求m，k的值；（2）點P為反比例函數圖象上一動點（點P在D，E之間運動，不與D，E重合），過點P作，交y軸于點M，過點P作軸，交于點N，連接，求面積的最大值，并求出此時點P的坐標．25.如圖，中，，D為中點，，，是的外接圓．（1）求的長；（2）求的半徑．26.某條城際鐵路線共有A，B，C三個車站，每日上午均有兩班次列車從A站駛往C站，其中D1001次列車從A站始發，經停B站后到達C站，G1002次列車從A站始發，直達C站，兩個車次的列車在行駛過程中保持各自的行駛速度不變．某校數學學習小組對列車運行情況進行研究，收集到列車運行信息如下表所示．列車運行時刻表車次A站B站C站發車時刻到站時刻發車時刻到站時刻D10018：009：309：5010：50G10028：25途經B站，不停車10：30請根據表格中信息，解答下列問題：（1）D1001次列車從A站到B站行駛了______分鐘，從B站到C站行駛了______分鐘；（2）記D1001次列車的行駛速度為，離A站的路程為；G1002次列車的行駛速度為，離A站的路程為．①______；②從上午8：00開始計時，時長記為t分鐘（如：上午9：15，則），已知千米/小時（可換算為4千米/分鐘），在G1002次列車的行駛過程中，若，求t的值．27.如圖①，二次函數圖象與開口向下的二次函數圖象均過點，．（1）求圖象對應函數表達式；（2）若圖象過點，點P位于第一象限，且在圖象上，直線l過點P且與x軸平行，與圖象的另一個交點為Q（Q在P左側），直線l與圖象的交點為M，N（N在M左側）．當時，求點P的坐標；（3）如圖②，D，E分別為二次函數圖象，的頂點，連接AD，過點A作．交圖象于點F，連接EF，當時，求圖象對應的函數表達式．2024年蘇州市初中學業水平考試試卷數學注意事項：1．本試卷共27小題，滿分130分，考試時間120分鐘；2．答題前，考生務必將自己的姓名、考點名稱、考場號、座位號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡相應位置上，并認真核對條形碼上的準考號、姓名是否與本人的相符；3．答選擇題必須用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡指定的位置上，不在答題區域內的答案一律無效，不得用其他筆答題；4．考生答題必須答在答題卡上，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破，答在試卷和草稿紙上一律無效．一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相對應的位置上．1.用數軸上的點表示下列各數，其中與原點距離最近的是（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】本題考查了絕對值的定義，一個數的絕對值就是表示這個數的點到原點的距離．到原點距離最遠的點，即絕對值最大的點，首先求出各個數的絕對值，即可作出判斷．【詳解】解：∵，，，，，∴與原點距離最近的是1，故選：B．2.下列圖案中，是軸對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題主要考查軸對稱圖形的概念，掌握軸對稱圖形的概念是解題的關鍵．根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：A、是軸對稱圖形，故此選項正確；B、不軸對稱圖形，故此選項錯誤；C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤．故選：A．3.蘇州市統計局公布，2023年蘇州市全年實現地區生產總值約為2.47萬億元，被譽為“最強地級市”．數據“2470000000000”用科學記數法可表示為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是科學記數法-表示較大的數，把一個大于10的數記成的形式，其中a是整數數位只有一位的數，n是正整數，這種記數法叫做科學記數法．根據科學記數法-表示較大的數的方法解答．詳解】解：，故選：C．4.若，則下列結論一定正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查不等式的性質，掌握不等式的性質是解題的關鍵．不等式的性質：不等式的兩邊同時加上或減去同一個數或字母，不等號方向不變；不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等號方向不變；不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等號方向改變．直接利用不等式的性質逐一判斷即可．【詳解】解：，A、，故錯誤，該選項不合題意；B、，故錯誤，該選項不合題意；C、無法得出，故錯誤，該選項不合題意；D、，故正確，該選項符合題意；故選：D．5.如圖，，若，，則的度數為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】題目主要考查平行線的性質求角度，根據題意得出，再由平角即可得出結果，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，故選：B6.某公司擬推出由7個盲盒組成的套裝產品，現有10個盲盒可供選擇，統計這10個盲盒的質量如圖所示．序號為1到5號的盲盒已選定，這5個盲盒質量的中位數恰好為100，6號盲盒從甲、乙、丙中選擇1個，7號盲盒從丁、戊中選擇1個，使選定7個盲盒質量的中位數仍為100，可以選擇（）A.甲、丁 B.乙、戊 C.丙、丁 D.丙、戊【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了用中位數做決策，由圖像可知，要使選定7個盲盒質量的中位數仍為100，則需要選擇100克以上的一個盲盒和100克以下的盲盒一個，根據選項即可得出正確的答案．【詳解】解：由圖像可知，要使選定7個盲盒質量的中位數仍為100，則需要從第6號盲盒和第7號盲盒里選擇100克以上的一個盲盒和100克以下的盲盒一個，因此可排除甲、丁，乙、戊，丙、戊故選：C．7.如圖，點A為反比例函數圖象上的一點，連接，過點O作的垂線與反比例的圖象交于點B，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，反比例函數系數k的幾何意義，三角形相似的判定和性質，數形結合是解題的關鍵．過A作軸于C，過B作軸于D，證明，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可．【詳解】解：過A作軸于C，過B作軸于D，∴，，，∵，∴，∴，∴，即，∴（負值舍去），故選：A．8.如圖，矩形中，，，動點E，F分別從點A，C同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿，向終點B，D運動，過點E，F作直線l，過點A作直線l的垂線，垂足為G，則的最大值為（）A. B. C.2 D.1【答案】D【解析】【分析】連接，交于點，取中點，連接，根據直角三角形斜邊中線的性質，可以得出的軌跡，從而求出的最大值．【詳解】解：連接，交于點，取中點，連接，如圖所示：∵四邊形是矩形，∴，，，∴在中，，∴，∵，，在與中，，，，，共線，，是中點，∴在中，，的軌跡為以為圓心，為半徑即為直徑的圓弧．∴的最大值為的長，即．故選：D．【點睛】本題主要考查了矩形的性質、動點軌跡、與圓有關的位置關系等知識，根據矩形的性質以及直角三角形斜邊中線的性質確定的軌跡是本題解題的關鍵．二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分．把答案直接填在答題卡相對應的位置上．9.計算：___________．【答案】【解析】【分析】利用同底數冪的乘法解題即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了同底數冪的乘法，掌握相應的運算法則是解題的關鍵．10.若，則______．【答案】4【解析】【分析】本題考查了求代數式的值，把整體代入化簡計算即可．【詳解】解：∵，∴，故答案：4．11.如圖，正八邊形轉盤被分成八個面積相等的三角形，任意轉動這個轉盤一次，當轉盤停止轉動時，指針落在陰影部分的概率是______．【答案】【解析】【分析】首先確定在圖中陰影區域的面積在整個面積中占的比例，根據這個比例即可求出指針指向陰影區域的概率．本題考查幾何概率的求法：首先根據題意將代數關系用面積表示出來，一般用陰影區域表示所求事件（A），然后計算陰影區域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發生的概率．【詳解】解：∵轉盤被分成八個面積相等的三角形，其中陰影部分占3份，∴指針落在陰影區域的概率為，故答案為：．12.如圖，是的內接三角形，若，則______．【答案】##62度【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，連接，利用等腰三角形的性質，三角形內角和定理求出的度數，然后利用圓周角定理求解即可．【詳解】解：連接，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．13.直線與x軸交于點A，將直線繞點A逆時針旋轉，得到直線，則直線對應的函數表達式是______．【答案】【解析】【分析】根據題意可求得與坐標軸的交點A和點B，可得，結合旋轉得到，則，求得，即有點C，利用待定系數法即可求得直線的解析式．【詳解】解：依題意畫出旋轉前的函數圖象和旋轉后的函數圖象，如圖所示∶設與y軸的交點為點B，令，得；令，即，∴，，∴，，即∵直線繞點A逆時針旋轉，得到直線，∴，，∴，則點，設直線的解析式為，則，解得，那么，直線的解析式為，故答案為：．【點睛】本題主要考查一次函數與坐標軸的交點、直線的旋轉、解直角三角形以及待定系數法求一次函數解析式，解題的關鍵是找到旋轉后對應的直角邊長，即可利用待定系數法求得解析式．14.鐵藝花窗是園林設計中常見的裝飾元素．如圖是一個花瓣造型的花窗示意圖，由六條等弧連接而成，六條弧所對應的弦構成一個正六邊形，中心為點O，所在圓的圓心C恰好是的內心，若，則花窗的周長（圖中實線部分的長度）______．（結果保留）【答案】【解析】【分析】題目主要考查正多邊形與圓，解三角形，求弧長，過點C作，根據正多邊形的性質得出為等邊三角形，再由內心的性質確定，得出，利用余弦得出，再求弧長即可求解，熟練掌握這些基礎知識點是解題關鍵．【詳解】解：如圖所示：過點C作，∵六條弧所對應弦構成一個正六邊形，∴，∴為等邊三角形，∵圓心C恰好是的內心，∴，∴，∵，∴，∴，∴的長為：，∴花窗的周長為：，故答案為：．15.二次函數的圖象過點，，，，其中m，n為常數，則的值為______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式，把A、B、D的坐標代入，求出a、b、c，然后把C的坐標代入可得出m、n的關系，即可求解．【詳解】解：把，，代入，得，解得，∴，把代入，得，∴，∴，故答案為：．16.如圖，，，，，點D，E分別在邊上，，連接，將沿翻折，得到，連接，．若的面積是面積的2倍，則______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質、折疊性質、等腰直角三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、三角形的面積公式等知識，是綜合性強的填空壓軸題，熟練掌握相關知識的聯系與運用是解答的關鍵．設，，根據折疊性質得，，過E作于H，設與相交于M，證明得到，進而得到，，證明是等腰直角三角形得到，可得，證明得到，則，根據三角形的面積公式結合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可．【詳解】解：∵，∴設，，∵沿翻折，得到，∴，，過E作于H，設與相交于M，則，又，∴，∴，∵，，，∴，∴，，則，∴是等腰直角三角形，∴，則，∴，在和中，，∴，∴，，∴，，∵的面積是面積的2倍，∴，則，解得，（舍去），即，故答案為：．三、解答題：本大題共11小題，共82分．把解答過程寫在答題卡相對應的位置上，解答時應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說明．作圖時用2B鉛筆或黑色墨水簽字筆．17.計算：．【答案】2【解析】【分析】本題考查了實數的運算，利用絕對值的意義，零指數冪的意義，算術平方根的定義化簡計算即可．【詳解】解：原式．18.解方程組：．【答案】【解析】【分析】本題考查的是解二元一次方程組，解題的關鍵是掌握加減消元法求解．根據加減消元法解二元一次方程組即可．【詳解】解：得，，解得，．將代入①得．方程組的解是19.先化簡，再求值：．其中．【答案】，【解析】【分析】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用因式分解和除法法則變形，約分得到最簡結果，把x的值代入計算即可求出值．【詳解】解：原式．當時，原式．20.如圖，中，，分別以B，C為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點D，連接，，，與交于點E．（1）求證：；（2）若，，求的長．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是：（1）直接利用證明即可；（2）利用全等三角形的性質可求出，利用三線合一性質得出，，在中，利用正弦定義求出，即可求解．【小問1詳解】證明：由作圖知：．在和中，．【小問2詳解】解：，，．又，，．，，．21.一個不透明的盒子里裝有4張書簽，分別描繪“春”，“夏”，“秋”，“冬”四個季節，書簽除圖案外都相同，并將4張書簽充分攪勻．（1）若從盒子中任意抽取1張書簽，恰好抽到“夏”的概率為______；（2）若從盒子中任意抽取2張書簽（先抽取1張書簽，且這張書簽不放回，再抽取1張書簽），求抽取的書簽恰好1張為“春”，1張為“秋”的概率．（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了利用畫樹狀圖或列表的方法求兩次事件的概率，解題的關鍵是：（1）用標有“夏”書簽的張數除以書簽的總張數即得結果；（2）利用樹狀圖畫出所有出現的結果數，再找出1張為“春”，1張為“秋”的結果數，然后利用概率公式計算即可．【小問1詳解】解：∵有4張書簽，分別描繪“春”，“夏”，“秋”，“冬”四個季節，∴恰好抽到“夏”的概率為，故答案為：；【小問2詳解】解：用樹狀圖列出所有等可的結果：等可能的結果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）．在12個等可能的結果中，抽取的書簽1張為“春”，1張為“秋”出現了2次，P（抽取的書簽價好1張為“春”，張為“秋”）．22.某校計劃在七年級開展陽光體育鍛煉活動，開設以下五個球類項目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（籃球），D（排球），E（足球），要求每位學生必須參加，且只能選擇其中一個項目．為了了解學生對這五個項目的選擇情況，學校從七年級全體學生中隨機抽取部分學生進行問卷調查，對調查所得到的數據進行整理、描述和分析，部分信息如下：根據以上信息，解決下列問題：（1）將圖①中的條形統計圖補充完整（畫圖并標注相應數據）；（2）圖②中項目E對應的圓心角的度數為______°；（3）根據抽樣調查結果，請估計本校七年級800名學生中選擇項目B（乒乓球）的人數．【答案】（1）見解析（2）72（3）本校七年級800名學生中選擇項目B（乒乓球）的人數約為240人【解析】【分析】本題考查扇形統計圖、條形統計圖、用樣本估計總體，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．（1）利用C組的人數除以所占百分比求出總人數，然后用總人數減去A、B、C、E組的人數，最后補圖即可；（2）用乘以E組所占百分比即可；（3）用800乘以B組所占百分比即可．【小問1詳解】解：總人數為，D組人數為，補圖如下：【小問2詳解】解：，故答案為：72；【小問3詳解】解：（人）．答：本校七年級800名學生中選擇項目B（乒乓球）的人數約為240人．23.圖①是某種可調節支撐架，為水平固定桿，豎直固定桿，活動桿可繞點A旋轉，為液壓可伸縮支撐桿，已知，，．（1）如圖②，當活動桿處于水平狀態時，求可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）；（2）如圖③，當活動桿繞點A由水平狀態按逆時針方向旋轉角度，且（為銳角），求此時可伸縮支撐桿的長度（結果保留根號）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用，解題的關鍵是：（1）過點C作，垂足為E，判斷四邊形為矩形，可求出，，然后在在中，根據勾股定理求出即可；（2）過點D作，交的延長線于點F，交于點G．判斷四邊形為矩形，得出．在中，利用正切定義求出．利用勾股定理求出，由，可求出，，，．在中，根據勾股定理求出即可．【小問1詳解】解：如圖，過點C作，垂足為E，由題意可知，，又，四邊形為矩形．，，，．，．在中，．即可伸縮支撐桿的長度為；【小問2詳解】解：過點D作，交的延長線于點F，交于點G．由題意可知，四邊形為矩形，．在中，，．，，，．，，，．在中，．即可伸縮支撐桿的長度為．24.如圖，中，，，，，反比例函數的圖象與交于點，與交于點E．

（1）求m，k的值；（2）點P為反比例函數圖象上一動點（點P在D，E之間運動，不與D，E重合），過點P作，交y軸于點M，過點P作軸，交于點N，連接，求面積的最大值，并求出此時點P的坐標．【答案】（1），（2）有最大值，此時【解析】【分析】本題考查了二次函數，反比例函數，等腰三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是：（1）先求出B的坐標，然后利用待定系數法求出直線的函數表達式，把D的坐標代入直線的函數表達式求出m，再把D的坐標代入反比例函數表達式求出k即可；（2）延長交y軸于點Q，交于點L．利用等腰三角形的判定與性質可得出，設點P的坐標為，，則可求出，然后利用二次函數的性質求解即可．【小問1詳解】解：，，．又，．，點．設直線的函數表達式為，將，代入，得，解得，∴直線的函數表達式為．將點代入，得．．將代入，得．【小問2詳解】解：延長交y軸于點Q，交于點L．

，，．軸，，．，，，．設點P的坐標為，，則，．．．當時，有最大值，此時．25.如圖，中