高三數學大題規范訓練（22）15.已知的內角，，的對邊分別為，，，，且．（1）求的值；（2）若，的面積為，求的周長．16.為創造良好的城市消防安全環境，某社區舉行“消防安全”答題活動，答題人根據所獲得的分數獲得相應的獎品．工作人員給每位答題人提供了A，B兩類題目．規定每位答題人共需回答3道題目．現有兩種方案供答題人任意選擇：甲方案：只答A類題目；乙方案：第一次答A類題目，以后按如下規則答題，每次答對時，則下一次答A類題目，每次答錯時，則下一次答B類題目．已知A類題目每次答對得40分，答錯得0分，B類題目每次答對得30分，答錯得0分．若小李每道A類題目能答對的概率均為，每道B類題目能答對的概率均為，且每道題能否答對與回答順序無關．（1）若小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分的概率；（2）若想要答題得分的期望值更大，小李應該選擇哪種答題方案？17.如圖，在四棱臺中，四邊形是邊長為4的菱形，，平面，．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．18.已知橢圓：的離心率為，右頂點與的上，下頂點所圍成的三角形面積為．（1）求方程．（2）不過點的動直線與交于，兩點，直線與的斜率之積恒為．（i）證明：直線過定點；（ii）求面積最大值．19.已知函數，．（1）若在處取得極值，討論的單調性；（2）設曲線在點處的切線為，證明：除點外，曲線段總在的下方；（3）設，證明：．

高三數學大題規范訓練（22）15.已知的內角，，的對邊分別為，，，，且．（1）求的值；（2）若，的面積為，求的周長．【答案】（1）2；（2）15.【解答】【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式及二倍角公式化簡即得.（2）利用正弦定理邊化角，利用三角恒等變換求出，再利用三角形面積公式計算即得.【小問1詳解】在中，，由正弦定理得.【小問2詳解】由及正弦定理，得，即，則，即，而，則，又，即，解得，，，由的面積為，得，則，又，解得，又，則，解得，所以的周長為.16.為創造良好的城市消防安全環境，某社區舉行“消防安全”答題活動，答題人根據所獲得的分數獲得相應的獎品．工作人員給每位答題人提供了A，B兩類題目．規定每位答題人共需回答3道題目．現有兩種方案供答題人任意選擇：甲方案：只答A類題目；乙方案：第一次答A類題目，以后按如下規則答題，每次答對時，則下一次答A類題目，每次答錯時，則下一次答B類題目．已知A類題目每次答對得40分，答錯得0分，B類題目每次答對得30分，答錯得0分．若小李每道A類題目能答對的概率均為，每道B類題目能答對的概率均為，且每道題能否答對與回答順序無關．（1）若小李采用甲方案答題，求他得分不低于80分的概率；（2）若想要答題得分的期望值更大，小李應該選擇哪種答題方案？【答案】（1）（2）乙方案【解答】【分析】（1）由獨立事件的乘法公式求解即可；（2）由二項分布求出小李采用甲方案答題的期望，若小李采用乙方案答題，則設他的得分為，求出的可能取值及其對應的概率，由數學期望公式求出，由即可得出答案.【小問1詳解】若“小李采用甲方案答題，求他的得分不低于80分”記為事件，則小李至少答對道A類題目，所以.【小問2詳解】若小李采用甲方案答題，設他的得分為，則他答對的題數為，且，所以，則，若小李采用乙方案答題，則設他得分為，的可能取值為，，，，，，，所以，因為，所以小李想要答題得分的期望值更大，應該選擇乙方案答題.17.如圖，在四棱臺中，四邊形是邊長為4的菱形，，平面，．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解答；（2）.【解答】【分析】（1）根據給定條件，以點為原點建立空間直角坐標系，利用空間位置關系的向量證明推理即得.（2）求出平面和平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【小問1詳解】菱形中，，則是正三角形，在平面內過作，由平面，得直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，于是，，因此，所以.【小問2詳解】由（1）知，，設平面法向量，則，令，得，設平面的法向量，則，令，得，設二面角的大小為，則，所以二面角的正弦值為.18.已知橢圓：的離心率為，右頂點與的上，下頂點所圍成的三角形面積為．（1）求的方程．（2）不過點的動直線與交于，兩點，直線與的斜率之積恒為．（i）證明：直線過定點；（ii）求面積的最大值．【答案】（1）；（2）（i）證明見解答；（ii）.【解答】【分析】（1）根據橢圓的離心率及三角形面積，列出方程組求解即得.（2）（i）設出直線的方程，與橢圓方程聯立，利用斜率坐標公式，結合韋達定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面積建立函數關系，再求出最大值.【小問1詳解】令橢圓的半焦距為c，由離心率為，得，解得，由三角形面積為，得，則，，所以的方程是.【小問2詳解】（i）由（1）知，點，設直線的方程為，設，由消去x得：，則，直線與的斜率分別為，，于是，整理得，解得或，當時，直線過點，不符合題意，因此，直線：恒過定點.（ii）由（i）知，，則，因此的面積，當且僅當，即時取等號，所以面積的最大值為.【小結】思路小結：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點的橫(縱)坐標為變量，建立函數關系求解作答.19.已知函數，．（1）若在處取得極值，討論的單調性；（2）設曲線在點處的切線為，證明：除點外，曲線段總在的下方；（3）設，證明：．【答案】（1）答案見解答（2）證明見解答（3）證明見解答【解答】【分析】（1）由在處取極值待定，再求導函數，根據導函數的單調性與零點確定符號變化區間，從而討論的單調性；（2）構造函數將命題轉化為在區間0,2恒成立，通過二次求導方法，逐次觀察新的導函數零點與探究單調性，再通過連鎖討論回歸分析原函數值的范圍即可；（3）應用第（2）問結論賦值得，由此放縮后運算求和即可得證.【小問1詳解】，x∈R，，由在處取得極值，得，解得.當時，，設，則在R上單調遞減，且.則當時，，即，故在單調遞增；當時，，即，故在單調遞減；故在處取到極大值，滿足題意.在單調遞增；在單調遞減.【小問2詳解】，x∈R，，曲線y=fx在點處的切線的斜率為，.故切線方程為，即；構造函數，，即，其中，則，x∈R設，其中，則，令，得，當時，，故在單調遞減；當時，，故在單調遞增；所以在0,2單調遞減，且，.故當時，，即，則在單調遞增；當時，，即，則在單調遞減；故在處取極大值，且極大值為，當且僅當時，.所以當x∈0,2時，恒成立.即恒成立，故除點外，曲線段總在的下方，命題得證.【小問3詳解】由（2）結論，任意，，恒成立.又由可知，單調遞減，則，故恒成立，令，則恒成立.又由所以.故，故.即成立，命題得證.【小結】關鍵點小結：應用導數證明不等式，解決的關鍵點有三個：一是函數重構，如第（2）問中將圖象問題轉化為不等式問題，進而構造差函數再利用導數研究單調性；二是多次求導連鎖反應，一次求導不能明確問題解決的方向，借助觀察零點、導數運算、符號判斷等手段發