§2.7函數的圖象基礎知識自主學習課時作業題型分類深度剖析內容索引基礎知識自主學習1.描點法作圖方法步驟：(1)確定函數的定義域；(2)化簡函數的解析式；(3)討論函數的性質即奇偶性、周期性、單調性、最值(甚至變化趨勢)；(4)描點連線，畫出函數的圖象.2.圖象變換(1)平移變換知識梳理f(x)+kf(x+h)f(x-h)f(x)-k(2)對稱變換①y＝f(x) y＝

；②y＝f(x)y＝

；③y＝f(x)y＝

；④y＝ax(a>0且a≠1)y＝

.－f(x)f(－x)－f(－x)logax(a>0且a≠1)(3)伸縮變換①y＝f(x) y＝

.②y＝f(x) y＝

.f(ax)af(x)(4)翻折變換①y＝f(x) y＝

.②y＝f(x)

y＝

.|f(x)|f(|x|)知識拓展1.函數對稱的重要結論(1)函數y＝f(x)與y＝f(2a－x)的圖象關于直線x＝a對稱.(2)函數y＝f(x)與y＝2b－f(2a－x)的圖象關于點(a，b)中心對稱.(3)若函數y＝f(x)對定義域內任意自變量x滿足：f(a＋x)＝f(a－x)，則函數y＝f(x)的圖象關于直線x＝a對稱.2.函數圖象平移變換八字方針(1)“左加右減”，要注意加減指的是自變量.(2)“上加下減”，要注意加減指的是函數值.思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)當x∈(0，＋∞)時，函數y＝|f(x)|與y＝f(|x|)的圖象相同.(

)(2)函數y＝af(x)與y＝f(ax)(a>0且a≠1)的圖象相同.(

)(3)函數y＝f(x)與y＝－f(x)的圖象關于原點對稱.(

)(4)若函數y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱.(

)(5)將函數y＝f(－x)的圖象向右平移1個單位得到函數y＝f(－x－1)的圖象.(

)×××√×考點自測1.(教材改編)設M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出如圖四個圖形：答案解析其中，能表示從集合M到集合N的函數關系的有______.(填序號)②①中，因為在集合M中，當1<x≤2時，在N中無元素與之對應，所以①不是函數；②符合函數的定義，所以②是函數；③中，x＝2對應的元素y＝3?N，所以③不是函數；④中，當x＝1時，在N中有兩個元素與之對應，所以④不是函數.因此只有②是從集合M到集合N的函數.2.(2016·全國乙卷改編)函數y＝2x2－e|x|在[－2，2]上的圖象大致為______.答案解析④f(2)＝8－e2>8－2.82>0，排除①；f(2)＝8－e2<8－2.72<1，排除②；在x>0時，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，3.(教材改編)若函數y＝f(x)的圖象經過點(1，1)，則函數y＝f(4－x)的圖象經過點的坐標為________.令4－x＝1，得x＝3，則函數y＝f(4－x)的圖象過點(3，1).答案解析(3，1)4.(2016·蘇州中學月考)使log2(－x)＜x＋1成立的x的取值范圍是_________.答案解析(－1，0)在同一坐標系內作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的圖象，知滿足條件的x∈(－1，0).5.已知函數f(x)＝

且關于x的方程f(x)－a＝0有兩個實根，則實數a的取值范圍是________.答案解析(0，1]當x≤0時，0＜2x≤1，要使方程f(x)－a＝0有兩個實根，即函數y＝f(x)與y＝a的圖象有兩個交點，由圖象可知0＜a≤1.幾何畫板展示題型分類深度剖析題型一作函數的圖象例1作出下列函數的圖象.(1)y＝()|x|；解答(2)y＝|log2(x＋1)|；解答將函數y＝log2x的圖象向左平移1個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖②.(3)y＝

；解答再向上平移2個單位而得，如圖③.(4)y＝x2－2|x|－1.解答且函數為偶函數，先用描點法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據對稱性作出(－∞，0)上的圖象，如圖④.圖象變換法作函數的圖象(1)熟練掌握幾種基本函數的圖象，如二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、形如y＝x＋

的函數.(2)若函數圖象可由某個基本函數的圖象經過平移、翻折、對稱和伸縮得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序.思維升華跟蹤訓練1

作出下列函數的圖象.(1)y＝|x－2|·(x＋1)；解答當x≥2，即x－2≥0時，當x<2，即x－2<0時，y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2這是分段函數，每段函數的圖象可根據二次函數圖象作出(如圖).解答再向上平移1個單位得到，如圖所示.題型二識圖與辨圖例2

(1)下面所給出的四個圖象和三個事件：①我離開家不久，發現自己把作業本忘在

家里了，于是立刻返回家里取了作業本

再上學；②我騎著車一路以勻速行駛離開家，只是

在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間；③我從家里出發后，心情輕松，緩緩行進，

后來為了趕時間開始加速.圖象與這三個事件發生的順序相吻合的分別為______________.①d，②a，③b答案解析離家不久發現自己作業本忘在家里，回到家里，這時離家的距離為0，故①與圖象d相吻合；途中有一段時間交通堵塞，則這段時間與家的距離必為一定值，故②與圖象a相吻合；加速趕向學校，圖象上升地就越來越快，故③與圖象b相吻合.(2)已知定義在區間[0，2]上的函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則y＝－f(2－x)的圖象為______.答案解析②方法一由y＝f(x)的圖象知，當x∈[0，2]時，2－x∈[0，2]，圖象應為②.方法二當x＝0時，－f(2－x)＝－f(2)＝－1；當x＝1時，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.觀察各圖象，可知應填②.函數圖象的識辨可從以下方面入手(1)從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置；(2)從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數的周期性，判斷圖象的循環往復；(5)從函數的特征點，排除不合要求的圖象.思維升華跟蹤訓練2

(1)如圖，函數f(x)的圖象是折線段ABC，其中點A，B，C的坐標分別為(0，4)，(2，0)，(6，4)，則f{f[f(2)]}＝____.由題意可知f(2)＝0，f(0)＝4，f(4)＝2.因此，有f{f[f(2)]}＝f[f(0)]＝f(4)＝2.答案解析2(2)已知f(x)＝

則下列函數的圖象錯誤的是_____.答案解析④題型三函數圖象的應用命題點1研究函數的性質例3

(1)已知函數f(x)＝x|x|－2x，則下列結論正確的是______.①f(x)是偶函數，遞增區間是(0，＋∞)；②f(x)是偶函數，遞減區間是(－∞，1)；③f(x)是奇函數，遞減區間是(－1，1)；④f(x)是奇函數，遞增區間是(－∞，0).答案解析③將函數f(x)＝x|x|－2x去掉絕對值得畫出函數f(x)的圖象，如圖，觀察圖象可知，函數f(x)的圖象關于原點對稱，故函數f(x)為奇函數，且在(－1，1)上單調遞減.(2)若函數y＝f(2x＋1)是偶函數，則函數y＝f(x)圖象的對稱軸方程是______.因為f(2x＋1)是偶函數，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)?f(x)＝f(2－x)，所以f(x)圖象的對稱軸為直線x＝1.答案解析x＝1命題點2解不等式例4

函數f(x)是定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函數，在(0，＋∞)上單調遞增，圖象如圖所示，若x·[f(x)－f(－x)]<0，則x的取值范圍為_______________.答案解析(－3，0)∪(0，3)∵f(x)為奇函數，∴x·[f(x)－f(－x)]＝2x·f(x)<0，結合圖象知x的范圍為(－3，0)∪(0，3).命題點3求解函數零點問題例5

(2016·山東)已知函數f(x)＝

其中m>0，若存在實數b，使得關于x的方程f(x)＝b有三個不同的根，則m的取值范圍是__________.答案解析(3，＋∞)如圖，當x≤m時，f(x)＝|x|；當x>m時，f(x)＝x2－2mx＋4m，在(m，＋∞)為增函數，若存在實數b，使方程f(x)＝b有三個不同的根，則m2－2m·m＋4m<|m|.∵m>0，∴m2－3m>0，解得m>3.幾何畫板展示(1)利用函數的圖象研究函數的性質對于已知或易畫出其在給定區間上圖象的函數，其性質(單調性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點)常借助于圖象研究，但一定要注意性質與圖象特征的對應法則.(2)利用函數的圖象可解決某些方程和不等式的求解問題，方程f(x)＝g(x)的根就是函數f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標；不等式f(x)<g(x)的解集是函數f(x)的圖象位于g(x)圖象下方的點的橫坐標的集合，體現了數形結合思想.思維升華跟蹤訓練3(1)函數f(x)是定義在[－4，4]上的偶函數，其在[0，4]上的圖象如圖所示，那么不等式<0的解集為______________________.答案解析因為f(x)為偶函數，y＝cos

x也為偶函數，(2)已知函數f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根，則實數k的取值范圍是_______.答案解析先作出函數f(x)＝|x－2|＋1的圖象，如圖所示，當直線g(x)＝kx與直線AB平行時斜率為1，當直線g(x)＝kx過A點時斜率為

，故f(x)＝g(x)有兩個不相等的實根時，k的取值范圍為(，1).幾何畫板展示

高考中的函數圖象及應用問題高頻小考點4考點分析高考中考查函數圖象問題主要有以下幾個方面：函數圖象的識別，函數圖象的變換及函數圖象的應用等，多以小題形式考查、難度不大，常利用特殊點法、排除法、數形結合法等解決，熟練掌握高中涉及的幾種基本初等函數是解決前提．一、已知函數解析式確定函數圖象典例(2015·浙江改編)函數f(x)＝

cos

x(－π≤x≤π且x≠0)的圖象可能為_____.答案解析④∵f(x)＝(x－)cos

x(－π≤x≤π且x≠0)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數，排除①，②；當x＝π時，f(x)＜0，排除③.二、函數圖象的變換問題典例若函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則函數y＝－f(x＋1)的圖象大致為______.③答案解析由y＝f(x)的圖象得到y＝－f(x＋1)的圖象，需要先將y＝f(x)的圖象關于x軸對稱得到y＝－f(x)的圖象，然后再向左平移一個單位得到y＝－f(x＋1)的圖象，根據上述步驟可知③正確.三、函數圖象的應用典例(1)已知f(x)＝

則函數y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1的零點個數是_____.5答案解析由y＝2[f(x)]2－3f(x)＋1＝0，得f(x)＝1或f(x)＝

，綜上，共有5個零點.(2)(2015·北京改編)如圖，函數f(x)的圖象為折線ACB，則不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是______________.答案解析令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函數g(x)圖象如圖.∴結合圖象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集為{x|－1<x≤1}.{x|－1＜x≤1}(3)(2016·吉林三校聯考)若函數f(x)＝

的圖象如圖所示，則m的取值范圍為________.答案解析(1，2)根據圖象可知，函數圖象過原點，當x>0時，f(x)>0，∴2－m>0，即m<2，函數f(x)在[－1，1]上是單調遞增的，∴f′(x)>0在[－1，1]上恒成立，即f(0)＝0，∴m≠0.∵m－2<0，∴只需要x2－m<0在[－1，1]上恒成立，∴(x2－m)max<0，∴m>1，綜上所述，1<m<2.課時作業1234567891011121.如圖，函數f(x)的圖象是曲線OAB，其中點O，A，B的坐標分別為(0，0)，(1，2)，(3，1)，則f()＝______.答案解析22.為了得到函數y＝2x－3－1的圖象，只需把函數y＝2x的圖象上所有的點_____.①向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度；②向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度；③向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度；④向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度.答案解析①1234567891011123.(2016·淮安調研)已知函數f(x)＝loga(x＋b)(a>0且a≠1，b∈R)的圖象如圖所示，則a＋b＝_____.答案解析由圖象可知，函數過點(－3，0)，(0，－2)，1234567891011124.(2016·揚州模擬)設奇函數f(x)在(0，＋∞)上為增函數，且f(1)＝0，則不等式<0的解集為________________.(－1，0)∪(0，1)123456789101112答案解析即xf(x)<0，f(x)的大致圖象如圖所示.所以xf(x)<0的解集為(－1,0)∪(0,1).5.已知函數f(x)＝e|ln

x|，則函數y＝f(x＋1)的大致圖象為_____.答案解析④當x≥1時，f(x)＝eln

x＝x，其圖象為一條直線；當0<x<1時，f(x)＝e－ln

x＝.函數y＝f(x＋1)的圖象為函數y＝f(x)的圖象向左平移1個單位長度后得到的.1234567891011126.對于函數f(x)＝lg(|x－2|＋1)，給出如下三個命題：①f(x＋2)是偶函數；②f(x)在區間(－∞，2)上是減函數，在區間(2，＋∞)上是增函數；③f(x)沒有最小值.其中正確的個數為_____.答案解析2123456789101112因為函數f(x)＝lg(|x－2|＋1)，所以函數f(x＋2)＝lg(|x|＋1)是偶函數；如圖，可知f(x)在(－∞，2)上是減函數，在(2，＋∞)上是增函數；由圖象可知函數存在最小值0.所以①②正確.1234567891011127.(2016·泰州模擬)若函數y＝f(x＋3)的圖象經過點P(1,4)，則函數y＝f(x)的圖象必經過點_______.答案解析(4，4)123456789101112函數y＝f(x)的圖象是由y＝f(x＋3)的圖象向右平移3個單位長度而得到的.故y＝f(x)的圖象經過點(4,4).8.設f(x)＝|lg(x－1)|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，則ab的取值范圍是__________.答案解析(4，＋∞)畫出函數f(x)＝|lg(x－1)|的圖象如圖所示.由f(a)＝f(b)可得－lg(a－1)＝lg(b－1)，解得ab＝a＋b>2(由于a<b)，所以ab>4.1234567891011129.如圖，定義在[－1，＋∞)上的函數f(x)的圖象由一條線段及拋物線的一部分組成，則f(x)的解析式為________________________.答案解析123456789101112當－1≤x≤0時，設函數f(x)的解析式為y＝kx＋b，當x>0時，設函數f(x)的解析式為y＝a(x