微培優1函數圖象的公切線問題2025求解公切線問題一般思路:曲線的公切線問題,主要利用導數的幾何意義進行解決,關鍵是抓住切線的斜率進行轉化.主要應用在求公切線方程,切線有關的參數.常用到以下三個基本關系:①切點處的導數是切線的斜率;②切點在切線上;③切點在曲線上.具體做法一:設公切線在y=f(x)上的切點P1(x1,f(x1)),在y=g(x)上的切點P2(x2,g(x2)),則f'(x1)=g'(x2)=具體做法二:設曲線C1:y=f(x)在點P1(x1,f(x1))處的切線為l1:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),整理可得y=f'(x1)·x-f'(x1)·x1+f(x1).設曲線C2:y=g(x)在點P2(x2,g(x2))處的切線為l2:y-g(x2)=g'(x2)(x-x2),整理得y=g'(x2)·x-g'(x2)·x2+g(x2),由于l1,l2是相同的直線,從而求出公切線方程,公切線的條數等價于該方程組的解的個數.需要注意,做法一直接利用斜率公式,因此不包含P1與P2重合的情況,做法二包含了P1與P2重合的情況,求解時要根據題意靈活選用.角度一求兩曲線的公切線方程D(2)(2024·四川綿陽高三模擬)已知f(x)=ex-1(e為自然對數的底數),g(x)=lnx+1,則f(x)與g(x)的公切線的方程為

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y=ex-1或y=x角度二求與公切線有關的參數值或范圍問題例2(2024·新高考Ⅰ,13)若曲線y=ex+x在點(0,1)處的切線也是曲線y=ln(x+1)+a的切線,則a=

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ln2解析

由y=ex+x,得y'=ex+1.當x=0時,y'=2.∴曲線y=ex+x在點(0,1)處的切線方程為y-1=2(x-0),即y=2x+1.∴直線y=2x+1是曲線y=ln(x+1)+a的切線.例3(2022·全國甲,文20)已知函數f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=f(x)在點(x1,f(x1))處的切線也是曲線y=g(x)的切線.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范圍.解

(1)∵f'(x)=3x2-1,∴f'(-1)=2.當x1=-1時,f(-1)=0,故y=f(x)在點(-1,0)處的切線方程為y=2x+2.又y=2x+2與y=g(x)相切,將直線y=2x+2代入g(x)=x2+a,得x2-2x+a-2=0.由Δ=4-4(a-2)=0,得a=3.角度三求公切線條數問題例4(2024·廣西南寧一模(1)問)已知函數f(x)=ex,g(x)=lnx,若直線l與函數f(x)和g(x)的圖象均相切,試討論直線l的條數.

令t(x)=-xex+1,則t'(x)=-(x+1)ex,當x>-1時,t'(x)<0,t(x)=h'(x)單調遞減,當x<-1時,t'(x)>0,t(x)=h'(x)單調遞增,又當x<0時,t(x)>0,t(1)=1-e<0,故存在唯一的x0∈(0,1),t(x0)=0,故當x∈(-∞,x0)時,t(x)=h'(x)>0,h(x)單調遞增,當x∈(x0,+∞)時,t(x)=h'(x)<0,h(x)單調遞減,h(x)max=h(x0)>h(0)=2>0,又h(2)=3-e2<0,h(-2)=-1+3e-2<0,因此h(x)存在兩個零點,故直線l的條數為2.針對訓練1.(2024·福建模擬預測)已知直線y=kx+b既是曲線y=lnx的切線,也是曲線y=-ln(-x)的切線,則(

)A解析

設直線與y=ln

x的切點為(x1,ln

x1),且x1>0,與y=-ln(-x)的切點為(x2,-ln(-x2)),且x2<0,2.已知函數f(x)=x3-x+a的圖象關于原點對稱,則與曲線y=f(x)和y=x2+均相切的直線l有(

)A.1條

B.2條

C.3條

D.4條C解析

由題意f(-x)=-f(x),所以a=0,所以f(x)=x3-x,所以f'(x)=3x2-1,所以y=f(x)在點(x1,f(x1))處的切線方程為3.(2024·遼寧二模)已知函數

的圖象與函數y2=ax(a>0,且a≠1)的圖象在公共點處有相同的切線,則a=

,切線方程為

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4.(2024·陜西西安模擬改編)已知函數f(x)=a-2(a≠0),g(x)=lnx.若函數y=f(x),y=g(x)的圖象存在兩條公切線,求實數a的取值范圍.令h'(x)=0,得x=1,當x∈(0,1)時,h'(x)>0,h(x)單調遞增,當x∈(1,+∞)時,h'(x)<0,h(x)單調遞減,h(x)的最大值為h(1)=4,令h(x)=0,得x=,則當x→0時,h(x)→-∞;x→+∞時,h(x)→0,則函數h(x)的大致圖象如下,故實數a的取值范圍為(0,2).5.(2024·湖北武漢高三模擬)已知拋物線C1:y=x2+2x和C2:y=-x2+a,如果直線l同