周期函數的傅里葉級數周期函數的傅里葉級數前面介紹了函數展開為冪級數的條件及冪級數的應用，從中可看出，冪級數無論在理論上還是實際上都具有重要的作用,但它有兩個比較苛刻的條件，一是要求函數具有任意階導數，二是級數的部分和只在某一點的附近才與函數有較為理想的近似,而實際問題中的函數往往比這條件要弱得多(不可導，不連續)，因此在實際應用中冪級數受到較大的限制.如何找到展開條件較弱且更為簡單的函數來代替冪級數？這是擺在當時許多數學家面前的一個難題.直到18世紀中葉，法國數學家傅里葉在研究熱傳導和擴散問題時，發現了周期函數可用一系列正弦函數Ansin(nωt+φn)組成的級數來表示,這個表示比冪級數展開的條件要弱得多，且它的部分和在連續點與函數吻合得非常理想.因此,傅里葉級數比冪級數在工程中的應用更加廣泛.周期函數的傅里葉級數一、三角函數系的正交性函數系1,cosx,sinx，cos2x,sin2x,…,cosnx,sinnx,…(11-5)

稱為三角函數系.三角函數系(11-5)中任意兩個相異函數的乘積在區間［π,π］上的積分等于零，即∫π－πcosnxdx=0(n=1,2,3,…),∫π－πsinnxdx=0(n=1,2,3,…),∫π－πsinkxcosnxdx=0(k,n=1,2,3,…),∫π－πcoskxcosnxdx=0(k,n=1,2,3,…;k≠n),∫π－πsinkxsinnxdx=0(k,n=1,2,3,…;k≠n).這個性質為三角函數系的正交性.一、三角函數系的正交性在三角函數系(11-5)中，兩個相同函數的乘積在區間－π,π］上的積分不等于零，即∫π－π1dx=2π，∫π－πsin2nxdx=π(n=1,2,3,…)，∫π－πcos2nxdx=π(n=1,2,3,…).二、以2π為周期的函數展開成傅里葉級數首先討論第一個問題：假定f(x)能展成三角級數(11-4)，如何求出系數an,bn?假定f(x)以2π為周期，且能展成逐項可積的三角級數(11-6)二、以2π為周期的函數展開成傅里葉級數二、以2π為周期的函數展開成傅里葉級數這個級數稱為余弦級數.二、以2π為周期的函數展開成傅里葉級數一個定義在(-∞，+∞)上周期為2π的函數f(x)，若它在一個周期上可積，則一定可以作出f(x)的傅里葉級數.但是，函數f(x)的傅里葉級數是否一定收斂？如果它收斂，它是否一定收斂于函數f(x)？一般來說，這兩個問題的答案都不是肯定的.再討論第二個問題：三角級數(11-4)在什么條件下收斂于f(x)？這個問題直到1829年才由狄利克雷完全解決.二、以2π為周期的函數展開成傅里葉級數定理11(收斂定理，狄利克雷充分條件)設f(x)是周期為2π的周期函數.若f(x)滿足在一個周期內連續或只有有限個第一類間斷點，并且在一個周期內至多只有有限個極值點，則f(x)的傅里葉級數收斂，并且(1)當x是f(x)的連續點時,級數收斂于f(x).(2)當x是f(x)的間斷點時,級數收斂于二、以2π為周期的函數展開成傅里葉級數實際上，不論x是函數f(x)的連續點還是間斷點，函數f(x)的傅里葉級數均收斂于該點處函數的左、右極限的算術平均值.因為當x是函數f(x)的連續點時，有二、以2π為周期的函數展開成傅里葉級數【例47】設f(x)是周期為2π的周期函數，它在(－π,π］上的表達式為二、以2π為周期的函數展開成傅里葉級數【例49】設f(x)是周期為2π的周期函數，將函數f(x)=x(－π≤x＜π)展開成傅里葉級數.三、以2l為周期的函數展開成傅里葉級數

上面所討論的都是以2π為周期的函數展開成傅里葉級數的問題，如果函數以2l為周期，又如何展開成傅里葉級數呢？下面的定理回答了這個問題.三、以2l為周期的函數展開成傅里葉級數定理12設周期為2l的周期函數f(x)滿足收斂定理的條件，則它的傅里葉級數展開式為三、以2l為周期的函數展開成傅里葉級數三、以2l為周期的函數展開成傅里葉級數【例51】三、以2l為周期的函數展開成傅里葉級數四、以2l為周期的函數展開成傅里葉級數的復數形式在電子技術中，常常使用傅里葉級數的復數形式.設周期為2l的周期函數的傅里葉級數為(11-8)四、以2l為周期的函數展開成傅里葉級數的復數形式四、以2l為周期的函數展開成傅里葉級數的復數形式四、以2l為周期的函數展