§2.2函數的單調

性與最值第二章

函數的概念與基本初等函數Ⅰ1.借助函數圖象，會用數學符號語言表達函數的單調性、最值，理解實際意義.2.掌握函數單調性的簡單應用.考試要求

內容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.函數的單調性(1)單調函數的定義

增函數減函數定義一般地，設函數f(x)的定義域為I，區間D?I，如果?x1，x2∈D當x1<x2時，都有

，那么就說函數f(x)在區間D上是增函數當x1<x2時，都有

，那么就說函數f(x)在區間D上是減函數圖象描述

自左向右看圖象是上升的

自左向右看圖象是下降的f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)(2)單調區間的定義如果函數y＝f(x)在區間D上是

或

，那么就說函數y＝f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間D叫做y＝f(x)的單調區間.增函數減函數2.函數的最值前提設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足條件(1)?x∈I，都有

；(2)?x0∈I，使得_________(1)?x∈I，都有

；(2)?x0∈I，使得_________結論M是函數y＝f(x)的最大值M是函數y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M1.?x1，x2∈D且x1≠x2，有

>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區間D上單調遞增(減).2.在公共定義域內，增函數＋增函數＝增函數，減函數＋減函數＝減函數.3.函數y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內與y＝－f(x)，y＝

的單調性相反.4.復合函數的單調性：同增異減.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)因為f(－3)<f(2)，則f(x)在[－3,2]上是增函數.(

)(2)函數f(x)在(－2,3)上單調遞增，則函數的單調遞增區間為(－2,3).(

)(3)若函數f(x)在區間(1,2]和(2,3)上均為增函數，則函數f(x)在區間(1,3)上為增函數.(

)(4)函數y＝

的單調遞減區間是(－∞，0)∪(0，＋∞).(

)××××1.下列函數中，在區間(0，＋∞)上單調遞減的是A.y＝x2－1 B.y＝x3C.y＝2x

D.y＝－x＋2√√3.函數f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數，則滿足f(2x－1)>f

的x的取值范圍是________.∵f(x)的定義域是[0，＋∞)，又∵f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數，探究核心題型第二部分命題點1函數單調性的判斷題型一確定函數的單調性例1

下列函數在(0，＋∞)上單調遞增的是√對于選項B，由y＝|x2－2x|的圖象(圖略)知，B不正確；對于選項D，∵y＝ex與y＝－e－x均為R上的增函數，∴y＝ex－e－x為R上的增函數，故D正確.命題點2利用定義證明函數的單調性例2

試討論函數f(x)＝

(a≠0)在(－1,1)上的單調性.方法一設－1<x1<x2<1，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故當a>0時，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數f(x)在(－1,1)上單調遞減；當a<0時，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數f(x)在(－1,1)上單調遞增.當a>0時，f′(x)<0，函數f(x)在(－1,1)上單調遞減；當a<0時，f′(x)>0，函數f(x)在(－1,1)上單調遞增.確定函數單調性的四種方法(1)定義法；(2)導數法；(3)圖象法；(4)性質法.思維升華跟蹤訓練1

(1)函數g(x)＝x·|x－1|＋1的單調遞減區間為g(x)＝x·|x－1|＋1＝

畫出函數圖象，如圖所示，根據圖象知，函數的單調遞減區間為

.√(2)函數f(x)＝

的單調遞增區間是A.[－1，＋∞) B.(－∞，－1)C.(－∞，0) D.(0，＋∞)f(x)＝

分解為y＝2u和u＝－x2－2x兩個函數，y＝2u在R上單調遞增，u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上單調遞增，在[－1，＋∞)上單調遞減，根據復合函數單調性得到函數f(x)＝

在(－∞，－1)上單調遞增.√題型二函數單調性的應用命題點1比較函數值的大小例3

(2023·成都模擬)已知函數f(x)為R上的偶函數，對任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln)，b＝

，c＝

，則a，b，c的大小關系是A.c<b<a

B.a<c<bC.a<b<c

D.c<a<b√∵對任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，∴此時函數在區間(－∞，0)上單調遞減，∵f(x)是偶函數，∴當x∈(0，＋∞)時，f(x)單調遞增，又f(x)＝

在x∈(0，＋∞)上單調遞增，∴即a<c<b.命題點2求函數的最值y＝ln(4－x)在[1,3]上單調遞減，∴f(x)在[1,3]上單調遞增，例4

函數f(x)＝x－

－ln(4－x)在x∈[1,3]上的最大值為_____.命題點3解函數不等式f(x)在定義域(－2，＋∞)上是減函數，且f(－1)＝3，由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，例5

已知函數f(x)＝

－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，則a的取值范圍是_______.(0,1)解得0<a<1.命題點4求參數的取值范圍例6

已知函數f(x)＝

是R上的增函數，則實數a的取值范圍是√(1)比較函數值的大小時，先轉化到同一個單調區間內，然后利用函數的單調性解決.(2)求解函數不等式時，由條件脫去“f”，轉化為自變量間的大小關系，應注意函數的定義域.(3)利用單調性求參數的取值(范圍).根據其單調性直接構建參數滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結合圖象求解.對于分段函數，要注意銜接點的取值.思維升華跟蹤訓練2

(1)(2023·蘭州模擬)設函數f(x)＝

則滿足不等式f(2x－1)<2的解集是√函數f(x)的圖象如圖所示，由圖可知，函數f(x)在R上單調遞增，因為f(4)＝2，所以f(2x－1)<2等價于f(2x－1)<f(4)，(2)若函數f(x)＝

在(a，＋∞)上是增加的，則實數a的取值范圍為_______.∵f(x)在(a，＋∞)上是增加的，[1,2)課時精練第三部分基礎保分練1.下列函數在R上為增函數的是A.y＝x2

B.y＝x1234567891011121314√y＝x2在(－∞，0]上單調遞減，在(0，＋∞)上單調遞增，故選項A錯誤；y＝x在R上為增函數，故選項B正確；12345678910111213142.函數f(x)＝－|x－2|的單調遞減區間為A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[0,2] D.[0，＋∞)∴函數y＝|x－2|的單調遞減區間是(－∞，2]，單調遞增區間為[2，＋∞)，∴f(x)＝－|x－2|的單調遞減區間是[2，＋∞).√1234567891011121314A.(－∞，3] B.(2,3)C.(2,3] D.[3，＋∞)∵x2≥0，∴x2＋1≥1，√∴f(x)∈(2,3].123456789101112131412345678910111213144.已知函數f(x)＝

則下列結論正確的是①f(x)在R上為增函數；②f(e)>f(2)；③若f(x)在(a，a＋1)上單調遞增，則a≤－1或a≥0；④當x∈[－1,1]時，f(x)的值域為[1,2].A.①②③

B.②③④C.①④

D.②③√易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上單調遞增，故①錯誤，②正確；若f(x)在(a，a＋1)上單調遞增，則a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故③正確；當x∈[－1,0]時，f(x)∈[1,2]，當x∈(0,1]時，f(x)∈(－∞，2]，故當x∈[－1,1]時，f(x)∈(－∞，2]，故④錯誤.12345678910111213145.(2023·南通模擬)已知函數f(x)＝

若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，則有A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(a)>f(c)>f(b)D.f(c)>f(a)>f(b)√1234567891011121314因為y＝ex是增函數，y＝e－x是減函數，所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上單調遞增，且f(x)>0.又f(x)＝－x2在(－∞，0]上單調遞增，且f(x)≤0，所以f(x)在R上單調遞增.又c＝log20.9<0,0<b＝log32<1，a＝50.01>1，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c).123456789101112131412345678910111213146.已知函數f(x)＝x－

(a≠0)，下列說法正確的個數是①當a>0時，f(x)在定義域上單調遞增；②當a＝－4時，f(x)的單調遞增區間為(－∞，－2)，(2，＋∞)；③當a＝－4時，f(x)的值域為(－∞，－4]∪[4，＋∞)；④當a>0時，f(x)的值域為R.A.1B.2C.3D.4√定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞).∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調遞增，故①錯誤；又當x→－∞時，f(x)→－∞，當x→0－時，f(x)→＋∞，∴f(x)的值域為R，故④正確；1234567891011121314由其圖象(圖略)可知，②③正確.12345678910111213147.函數f(x)＝x2－6|x|＋8的單調遞減區間是__________________.當x≥0時，函數f(x)＝x2－6x＋8的單調遞減區間為[0,3]，當x<0時，函數f(x)＝x2＋6x＋8的單調遞減區間為(－∞，－3]，(－∞，－3]，[0,3]12345678910111213148.已知命題p：“若f(x)<f(4)對任意的x∈(0,4)都成立，則f(x)在(0,4)上單調遞增”.能說明命題p為假命題的一個函數是__________________________________________________________________________.f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)由題意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)，則函數f(x)的圖象在(0,4)上先單調遞減再單調遞增，

當x＝1時，函數值最小，且f(x)<f(4)，滿足題意，所以函數f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)可以說明命題p為假命題.12345678910111213149.已知函數f(x)＝x|x－4|.(1)把f(x)寫成分段函數，并在直角坐標系內畫出函數f(x)的大致圖象；1234567891011121314函數圖象如圖所示.(2)寫出函數f(x)的單調遞減區間.1234567891011121314由(1)中函數的圖象可知，函數f(x)的單調遞減區間為(2,4).1234567891011121314(1)求f(0)的值；1234567891011121314(2)探究f(x)的單調性，并證明你的結論.f(x)在R上單調遞增.證明如下：∵f(x)的定義域為R，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝

，∵y＝2x在R上單調遞增且x1<x2，∴0<<，∴∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上單調遞增.1234567891011121314123456789101112131411.若函數f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上單調遞增，則實數a的取值范圍為A.(0，＋∞) B.(2，＋∞)C.(0,2] D.[2，＋∞)√綜合提升練在函數f(x)＝ln(ax－2)中，令u＝ax－2，函數y＝lnu在(0，＋∞)上單調遞增，而函數f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上單調遞增，則函數u＝ax－2在(1，＋∞)上單調遞增，且?x>1，ax－2>0，因此

解得a≥2，所以實數a的取值范圍為[2，＋∞).1234567891011121314123456789101112131412.設函數f(x)＝x2022－

＋5，則f(x)的單調遞增區間為__________，不等式f(x－1)<5的解集為___________.由題意得f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞).因為f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函數.