第2節運動的合成與分解【知識梳理】一、一個平面運動的實例1．實驗觀察蠟塊的運動蠟塊在豎直玻璃管內向上勻速運動的同時，將玻璃管沿水平方向向右做勻速運動，觀察到蠟塊向右上方運動。2．蠟塊的位置：蠟塊沿玻璃管勻速上升的速度設為vy，玻璃管向右勻速移動的速度設為vx。從蠟塊開始運動的時刻計時，于是，在時刻t，蠟塊的位置P可以用它的x、y兩個坐標表示x＝vxt，y＝vyt。3．蠟塊運動的軌跡由以上兩式消去t，得y＝eq\f(vy,vx)x，由于vx和vy均是常量，所以蠟塊運動的軌跡是一條過原點的直線。y＝eq\f(vy,vx)x為軌跡方程。4．蠟塊的速度由勾股定理可得：v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))，v與x軸正方向間夾角的正切為tanθ＝eq\f(vy,vx)。二、運動的合成與分解1．合運動與分運動：一個物體同時參與幾個運動，那么物體實際發生的運動叫做合運動，參與的那幾個運動叫做分運動。2．運動的合成與分解(1)運動的合成：由已知的分運動求合運動的過程。(2)運動的分解：由已知的合運動求分運動的過程。(3)運算法則：運動的合成與分解遵從矢量運算法則。【方法突破】一、對運動的合成與分解的理解■方法歸納1．合運動與分運動的關系獨立性一個物體同時參與兩個運動，其中的任一個分運動并不會因為有另外的分運動的存在而有所改變。即各分運動是互相獨立的、互不影響的等時性各個分運動與合運動總是同時開始，同時結束，經歷的時間相等。不是同時發生的運動不能進行運動的合成等效性各分運動合成起來和合運動效果相同，即分運動與合運動可以“等效替代”同體性合運動和它的分運動必須對應同一個物體的運動，一個物體的合運動不能分解為另一個物體的分運動2．運動的合成與分解法則運動的合成與分解是指描述物體運動的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解．由于它們都是矢量，所以它們都遵循矢量的合成與分解法則．①兩分運動在同一直線上時，同向相加，反向相減．②不在同一直線上，按照平行四邊形定則進行合成或分解．3．合運動與分運動的性質和軌跡的關系：兩直線運動的合運動的性質和軌跡，由各分運動性質及合初速度與合加速度的方向和大小關系決定．①兩個勻速直線運動的合運動一定是勻速直線運動．②一個勻速直線運動和一個勻變速直線運動的合運動是勻變速運動，當二者共線時為勻變速直線運動，不共線時為勻變速曲線運動．③兩個勻變速直線運動的合運動一定是勻變速運動．若合初速度方向與合加速度方向在同一條直線上，則是直線運動；若合初速度方向與合加速度方向不在一條直線上，則是曲線運動．【例1】如圖甲所示，在一端封閉、長約1m的玻璃管中注滿清水，水中放一個直徑略小于玻璃管內徑的圓柱形紅蠟塊R，將玻璃管的開口端用膠塞塞緊。把玻璃管迅速豎直倒置，紅蠟塊R就沿玻璃管由管口A勻速上升，在紅蠟塊剛從管口A開始勻速上升的同時，將玻璃管由靜止開始水平向右勻加速移動（如圖乙所示），直至紅蠟塊上升到管底B的位置（如圖丙所示）。以地面為參考系，以紅蠟塊開始勻速運動的位置為原點，以水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向建立平面直角坐標系，描繪紅蠟塊R在這一運動過程中的軌跡，圖中可能正確的是（

）A． B． C． D．【針對訓練1】在雜技表演中，猴子沿豎直桿向上做初速度為0、加速度為a的勻加速運動，同時人頂著直桿以速度v0水平勻速前進，經過時間t，猴子沿桿向上移動的高度為h，人頂桿沿水平地面移動的距離為x，如圖所示．關于猴子的運動情況，下列說法中正確的是（

）A．相對地面的運動軌跡為直線B．相對地面做勻變速曲線運動C．t時刻猴子相對地面的速度大小為v0＋atD．t時間內猴子相對地面的位移大小為2二、小船過河問題■方法歸納小船過河問題可以基于以下幾點進行理解和分析：(1)將船實際的運動看做船隨水流的運動和船在靜水中的運動的合運動．(2)如圖所示，v水為水流速度，v靜水表示船在靜水中的速度，將船的速度v靜水沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，則v水－v靜水cosθ為船實際上沿水流方向的運動速度，v⊥＝v靜水sinθ為船垂直于河岸方向的運動速度．兩個方向的運動情況相互獨立、互不影響．1．過河的最短時間過河時間僅由v靜水垂直于河岸的分量v⊥決定，即t＝eq\f(d,v⊥)，與v水無關．要使過河時間最短，應使垂直河岸方向的速度最大，如圖所示，當sinθ＝1，即v靜水垂直于河岸時，過河所用時間最短，最短時間為t＝eq\f(d,v靜水)，與v水無關．2．過河的最小位移過河位移由實際運動軌跡的方向決定，要使過河位移最小，應使合位移(或合速度)與河岸方向的夾角最大．(1)當v水<v靜水時，過河的最小位移即河的寬度．如圖所示，為了使過河位移等于河寬d，這時船頭應指向河的上游，并與河岸成一定的角度θ，使船的合速度v的方向與河岸垂直．此時，v水－v靜水cosθ＝0，過河時間t＝eq\f(d,v)＝eq\f(d,\r(v\o\al(2,靜水)－v\o\al(2,水))).(2)當v水>v靜水時，不論船的航向如何，總是被水沖向下游．此時合速度v與河岸方向的夾角α越大，船過河的位移越小．那么，在什么條件下α角最大呢？如圖所示，以v水的矢尖為圓心，以v靜水的大小為半徑畫圓，當合速度與圓相切時，α角最大．由三角形的相似性，最小位移為s＝eq\f(v水,v靜水)d，過河時間t＝eq\f(s,v)＝eq\f(v水d,v靜水\r(v\o\al(2,水)－v\o\al(2,靜水))).【例2】如圖所示，一條小船渡河，河水流速，船在靜水中速度，船頭方向與河岸垂直。關于小船的運動，下列說法正確的是（）A．小船的實際運動軌跡與岸垂直B．此時小船的渡河時間不是最短C．小船相對于岸的速度大小為D．小船相對于岸的速度大小為【針對訓練2】如圖所示，河水流速以及渡船在靜水中的劃行速度大小均恒定，渡船從平直河岸邊的A處開始渡河，當船頭方向垂直河岸時，渡船到達正對岸岸邊B處下游的C處，A、C連線與水流方向的夾角為60°。若要使渡船從A處開始渡河，能夠沿直線到達B處，則船頭方向與水流反方向的夾角θ的正切值應為（）A． B． C． D．三、關聯速度問題■方法歸納繩、桿關聯問題是指物拉繩(桿)或繩(桿)拉物問題．高中階段研究的繩都是不可伸長的，桿都是不可伸長和不可壓縮的，即繩或桿的長度不會改變，所以解題的原則是：把物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和平行于繩(桿)兩個分量，根據沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解．常見的模型如圖所示．【例3】如題圖所示，汽車通過繩子繞過定滑輪連接重物M一起運動，不計滑輪摩擦和繩子質量，已知重物M以v勻速向上運動，連接汽車的輕繩與水平方向夾角為θ，汽車的速度用v汽表示。則（）A． B．C．汽車做勻速運動 D．汽車做勻加速運動【針對訓練3】A、B兩物體通過一根跨過定滑輪的輕繩相連放在水平面上，現物體B以的速度向左勻速運動，如圖所示，當繩被拉成與水平面夾角分別是、時。物體A的運動速度為（繩始終有拉力）（）A． B． C． D．【鞏固提升】1．質量為2kg的質點在xOy平面上做曲線運動，在x方向的速度圖像和y方向的位移圖像如圖所示，下列說法中正確的是（）A．質點的初速度大小為3m/sB．質點所受的合外力為3N，做勻變速曲線運動C．2s內質點的位移大小約為17mD．2s末質點速度大小為6m/s2．在我校某周年校慶活動上，一小型無人機在空中航拍，將其運動沿水平方向和豎直方向分解，水平位移x隨時間t變化的圖像如圖甲所示，豎直方向的速度隨時間變化的圖像如圖乙所示。關于無人機的運動，下列說法正確的是（）A．內做勻加速曲線運動 B．時速度大小為C．內加速度大小為 D．內位移大小為3．物體在直角坐標系xOy所在的平面內由O點開始運動，x軸方向的加速度隨時間變化圖像如圖a所示，y軸方向速度隨時間變化的圖像如圖b所示，物體的初速度為2m/s，則對該物體運動過程的描述正確的是（）A．物體在0～2s做直線運動，在2s～3s做曲線運動B．物體在0～2s的加速度大小為，2s～3s的加速度大小為C．物體在0～2s和2s～3s內位移之比為D．物體2s末速度最大，最大值為4．民族運動會上有一直線側向騎射項目如圖所示，運動員騎在沿直線奔跑的馬上，彎弓放箭射擊跑道外側的固定目標，假設運動員騎馬奔馳的速度為v1，運動員靜止時射出的弓箭速度為v2，跑道距離固定目標的最近距離為d，要想命中目標且射出的箭在空中飛行時間最短（不考慮空氣阻力的影響），則（）A．運動員放箭處離目標的距離為B．運動員放箭處離目標的距離為C．箭射到固定目標的最短時間為D．箭射到固定目標的最短時間為5．唐僧、悟空、沙僧和八戒師徒四人想劃船渡過一條寬150m的河，他們在靜水中劃船的速度大小為3m/s，河水的流速為5m/s，對于這次劃船過河，他們有各自的看法，其中正確的是（）A．唐僧說：我們要想到達正對岸就得朝著正對岸劃船，最短時間需要50sB．悟空說：我們要想節省時間就得朝著正對岸劃船，最短時間需要30sC．沙僧說：我們要想少走點路就得朝著正對岸劃船。最短路程需要150mD．八戒說：今天這種情況我們是不可能到達正對岸的，渡河最短路程需要250m6．如圖，阿瑋要渡過湍急的河水游到河對岸去，已知水流的速度是2m/s，阿瑋游泳的速度是1m/s，岸寬30m，阿瑋想盡量不被水沖得太遠，則到達對岸時，偏離正對岸的最小距離為（）A．30m B． C． D．60m7．一條船要在最短時間內渡過寬為100m的河，已知河水的流速與船離河岸的距離變化的關系如圖甲所示，船在靜水中的速度與時間的關系如圖乙所示，則以下判斷中正確的是（）A．船渡河的最短時間25sB．船運動的軌跡可能是直線C．船在河水中航行的平均加速度大小為D．船在河水中的最大速度是8．如圖所示，水平固定的光滑細長桿上套有一物塊Q，跨過懸掛于O點的輕小光滑圓環的細線一端連接Q，另一端懸掛一物塊P。設細線的左邊部分與水平方向的夾角為，初始時很小，現將P、Q由靜止同時釋放，關于P、Q以后的運動，下列說法正確的是（??）A．在向90°增大的過程中，P一直處于超重狀態B．當時，P的速度最大C．當時，Q的速度最大D．當時，P、Q的速度大小之比是9．如圖所示，某救援隊利用如下裝置轉運救災