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微分方程第十二章—積分問題—微分方程問題

推廣1/15/2025高等數學課件微分方程的基本概念機動目錄上頁下頁返回結束第一節微分方程的基本概念引例幾何問題物理問題第十二章1/15/2025高等數學課件引例1.一曲線通過點(1,2),在該曲線上任意點處的解:設所求曲線方程為y=y(x),則有如下關系式:①(C為任意常數)由②得C=1,因此所求曲線方程為②由①得切線斜率為2x,求該曲線的方程.機動目錄上頁下頁返回結束1/15/2025高等數學課件常微分方程偏微分方程含未知函數及其導數的方程叫做微分方程.方程中所含未知函數導數的最高階數叫做微分方程(本章內容)(n階顯式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n階常微分方程的形式是的階.分類或機動目錄上頁下頁返回結束1/15/2025高等數學課件引例2—使方程成為恒等式的函數.通解—解中所含獨立的任意常數的個數與方程—確定通解中任意常數的條件.n階方程的初始條件(或初值條件):的階數相同.特解引例1

通解:特解:微分方程的解—不含任意常數的解,定解條件其圖形稱為積分曲線.機動目錄上頁下頁返回結束1/15/2025高等數學課件例1.

驗證函數是微分方程的解,的特解.解:

這說明是方程的解.是兩個獨立的任意常數,利用初始條件易得:故所求特解為故它是方程的通解.并求滿足初始條件機動目錄上頁下頁返回結束1/15/2025高等數學課件求所滿足的微分方程.例2.已知曲線上點P(x,y)處的法線與x軸交點為

Q解:如圖所示,令Y=0,得Q點的橫坐標即點P(x,y)處的法線方程為且線段PQ被y軸平分,第二節目錄上頁下頁返回結束

P263(習題12-1)1;2(3),

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