2024-2025學年山東省菏澤市高二上學期第三次月考（12月）數學檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知是等差數列，且，則的值是（

）A．24 B．27 C．30 D．332．在數列中，，則等于（

）A．4 B． C．13 D．3．已知A，，三點不共線，點不在平面內，，若A，，，四點共面，則的最大值為（）A． B． C．1 D．24．如圖，甲站在水庫底面上的點處，乙站在水壩斜面上的點處.已知庫底與水壩所成的二面角為，測得從，到庫底與水壩的交線的距離分別為，，若，則甲、乙兩人相距（）A． B． C． D．5．已知等差數列，則“單調遞增”是“”的（

）條件A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件6．已知點在基底下的坐標是，其中，則點在基底下的坐標是（

）A． B． C． D．7．給定兩個不共線的空間向量與，定義叉乘運算，規(guī)定：①為同時與垂直的向量；②三個向量構成右手系（如圖1）；③．如圖2，在長方體中中，，則下列說法中錯誤的是（

）A．B．C．D．8．過拋物線的焦點作圓的切線，該切線交拋物線C于A，B兩點，則（）A． B．14 C．15 D．16二、多選題（本大題共3小題）9．（多選）等差數列，的前項和分別為，，，則下列說法正確的有（

）A．數列是遞增數列 B．C． D．10．在棱長為2的正方體中，為線段上的動點，則下列結論正確的是（）

A．直線與所成的角不可能是B．當時，點到平面的距離為C．當時，D．若，則二面角的平面角的正弦值為11．已知定點，，動點P到B的距離和它到直線：的距離的比是常數，則下列說法正確的是（）A．點P的軌跡方程為：B．P，A，B不共線時，面積的最大值為C．存在點P，使得D．為坐標原點，的最小值為4三、填空題（本大題共3小題）12．已知點，與向量不共線的向量在上的投影向量為，請你給出的一個坐標為.13．記等差數列的前項和分別為．若，則．14．已知數列中，，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知是等差數列的前n項和．（1）證明是等差數列；（2）設為數列的前n項和，若，，求．16．已知橢圓的中心在坐標原點，兩個焦點分別為，點在橢圓上．(1)求橢圓的標準方程；(2)已知直線與橢圓交于、兩點，且，求面積的取值范圍．17．如圖，在棱長為的正方體中，，分別是，上的動點，且．(1)求證：；(2)當三棱錐的體積取得最大值時，求平面與平面的夾角的正切值．18．在數列中，數列滿足(1)證明數列是等差數列并求出通項公式.(2)數列的前n項和為，問是否存在最大值?若存在，求的最大值及取得最大值時n的值；若不存在，請說明理由.19．如圖，在三棱錐中，，，是線段上的點.

(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為，求的長；(3)若平面，為垂足，直線與平面的交點為，當三棱錐體積最大時，求的長.

答案1．【正確答案】B【詳解】因為是等差數列，所以也成等差數列，則，所以．故選：B.2．【正確答案】A【詳解】依題意，在數列中，，即，所以．故選：A.3．【正確答案】B【詳解】因為A，，，四點共面，所以，則，又，所以，當且僅當時取“＝”.故選：B.4．【正確答案】B【詳解】由已知可得，與的夾角為，且，，不共面，以，，為空間向量基底，則，即，所以，故選：B.5．【正確答案】A【分析】根據等差數列的概念得到，進而推得結果.【詳解】已知等差數列的公差為，即，當單調遞增時，，令得到，；反之，，為單調遞增.故“單調遞增”是“”的充要條件．故選：A.6．【正確答案】A【詳解】在基底下的坐標為，在基底下的坐標為．故選：A．7．【正確答案】B【詳解】對于A，同時與垂直，，且構成右手系，即成立，A正確；對于B，，則，B錯誤；對于C，，與共線，且方向相同，與共線，且方向相同，與共線，且方向相同，則與共線，且方向相同，因此，C正確；對于D,，，因此，D正確．故選：B8．【正確答案】D【詳解】記拋物線的焦點為，則.記切點為，因為圓的圓心為，所以，，所以，由對稱性，不妨設切點在第一象限，則直線AB的方程為.設Ax1,y1，B所以，所以.故選：D.9．【正確答案】AB【詳解】A選項，，由于，所以是遞增數列，A正確；B選項，，令得，所以，B正確；C選項，由B選項，令得，故，C錯誤；D選項，當時，，D錯誤．故選：AB10．【正確答案】ABC【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，對于A，，，設，故，，設直線與所成的角為，則，若直線與所成的角是，則，整理得到：，即，解得，故直線與所成的角不可能是，故A正確；對于B，當時，結合A中分析可得，故，故，而，設平面的法向量為，則，即，取，得，又，故到平面的距離為，故B正確；對于C，當時，又B的分析可得，故，故，故C正確；對于D，當時，結合B的分析可得，此時，故，而，設此時平面的法向量為，則，即，取，得，又，，設平面的法向量為，則，即，取，得，故，故二面角的平面角的正弦值為，故D錯誤.故選：ABC.

11．【正確答案】BD【詳解】選項A，設，則，平方整理得，即為點軌跡方程，A錯；選項B，由軌跡方程知點軌跡是橢圓，，由于，橢圓的焦點是，當點為橢圓短軸頂點時，面積最大，此時面積為，B正確；選項C，由于，因此以為直徑的圓與橢圓沒有交點，因此不存在，使得，C錯；選項D，如圖，作，為垂足，則，，當且僅當共線時，取得最小值4，即的最小值為4，D正確．故選：BD.12．【正確答案】（答案不唯一）由點，可得，又向量在上的投影向量為，則則，又向量與向量不共線，則不成立則可令，即，故（答案不唯一）13．【正確答案】【詳解】設，則．故，則,且．故，則．故．14．【正確答案】8097【詳解】由題設可得，又，所以，所以，，即，所以為等差數列，公差為4，首項為5，所以．故8097．15．【正確答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）寫出，求出，化簡，最終得出結論；（2）求出，，求出公差，進一步求出，根據求和公式得出.【詳解】（1）∵∴∴∴是等差數列；（2），公差又∵∴∴∴.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設橢圓標準方程為：，由題意：，所以橢圓的標準方程為.（2）如圖：若直線的斜率不存在，則可取，因為，可取，此時.若直線的斜率為0，同理可得.當直線的斜率存在且不為0時，設直線的方程為，由，得，則，用代替，得，則.所以.設，則.因為，所以，，所以，所以.綜上，17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）構建空間直角坐標系，令且，應用向量法求證垂直即可；（2）由三棱錐體積最大，只需△面積最大求出參數，再標出相關點的坐標，求平面與平面的法向量，進而求它們夾角的余弦值，即可得正切值.【詳解】（1）如下圖，構建空間直角坐標系，令且，所以，，，，則，，故，所以，即.（2）由（1）可得三棱錐體積取最大，即面積最大，所以當時，故、為、上的中點，所以，，，故，，若為平面的法向量，則，令，故，又面的法向量為，所以，設平面與平面的夾角為，由圖可知為銳角，則，所以，所以，所以平面與平面的夾角正切值為.18．【正確答案】(1)證明見解析，(2)存在最大值，最大值為，此時或【分析】（1）證明出相鄰兩項的差為常數，即可得到結果；（2）根據數列的單調性以及最值可求得結果.【詳解】（1）因為，所以，則，即，因為，所以，又，所以，，所以是以首項，公差的等差數列，所以；（2）根據等差數列的前項和公式可得，對于二次函數，其對稱軸為，因為，當或時，取得最大值，當時，，當時，，所以存在最大值，最大值為，此時或.19．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）取的中點，連接、，因為，，則，

所以，所以，所以，又因為，所以，則，又因為，所以，又因為，，、平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面.（2）因為平面，，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則、、、，所以，，因為為棱上的點，設，其中，所以，，且，設平面的法向量