第九章中心對稱圖形平行四邊形（14類題型突破）題型一旋轉的概念與性質【例1】在中，，在同一平面內，將繞點A旋轉到三角形的位置使得，則（

）A．138 B．128 C．118 D．108【例2】如圖，是由繞點順時針旋轉后得到的圖形，若點恰好落在上，且，則的度數是（

）A． B． C． D．鞏固訓練1．如圖，在中，，將繞點A按逆時針方向旋轉得到．若點恰好落在邊上，且，則的度數為___________．2．以原點為中心，把點逆時針旋轉得到點，則點的坐標為______．3．如圖，是由按順時針方向旋轉某一角度得到的．若，則在旋轉過程中，旋轉中心是點A，則旋轉的角度是______．

題型二旋轉作圖【例3】把圖形繞O點順時針旋轉180度后，得到的圖形是（）A． B． C． D．【例4】如圖，在方格紙中，將繞點按順時針方向旋轉90°后得到，則下列四個圖形中正確的是（）A． B．C． D．【例5】如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的兩格中，點A、B、C都是格點．(1)將向左平移6個單位長度得到得到，請畫出；(2)將繞點O旋轉180°得到，請畫出．鞏固訓練4．在圖中，將方格紙中的圖形繞O點順時針旋轉90°得到的圖形是（

）A． B．C． D．5．如圖，在直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，．(1)將繞原點按逆時針方向旋轉得到，直接寫出，，三點的坐標．(2)畫出將向左平移1個單位得到的．(3)畫出繞點順時針旋轉的．(4)求的面積．6．如圖，在平面直角坐標系中，已知點，和，請按下列要求畫圖并填空．(1)平移線段，使點平移到點，畫出平移后所得的線段；(2)將線段繞點逆時針旋轉，畫出旋轉后所得的線段，連接，，，判斷的形狀；(3)若在y軸上找一點F，使的周長最小，則點F的坐標為_．題型三中心對稱【例6】如圖，與關于點O成中心對稱，下列結論中不成立的是（）

A． B． C．點A的對稱點是點 D．【例7】如圖，在平面直角坐標系中，與關于點成中心對稱．已知點的坐標為，則點的坐標是()A． B． C． D．【例8】如圖，與關于點成中心對稱，有以下結論：①點A與點是對稱點；②；③；④．其中正確結論的序號為________．

鞏固訓練7．在平面直角坐標系中，與關于原點O成中心對稱的是（）A． B．C． D．8．如圖，與關于點成中心對稱，下列結論中不成立的是（

）A． B．C．點的對稱點是點 D．9．如圖，將繞點旋轉得到，設點的坐標為，則點的坐標為___________．

題型四中心對稱圖形【例9】下列標識圖案中，是中心對稱圖形的是（

）A． B．C． D．【例10】下面的圖形是用數學家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【例11】下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．鞏固訓練10．下列圖形中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．11．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A．

B．C．

D．

12．如圖圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．

B．

C．

D．

題型五平行四邊形的性質【例12】如圖，的對角線、交于點O，平分交于點E，且，，連接．下列結論：①；②；③；④，成立的個數有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【例13】如圖、在平行四邊形中，對角線交于點O，若，，，的周長為（）A．13 B．16 C．18 D．21【例14】如圖，中，，，E、F分別是，上的點，且，連接交于O．(1)求證：；(2)若，延長交的延長線于G，當時，求的長．鞏固訓練13．在平行四邊形中，如果，那么的度數是________度．14．如圖，在中，，，則的度數是______．15．如圖，在平行四邊形中，，的平分線交線段于點E，則______．題型六平行四邊形的判定【例15】如圖，D是直線l外一點，在l上取兩點A，B，連接AD，分別以點B，D為圓心，AD，AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接CD，BC，則四邊形ABCD是平行四邊形，理由是_____________．【例16】已知：如圖，的對角線，相交于點，，，垂足分別為，．求證：四邊形是平行四邊形．

【例17】如圖，已知在四邊形中，于點于點．求證：四邊形是平行四邊形．【例18】如圖，是內一點，連接，線段，的中點分別為，．請你判斷四邊形的形狀，并說明理由．鞏固訓練16．如圖，在四邊形ACBD中，AB與CD相交于點O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分別是OC，OD的中點．求證：四邊形AEBF是平行四邊形．17．如圖，，，垂足為點E，，垂足為點F，并且．求證：(1)；(2)四邊形是平行四邊形．18．中，是對角線，交于點，交于點，連接、．求證：四邊形是平行四邊形．19．如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉得到，點恰好在的延長線上，連接，求證：四邊形是平行四邊形．題型七矩形的性質【例19】如圖，延長矩形的邊至點E，使，連接，若，則的度數是（

）A． B． C． D．【例20】如圖，在矩形中，以點A為圓心為半徑順時針旋轉線段交于E，以點C為圓心為半徑順時針旋轉線段交于F，連接、，若，則一定為（

）A． B． C． D．鞏固訓練20．如圖，在矩形中，，，點是的中點，連結，將沿折疊，點落在點處，連結，則的長是（

）A． B． C． D．21．如圖，在矩形中，交于點O，于點E，，則的度數為_________。22．如圖，將矩形繞點順時針旋轉后得到矩形，若，，則的長為________________．題型八矩形的判定【例21】如圖，在平行四邊形中，，是上兩點，，連接，，，，添加一個條件，使四邊形是矩形，這個條件是（

）A． B． C． D．【例22】如下圖，四邊形中，和是對角線．依據圖中線段所標的長度，下列四邊形不一定為矩形的是（

）A． B．C． D．【例23】如圖，已知四邊形是平行四邊形，對角線交于點是等邊三角形．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求的長．【例24】如圖，菱形的對角線，交于點O，F是的中點，過點B作交的延長線于點E，連接，猜想四邊形的形狀，并進行證明．鞏固訓練23．如圖，在中，D是邊上一點，E是的中點，過C作，交的延長線于點F．(1)求證：；(2)連接．若D是的中點，在中添加什么條件時，四邊形是矩形？請證明你的結論．24．如圖，在菱形中，對角線交于點O，過點A作于點E，延長到點F，使得，連接，(1)求證：四邊形是矩形．(2)連接，若______．題型九菱形的性質【例25】已知如圖，菱形中，對角線與相交于點O，于E，交于點F，若，則一定等于（

）A． B． C． D．【例26】如圖，菱形中，交于于，連接，若，則（

）A． B． C． D．【例27】如圖，在菱形中，于點，交對角線于點，過點作于點，若的周長為8，則菱形的面積為______．

【例28】如圖，菱形的對角線、交于點O，且，，則菱形一邊上的高長為_____．【例29】若菱形的一條對角線是另一條對角線的2倍，且菱形的面積為，則菱形的周長為_____．鞏固訓練25．已知一個菱形的邊長為2，一條對角線長為，則這個菱形的面積是_______．26．如圖，在菱形中，，點在邊上，以為邊在菱形內部作等邊三角形，若，則________．27．邊長為的菱形，一條對角線長是，則菱形的面積是______．28．如圖，菱形的周長為16，對角線與相交于點O，，垂足為E，若，則的長為______．29．在菱形中，若對角線，，則菱形的面積是______．題型十菱形的判定【例30】如圖，在矩形中，E，F分別是，中點，連接，，，分別交于點M，N，四邊形是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．無法確定【例31】已知，是△ABC的角平分線，交AB于點E，交于點F．求證：四邊形是菱形．【例32】如圖，在四邊形中，，，對角線，交于點O，平分，過點C作交的延長線于點E，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．【例33】如圖，四邊形為矩形，為中點，過點作的垂線分別交、于點、，連接、．

(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求的長．【例34】如圖，在中，，平分，交于點，點在線段上，點在的延長線上，且，連接、、、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，，求的長．鞏固訓練30．如圖，在正方形中，點E、F是對角線上，且，連接、、、．求證：(1)；(2)四邊形菱形．31．如圖，已知平行四邊形中，對角線交點O，E是延長線上的點，且是等邊三角形．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．32．已知：如圖，是的角平分線，交于點E，交于點F．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，試求四邊形的面積．題型十一正方形的性質【例35】如圖，在正方形的邊上取一點E，連接并延長交的延長線于點F，將射線繞點A順時針旋轉后交的延長線于點G，連接，若，則的大小是（）A．α B． C． D．【例36】如圖，在正方形的外側，作等邊，則的度數是________．【例37】如圖，正方形的兩條對角線，相交于點，點在上，且．則的度數為__________．鞏固訓練33．如圖，在正方形中，，E為邊上一點，點F在邊上，且，將點E繞著點F順時針旋轉得到點G，連接，則的長的最小值為（

）A．3 B．2.5 C．4 D．34．如圖，是正方形內一點，將繞點順時針方向旋轉后與重合，若，則______．35．在正方形中，點M在上，將沿著翻折到，連、．若，則的度數為______．

36．如圖，在正方形的外側作等邊，則的度數為_______．37．如圖，以正方形的邊作等邊，則的度數是________．題型十二正方形的判定【例38】已知，如圖，矩形中，，菱形的三個頂點E，G，H分別在矩形的邊，，上，，連接．(1)若，求證：四邊形為正方形；(2)當點G在邊上運動時，點F到邊的距離是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；(3)試說明當點G運動到何處時，的面積最小，并求出這個最小值．【例39】如圖，在中，，的角平分線交于點G，于點E，于點F，(1)求證：四邊形是正方形；(2)若，，求四邊形的周長．【例40】如圖1：在紙片中，，于點D．第一步：將一張與其全等的紙片沿剪開：第二步：在同一平面內將所得到的兩個三角形和拼在一起，如圖2所示，這兩個三角形分別記為和；第三步：分別延長和相交于點．(1)求證：四邊形是正方形：(2)如圖3，連接分別交、于點M、N，將繞點A逆時針旋轉，使與重合，得到，則的度數為______；、、之間的數量關系為______．鞏固訓練38．如圖，在中，，點為其內一點，且，分別平分．若于點，于點，則四邊形是正方形嗎請說明理由．

39．如圖，在矩形中，，，P為邊上的動點，將沿折疊得到，連接，．

(1)若，求證：四邊形為正方形；(2)當P在運動過程中，求的最小值；(3)當時，求的長．40．如圖，四邊形的對角線互相平分，，求證：四邊形是正方形．

題型十三三角形中位線定理【例41】如圖，在中，D，E分別是，的中點，，F是上一點，連接，，．若，則的長度為（）

A．10 B．12 C．14 D．16【例42】如圖，在矩形中，，，對角線，相交于點O．點，分別是，的中點，連接，則的周長為（

）A．12 B．18 C．20 D．16【例43】如圖所示，在中，點，，分別為，，的中點，且，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【例44】如圖，若、、分別是的三邊的中點，則與的周長之比＝________．鞏固訓練41．如圖，在中，已知點D，E，F分別為邊，，的中點，且，則（

）

A． B． C． D．42．如圖，在中，已知點D，E，F分別為邊，，的中點，，則（）

A． B． C． D．43．如圖，為了測量池塘邊兩地之間的距離，在的同側取一點，連接并延長至點，連接并延長至點，使得，，若測得，則間的距離是（

）

A． B． C． D．44．如圖，中，，，D，E分別為上的點，，F，G分別為，的中點，連，則的長度是___________．

45．如圖，在中，D、E分別為的中點，且，則______．題型十四梯形中位線和中點四邊形【例45】下列命題正確的是（

）A．菱形的對角線互相垂直平分B．順次連接菱形各邊中點得到的四邊形是正方形C．對角線相等的四邊形是矩形D．順次連接矩形各邊中點得到的四邊形是正方形【例46】順次連接矩形的中點所得的四邊形是（

）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四邊形【例47】順次連接四邊形各邊中點構成一個菱形,則四邊形一定是（

）A．菱形 B．矩形 C．等腰梯形 D．對角線相等的四邊形鞏固訓練46．下列命題中，真命題是（

）A．順次聯結平行四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形B．順次聯結等腰梯形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形C．順次聯結對角線垂直的四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是菱形D．順次聯結對角線相等的四邊形各邊的中點，所得的四邊形一定是矩形47．依次連接矩形各邊中點所得到的四邊形是（

）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形48．如圖，點是四邊形內一點，且滿足，，，，，，分別為邊，，，的中點，則四邊形的形狀為______.

49．依次連接菱形各邊中點所得到的四邊形是______．

第九章中心對稱圖形平行四邊形（14類題型突破）答案全解全析題型一旋轉的概念與性質【例1】在中，，在同一平面內，將繞點A旋轉到三角形的位置使得，則（

）A．138 B．128 C．118 D．108【答案】B【分析】本題考查了旋轉的性質，平行線的性質，根據旋轉性質，得到，繼而得到，根據，得到，根據三角形內角和定理計算即可．【詳解】根據旋轉性質，得到，∴，∵，∴，∴，∴，故選B．【例2】如圖，是由繞點順時針旋轉后得到的圖形，若點恰好落在上，且，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了旋轉的性質，根據旋轉后對應邊的夾角等于旋轉角，得出，即可求解．【詳解】解：∵是由繞點順時針旋轉后得到的圖形，∴，∵，．故選：B．鞏固訓練1．如圖，在中，，將繞點A按逆時針方向旋轉得到．若點恰好落在邊上，且，則的度數為___________．【答案】/24度【分析】由，得，根據外角性質可證，由旋轉的性質可知，則，根據三角形內角和為得即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，∵將繞點A按逆時針方向旋轉得到，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，等腰三角形的性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理等知識，證明出是解題的關鍵．2．以原點為中心，把點逆時針旋轉得到點，則點的坐標為______．【答案】【分析】本題主要考查點的旋轉，全等三角形的判定和性質，根據題意作圖，圖形結合分析即可求解，掌握點的旋轉的性質，圖形結合分析是解題的關鍵．【詳解】解：根據題意，作圖如下，過點作軸于點，過點作軸于點，∵，∴，，∵點逆時針旋轉得點，∴，，∵軸，軸，∴，∴，在中，，∴，∴，，∴，故答案為：．3．如圖，是由按順時針方向旋轉某一角度得到的．若，則在旋轉過程中，旋轉中心是點A，則旋轉的角度是______．

【答案】【分析】本題主要考查了旋轉的相關定義，根據旋轉前后對應邊的夾角等于旋轉角，即可解答．【詳解】解：∵，，∴，即旋轉角為，故答案為：．題型二旋轉作圖【例3】把圖形繞O點順時針旋轉180度后，得到的圖形是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查旋轉的性質，中心對稱，由繞O點順時針旋轉180度，即原圖形與旋轉后的圖形關于點O中心對稱，據此逐一判斷即可．【詳解】解：把圖形繞O點順時針旋轉180度后，得到的圖形是選項C的圖形．故選：C．【例4】如圖，在方格紙中，將繞點按順時針方向旋轉90°后得到，則下列四個圖形中正確的是（） B．C． D．【答案】B【分析】根據繞點按順時針方向旋轉90°逐項分析即可．【詳解】A、是由關于過B點與OB垂直的直線對稱得到，故A選項不符合題意；B、是由繞點按順時針方向旋轉90°后得到，故B選項符合題意；C、與對應點發生了變化，故C選項不符合題意；D、是由繞點按逆時針方向旋轉90°后得到，故D選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查旋轉變換．解題的關鍵是弄清旋轉的方向和旋轉的度數．【例5】如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的兩格中，點A、B、C都是格點．(1)將向左平移6個單位長度得到得到，請畫出；(2)將繞點O旋轉180°得到，請畫出．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平移作圖，中心對稱作圖，正確確定圖形變換后對應點的位置是解題的關鍵．（1）先確定原位置，再確定平移位置，描點，畫圖即可．（2）先確定原位置，再確定關于點O對稱的坐標，描點，畫圖即可．【詳解】（1）根據題意，畫圖如下：則即為所求．（2）根據題意，畫圖如下：，則即為所求．鞏固訓練4．在圖中，將方格紙中的圖形繞O點順時針旋轉90°得到的圖形是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據旋轉的性質，找出圖中三角形的關鍵處（旋轉中心）按順時針方向旋轉90°后的形狀即可選擇答案．【詳解】根據旋轉的性質可知，繞O點順時針旋轉90°得到的圖形是故選B．【點睛】本題考查了旋轉的性質．旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．5．如圖，在直角坐標系中，的頂點坐標分別為，，．(1)將繞原點按逆時針方向旋轉得到，直接寫出，，三點的坐標．(2)畫出將向左平移1個單位得到的．(3)畫出繞點順時針旋轉的．(4)求的面積．【答案】(1)，，．(2)見解析(3)見解析(4)【分析】（1）本題考查旋轉后圖形頂點的坐標，根據作圖寫出點的坐標即可．（2）本題考查平移的作圖，根據題干給出的條件作圖即可．（3）本題考查旋轉的作圖，找出旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度和圖形關鍵點，作出關鍵點的對應點，依次連接對應點即可．（4）用割補法求面積，將三角形補成一個正方形，三角形的面積等于正方形面積減去三個直角三角形的面積，即可解題．【詳解】（1）解：如下圖所示：，，．（2）（3）

（4）解：如圖所示：．

6．如圖，在平面直角坐標系中，已知點，和，請按下列要求畫圖并填空．(1)平移線段，使點平移到點，畫出平移后所得的線段；(2)將線段繞點逆時針旋轉，畫出旋轉后所得的線段，連接，，，判斷的形狀；(3)若在y軸上找一點F，使的周長最小，則點F的坐標為_．【答案】(1)見解析(2)見解析，直角三角形(3)【分析】（1）利用點、的坐標特征得到平移規律，然后利用此平移規律寫出點坐標，描點即可；（2）利用網格特點和旋轉的性質畫出點所對應的點，觀察圖形即可求解；（3）作點關于軸對稱點，連接交軸于點，此時的周長最?。驹斀狻浚?）解：如圖所示，（2）如圖所示，，，，，的形狀為直角三角形；（3）作點關于軸對稱點，連接交軸于點，此時的周長最小，，故答案為：．【點睛】本題考查了平移作圖和旋轉作圖，最短路徑的問題，勾股定理的逆定理，熟練掌握平移、性質和軸對稱的性質是解題的關鍵．題型三中心對稱【例6】如圖，與關于點O成中心對稱，下列結論中不成立的是（）

A． B． C．點A的對稱點是點 D．【答案】B【詳解】根據中心對稱的性質解決問題即可．解：∵與關于點O成中心對稱，∴，，點A的對稱點是點，，故A，C，D正確，故選：B．【點睛】本題考查中心對稱，解題的關鍵是掌握中心對稱的性質，屬于中考?？碱}型．【例7】如圖，在平面直角坐標系中，與關于點成中心對稱．已知點的坐標為，則點的坐標是()A． B． C． D．【答案】D【分析】根據中心對稱的性質以及中點坐標公式即可求解．．【詳解】解：與關于點成中心對稱，的坐標為，與為對應點，設的坐標為，解得：的坐標為，故選：D．【點睛】本題考查了坐標與圖形，中心對稱的性質，熟練掌握中心對稱的性質是解題的關鍵．【例8】如圖，與關于點成中心對稱，有以下結論：①點A與點是對稱點；②；③；④．其中正確結論的序號為________．

【答案】①②③【分析】根據中心對稱的性質分別判斷即可．【詳解】解：由中心對稱的性質知，①點A與點是對稱點；正確；②；正確；由中心對稱知，，∴∴；故③正確；④，故④錯誤；故答案為：①②③【點睛】本題考查中心對稱的性質，理解中心對稱的定義及性質是解題的關鍵．鞏固訓練7．在平面直角坐標系中，與關于原點O成中心對稱的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據關于y軸對稱的點的坐標特征對A進行判斷；根據關于x軸對稱的點的坐標特征對B進行判斷；根據關于原點對稱的點的坐標特征對C、D進行判斷．【詳解】解：A、與關于y軸對稱，所以A選項不符合題意；B、與關于x軸對稱，所以B選項不符合題意；C、與關于對稱，所以C選項不符合題意；D、與關于原點對稱，所以D選項符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了中心對稱：把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．中心對稱的性質：關于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；關于中心對稱的兩個圖形，對應點的連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分．8．如圖，與關于點成中心對稱，下列結論中不成立的是（

）A． B．C．點的對稱點是點 D．【答案】B【分析】根據中心對稱的性質解決問題即可．【詳解】解：與關于點成中心對稱，，，點的對稱點是點，，故A，C，D正確，故選：B．【點睛】本題考查中心對稱，解題的關鍵是掌握中心對稱的性質，屬于中考?？碱}型．9．如圖，將繞點旋轉得到，設點的坐標為，則點的坐標為___________．

【答案】【分析】根據將繞點旋轉得到，可知這兩個三角形關于中心對稱，設，利用中點坐標公式計算即可得到答案．【詳解】解：設，由題意，即為的中點，，，則有，解得，∴，故答案為：．【點睛】本題考查中心對稱，坐標與圖形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題．題型四中心對稱圖形【例9】下列標識圖案中，是中心對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題主要考查中心對稱圖形的識別，如果一個圖形繞著某一點旋轉能與本身重合，那么這個圖形就是中心對稱圖形．【詳解】解：A選項圖形繞著某一點旋轉能與本身重合，故是中心對稱圖形，A符合題意，正確；B選項圖形繞著某一點旋轉不能與本身重合，不是中心對稱圖形，故B不符合題意；C選項圖形繞著某一點旋轉不能與本身重合，不是中心對稱圖形，故C不符合題意；D選項圖形繞著某一點旋轉不能與本身重合，不是中心對稱圖形，故不符合題意；故選：A．【例10】下面的圖形是用數學家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了軸對稱圖形與中心對稱圖形的識別，根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解，如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，如果一個圖形繞某一點旋轉后能夠與自身重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心．【詳解】解：A、趙爽弦圖是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，不符合題意；B、笛卡爾心形線是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；C、斐波那契螺旋線不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，不符合題意；D、科克曲線既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，符合題意故選：D．【例11】下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的概念，根據中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關于這條直線(成軸）對稱，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【詳解】、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；、既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，故本選項符合題意；、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：．鞏固訓練10．下列圖形中既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，熟知二者的定義是解題的關鍵．根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．【詳解】解：A、該圖形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，符合題意；B、該圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，不符合題意；C、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意；D、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：A．11．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】本題考查了中心對稱圖形的概念，根據中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．把一個圖形繞某一點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的概念是解此題的關鍵．【詳解】解：A．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；B．是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D．不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；故選：B．12．如圖圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可．【詳解】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；B．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故B選項不合題意；C．既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故C選項符合題意；D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故D選項合題意；故選：C．題型五平行四邊形的性質【例12】如圖，的對角線、交于點O，平分交于點E，且，，連接．下列結論：①；②；③；④，成立的個數有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】此題主要考查了平行四邊形的性質，以及等邊三角形的判定與性質．利用平行四邊形的性質可得，，利用角平分線的性質證明是等邊三角形，然后推出，再結合等腰三角形的性質：等邊對等角、三線合一進行推理解題的關鍵．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵平分，∴，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，故①正確；∴，∴，∴，故②錯誤；∵，∴E為中點，∴，故③錯誤；∵，，∴，故④正確；故正確的個數為個，故選：B．【例13】如圖、在平行四邊形中，對角線交于點O，若，，，的周長為（）A．13 B．16 C．18 D．21【答案】A【分析】此題主要考查了平行四邊形的性質，熟練掌握平行四邊形的性質是解題的關鍵．利用平行四邊形的性質對角線互相平分，進而得出，的長，即可得出的周長．【詳解】解：∵的兩條對角線交于點O，，，，∴，，，∴的周長為：．故選：A．【例14】如圖，中，，，E、F分別是，上的點，且，連接交于O．(1)求證：；(2)若，延長交的延長線于G，當時，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）通過證明和全等即可．（2）由為等腰直角三角形得出，由得，所以與都是等腰直角三角形，從而求得、的長，然后由（1）中和全等得出，進而求得的長，的長即可求得．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∵，，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由（1），∴，∴，∴．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質及平行線的性質，熟練掌握各定理是解決本題的關鍵．鞏固訓練13．在平行四邊形中，如果，那么的度數是________度．【答案】100【分析】本題主要考查平行四邊形的性質，由平行四邊形的對角相等，結合條件可求得答案．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，且，∴，∴，故答案為：100．14．如圖，在中，，，則的度數是______．【答案】/70度【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質和內角和．依據平行四邊形的對邊平行的性質得到和的度數，再根據三角形內角和定理，即可得到的度數．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，在中，故答案為：15．如圖，在平行四邊形中，，的平分線交線段于點E，則______．【答案】2【分析】本題考查平行四邊形的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定和性質等知識．由平行四邊形的性質結合題意間接證明是解題關鍵．由平行四邊形的性質可得出，從而可證，結合題意得出，即證明，最后由求解即可．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∴．∵為的平分線，∴，∴，∴，∴．故答案為：2．題型六平行四邊形的判定【例15】如圖，D是直線l外一點，在l上取兩點A，B，連接AD，分別以點B，D為圓心，AD，AB的長為半徑畫弧，兩弧交于點C，連接CD，BC，則四邊形ABCD是平行四邊形，理由是_____________．【答案】兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形【解析】略【例16】已知：如圖，的對角線，相交于點，，，垂足分別為，．求證：四邊形是平行四邊形．

【答案】見解析【分析】本題主要考查平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，首先根據平行四邊形的性質得到，，然后證明出，得到，然后證明出，即可證明四邊形是平行四邊形．熟悉相關性質是解題的關鍵．【詳解】∵四邊形是平行四邊形∴，∵，∴∴∴∵，∴∴∴四邊形是平行四邊形．【例17】如圖，已知在四邊形中，于點于點．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【詳解】證明：于點于點，．．在和中，，，，四邊形是平行四邊形．【例18】如圖，是內一點，連接，線段，的中點分別為，．請你判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】四邊形是平行四邊形，理由見解析【詳解】解：四邊形是平行四邊形．理由如下：分別為線段的中點，．同理，，四邊形是平行四邊形．鞏固訓練16．如圖，在四邊形ACBD中，AB與CD相交于點O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分別是OC，OD的中點．求證：四邊形AEBF是平行四邊形．【答案】見解析【詳解】證明：∵AC∥DB，∴∠ACD＝∠BDC．∵∠AOC＝∠BOD，AO＝BO，∴△AOC≌△BOD（AAS），∴OC＝OD．∵E，F分別是OC，OD的中點，∴，，∴OE＝OF．又∵AO＝BO，∴四邊形AEBF是平行四邊形．17．如圖，，，垂足為點E，，垂足為點F，并且．求證：(1)；(2)四邊形是平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，解題的關鍵是熟練掌握相關判定方法．（1）通過證明即可求解；（2）根據一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，求證即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴．∵，∴．在和中，，∴，∴．（2）∵，，∴．∵，∴四邊形是平行四邊形．18．中，是對角線，交于點，交于點，連接、．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，三角形全等的判定與性質，由平行四邊形的性質得到，推出，，再根據交于點，交于點，得到，進而得到易證明，得到，再證明，進而得出；即可得出結論．【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，在和中，，，，在和中，，，，，四邊形為平行四邊形．19．如圖，在中，，將繞點A逆時針旋轉得到，點恰好在的延長線上，連接，求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【分析】本題考查旋轉的性質，等腰三角形性質、平行四邊形的判定；由旋轉得，結合等腰三角形性質，可證，，從而得證平行四邊形．【詳解】證明：由旋轉性質，得．，．，，，．由旋轉的性質，得．又，，四邊形是平行四邊形．題型七矩形的性質【例19】如圖，延長矩形的邊至點E，使，連接，若，則的度數是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了矩形的性質，等腰三角形的判定及性質，三角形內角和定理等；連接與交于，根據矩形的性質可證，，由等腰三角形的性質及三角形內角和定理即可求解；掌握性質，作出輔助線，構建等腰是解題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接與交于，四邊形是矩形，，，，，，，，，，；故選：B．【例20】如圖，在矩形中，以點A為圓心為半徑順時針旋轉線段交于E，以點C為圓心為半徑順時針旋轉線段交于F，連接、，若，則一定為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查矩形的性質，等邊對等角．根據矩形的性質，得到，根據作圖可知，等邊對等角，求出的度數，再用，即可得出結果．熟練掌握矩形的性質，是解題的關鍵．【詳解】解：∵矩形，∴，∴，由作圖可知：，∴，∴；故選C．鞏固訓練20．如圖，在矩形中，，，點是的中點，連結，將沿折疊，點落在點處，連結，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由折疊的性質和中點性質可得，所以，由勾股定理可求的長，由面積法可求，的長，進而根據勾股定理可求解．【詳解】解：如圖，連接于交于點，點是的中點，，將沿折疊，，，，是直角三角形，，，，，將沿折疊，，，，，，，．故選：．【點睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質，勾股定理，直角三角形的判定和性質，求的長是本題的關鍵．21．如圖，在矩形中，交于點O，于點E，∠AOD＝125°，則的度數為_________【答案】【分析】本題主要考查了矩形的性質、等腰三角形的性質以及直角三角形的性質．由矩形的性質得出，得出，由直角三角形的性質求出．【詳解】解：∵四邊形是矩形，，，，∵∠AOD＝125°，∴，，，故答案為：．22．如圖，將矩形繞點順時針旋轉后得到矩形，若，，則的長為________________．【答案】【分析】本題主要考查了旋轉的性質，矩形的性質，勾股定理，解答本題的關鍵是根據題意得到是等腰直角三角形．首先根據旋轉的性質得到，得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出的長，進而可得結論．【詳解】解：∵矩形繞點順時針旋轉后得到矩形，∴，∴是等腰直角三角形，∵，，∴，∴，故答案為：．題型八矩形的判定【例21】如圖，在平行四邊形中，，是上兩點，，連接，，，，添加一個條件，使四邊形是矩形，這個條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定與性質，由平行四邊形的性質可知：，，再證明即可證明四邊形是平行四邊形．【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵對角線上的兩點、滿足，∴，即，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形．故選：B．【例22】如下圖，四邊形中，和是對角線．依據圖中線段所標的長度，下列四邊形不一定為矩形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質，熟練掌握矩形的判定方法是解答本題的關鍵．根據矩形的判定方法，分析每一個選項，只有選項符合題意，由此得到答案．【詳解】解：根據題意得：選項中，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，平行四邊形是矩形，故本選項不符合題意；選項中，四邊形的對角線互相平分且相等，所以四邊形是矩形，故本選項不符合題意；選項中，，四邊形是矩形，故本選項不符合題意；選項中，由已知條件可以得到，不能判定四邊形是矩形，故本選項符合題意；故選：．【例23】如圖，已知四邊形是平行四邊形，對角線交于點是等邊三角形．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查平行四邊形的性質，矩形的判定，等邊三角形的性質，勾股定理．（1）根據等邊三角形的性質，平行四邊形的性質，得到，即可得證；（2）根據勾股定理，進行求解即可．掌握矩形的判定方法和性質，是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，．是等邊三角形，，，四邊形是矩形．（2）解：四邊形是矩形，．是等邊三角形，，則，．【例24】如圖，菱形的對角線，交于點O，F是的中點，過點B作交的延長線于點E，連接，猜想四邊形的形狀，并進行證明．【答案】四邊形是矩形，證明見解析【分析】本題主要考查了菱形的性質，矩形的判定與性質，全等三角形的判定與性質等知識，掌握菱形的性質，是解答本題的關鍵．證明，可得，即有四邊形是平行四邊形，根據，可得平行四邊形為矩形；【詳解】證明：∵，，F是的中點，，在和中，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，，平行四邊形為矩形；鞏固訓練23．如圖，在中，D是邊上一點，E是的中點，過C作，交的延長線于點F．(1)求證：；(2)連接．若D是的中點，在中添加什么條件時，四邊形是矩形？請證明你的結論．【答案】(1)證明見解析(2)，證明見解析【分析】此題考查了矩形的判定、等腰三角形的性質、全等三角形的判定和性質等知識，熟練掌握相關判定和性質是解題的關鍵．（1）由E是的中點得到，，則，即可證明，即可得到結論；（2）由得到，又由，則四邊形是平行四邊形，由得到是等腰三角形，根據D是的中點，則，則，即可證明結論．【詳解】（1）證明：∵E是的中點，∴，∵，∴，∴，∴；（2）當時，是矩形．證明：連接，

∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴是等腰三角形，∵D是的中點，∴，∴，∴四邊形是矩形．24．如圖，在菱形中，對角線交于點O，過點A作于點E，延長到點F，使得，連接，(1)求證：四邊形是矩形．(2)連接，若______．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了菱形的性質，矩形的判定，勾股定理，掌握特殊平行四邊形的性質與判定是解題的關鍵．（1）根據菱形的性質可得且，進而證明四邊形是平行四邊形，根據，即可證明四邊形是矩形；（2）根據菱形的性質以及已知條件求出，根據勾股定理先求得的長，然后求出的長，進而根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴且，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形；（2）解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵，∴∴，∴，又∵，∴．故答案為：．題型九菱形的性質【例25】已知如圖，菱形中，對角線與相交于點O，于E，交于點F，若，則一定等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查菱形的性質，關鍵是根據菱形的性質得出，進而利用互余解答.【詳解】∵四邊形是菱形,，，，，，，，故選:C.【例26】如圖，菱形中，交于于，連接，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據菱形的性質得到點O為的中點，，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，再由三角形內角和定理得到，則．【詳解】解：∵四邊形是菱形，交于，，∴點O為的中點，，∵，∴，∴∴，故選C．【點睛】本題主要考查了菱形的性質，三角形內角和定理，等邊對等角，直角三角形斜邊上的中線的性質，熟知菱形的性質以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關鍵．【例27】如圖，在菱形中，于點，交對角線于點，過點作于點，若的周長為8，則菱形的面積為______．

【答案】【分析】本題考查菱形的性質，涉及菱形的性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理、三角形周長、菱形面積等知識，熟練掌握菱形的性質，等腰直角三角形的判定與性質是解決問題的關鍵．【詳解】解：在菱形中，，，在中，，，，，在中，設，則，對角線平分，，，的周長為8，，解得，，則，菱形的面積為，故答案為：．【例28】如圖，菱形的對角線、交于點O，且，，則菱形一邊上的高長為_____．【答案】/【分析】本題考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質，勾股定理，根據菱形的面積的兩種表示方法列出方程是解題的關鍵．【詳解】解：在菱形中，，，，，，在中，，，菱形的面積，即，解得．故答案為：．【例29】若菱形的一條對角線是另一條對角線的2倍，且菱形的面積為，則菱形的周長為_____．【答案】【分析】此題考查了菱形的性質以及勾股定理．由菱形的一條對角線長是另一條對角線長的2倍，且菱形的面積為，可求得其對角線的長，又由勾股定理，即可求得其邊長，繼而求得答案．【詳解】解：∵菱形的一條對角線長是另一條對角線長的2倍，∴設菱形的一條對角線長為，則另一條對角線長為，∵菱形的面積為，∴，解得：（舍去負值），∴菱形的兩條對角線長分別為，，∴菱形的邊長為：，∴菱形的周長．故答案為：．鞏固訓練25．已知一個菱形的邊長為2，一條對角線長為，則這個菱形的面積是_______．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質以及勾股定理，根據菱形的性質結合勾股定理求出較短的對角線的長是解題的關鍵．【詳解】解：依照題意畫出圖形，如圖所示，菱形中，對角線交于O，，，∴，∵在中，，∴，∴，∴菱形的面積是，故答案為：．26．如圖，在菱形中，，點在邊上，以為邊在菱形內部作等邊三角形，若，則________．【答案】【分析】本題考查了菱形的性質和等邊三角形的判定與性質；先根據，證明是等邊三角形，再證明即可求解．【詳解】解：在菱形中，，∴，∴是等邊三角形，

∴，∵以為邊在菱形的內部作等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴故答案為：．27．邊長為的菱形，一條對角線長是，則菱形的面積是______．【答案】/24平方厘米【分析】此題主要考查了菱形的性質．根據菱形對角線垂直且互相平分，即可得出菱形的另一條對角線的長，再利用菱形的面積公式求出即可．【詳解】解：如圖所示：設菱形中，對角線，∵四邊形是菱形，對角線，∴，，，∴菱形的面積為∶．故答案為：．28．如圖，菱形的周長為16，對角線與相交于點O，，垂足為E，若，則的長為______．【答案】【分析】本題考查菱形的性質，含30度角的直角三角形的性質，勾股定理．根據菱形的性質和已知條件可得，進而推出，再根據30度角所對直角邊等于斜邊的一半求出，，最后利用勾股定理即可求出的長．【詳解】解：菱形的周長為16，對角線與相交于點O，，，，，，，，，，，故答案為：．29．在菱形中，若對角線，，則菱形的面積是______．【答案】【分析】本題主要考查用菱形的性質求面積，根據菱形的面積等于其對角線積的一半，進而求解．【詳解】解：菱形的面積．故答案為：．題型十菱形的判定【例30】如圖，在矩形中，E，F分別是，中點，連接，，，分別交于點M，N，四邊形是（）A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．無法確定【答案】B【分析】本題考查了矩形的性質和判定，菱形的判定，平行四邊形的性質和判定的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．求出四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，根據平行四邊形的性質得出，即，同理可證，得出四邊形為平行四邊形，求出，根據菱形的判定得出即可．【詳解】解：連接EF．四邊形為矩形，，，又E，F分別為，中點，，，，，四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，，即，同理可證，四邊形為平行四邊形，四邊形為平行四邊形，為直角，為矩形，，互相平分于M點，，四邊形為菱形．故選：B【例31】已知，是△ABC的角平分線，交AB于點E，交于點F．求證：四邊形是菱形．【答案】見解析【分析】本題考查的是平行四邊形的判定，菱形的判定，平行線的性質，等腰三角形的判定，熟練的利用菱形的判定方法進行證明是解本題的關鍵．先證明四邊形為平行四邊形，再證明可得從而可得結論．【詳解】證明：∵，，∴四邊形為平行四邊形，∵是的一條角平分線，∴∴∴四邊形為菱形．【例32】如圖，在四邊形中，，，對角線，交于點O，平分，過點C作交的延長線于點E，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用平行線的性質和角平分線的定義求出，證明，得到，繼而判斷四邊形是平行四邊形，再結合得出結論；（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，在中，利用勾股定理求出即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形；（2）解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質，等腰三角形的判定，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質，直角三角形的性質，勾股定理，靈活運用相關判定定理和性質定理是解題的關鍵．【例33】如圖，四邊形為矩形，為中點，過點作的垂線分別交、于點、，連接、．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了菱形的性質與判定，矩形的性質，勾股定理．（1）由條件可先證四邊形為平行四邊形，再結合線段垂直平分線的性質可證得結論；（2）由菱形的性質可求得，設，在和中，分別利用勾股定理可得到關于的方程，可求得的長．【詳解】（1）證明：為中點，，為的垂直平分線，，，，．∵四邊形ABCD是矩形，，，，∴，四邊形平行四邊形．又，四邊形是菱形；（2）解：∵四邊形是菱形，，，，，，設，在中，，在中，．，解得，．【例34】如圖，在中，，平分，交于點，點在線段上，點在的延長線上，且，連接、、、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由等腰三角形的三線合一得，．進而根據平行四邊形的判定得四邊形是平行四邊形，再根據菱形判定即可得證；（2）根據菱形的性質得，從而得，設，則，，在中，由勾股定理構造方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵，平分，∴，．∵，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形．（2）解：由（）可知，四邊形是菱形，∴，∵，∴，設，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，等腰三角形的性質，菱形的性質及判定以及勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定，等腰三角形的性質，菱形的性質及判定是解題的關鍵．鞏固訓練30．如圖，在正方形中，點E、F是對角線上，且，連接、、、．求證：(1)；(2)四邊形菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了正方形的性質、菱形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，是基礎知識要熟練掌握．（1）證明，即可得出答案．（2）連接，交點為O，由正方形的性質得，，且，再由已知條件得，從而得出四邊形菱形．【詳解】（1）證明：∵正方形，∴，∵是對角線，∴，∵，∴，∴；（2）證明：連接，交點為O，∵四邊形為正方形，∴，，，∵，∴，∴四邊形菱形（對角線平分且垂直的四邊形為菱形）．31．如圖，已知平行四邊形中，對角線交點O，E是延長線上的點，且是等邊三角形．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)80【分析】（1）根據“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”證明即可；（2）根據條件證明菱形是正方形，即可求出．本題考查了菱形的判定與性質、正方形的判定與性質、等邊三角形的性質等知識，熟練掌握等邊三角形的性質、證明四邊形是菱形與正方形是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，即，∴四邊形是菱形．（2）解：∵是等邊三角形，∴，由（1）知，，，∴，是直角三角形，∴，∵，∴，∴∵四邊形是菱形，∴，∴，∴∴菱形是正方形，∴四邊形的面積．32．已知：如圖，是的角平分線，交于點E，交于點F．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，試求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)120【分析】（1）證明四邊形是平行四邊形，，再證，即，即可得出結論；（2）連接交于點O，根據菱形的性質得出，，，利用勾股定理求得，從而可得，再利用菱形的面積公式計算即可．本題考查平行四邊形的判定、勾股定理、菱形的判定與性質、菱形的面積公式及角平分線的定義及平行線的性質，熟練掌握菱形的判定與性質是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，，∵是的角平分線，∴，∴，∴，∴平行四邊形是菱形．（2）解：如圖，連接交于點O，由（1）可知，四邊形是菱形，∴，，，∴，∴，∴，∴．題型十一正方形的性質【例35】如圖，在正方形的邊上取一點E，連接并延長交的延長線于點F，將射線繞點A順時針旋轉后交的延長線于點G，連接，若，則的大小是（）A．α B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定和性質，由“”可證，可得，由“”可證，可得，由角的數量關系可求解．．【詳解】解：在上截取，連接，∵四邊形是正方形，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵將射線繞點A順時針旋轉后交的延長線于點G，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．【例36】如圖，在正方形的外側，作等邊，則的度數是________．【答案】/45度【分析】本題考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質等知識．根據正方形的性質得到，根據等邊三角形的性質得到，即可得到，進而得到，即可求出．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴．∵是等邊三角形，∴．∴，∴，∴．故答案為：．【例37】如圖，正方形的兩條對角線，相交于點，點在上，且．則的度數為__________．【答案】【分析】本題主要考查正方形的性質，熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵；根據正方形的性質得到線段相等和，再根據三角形的內角和即可求解．【詳解】解：四邊形是正方形．，，，，，故答案為：鞏固訓練33．如圖，在正方形中，，E為邊上一點，點F在邊上，且，將點E繞著點F順時針旋轉得到點G，連接，則的長的最小值為（

）A．3 B．2.5 C．4 D．【答案】C【分析】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，垂線段最短，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．過點G作，垂足為H，可得，根據正方形的性質可得，根據旋轉的性質可得，然后利用同角的余角相等可得，從而可證，進而可得，最后可得點G在與平行且與的距離為的直線上，從而可得當點G在邊上時，的值最小，進行計算即可解答.【詳解】解：過點G作，垂足為H，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，由旋轉得：，∴，∵，∴∴，∴，∴點G在與平行且與的距離為1的直線上，∴當點G在邊上時，最小且，∴的最小值為4，故選：C．34．如圖，是正方形內一點，將繞點順時針方向旋轉后與重合，若，則______．【答案】【分析】本題主要考查了旋轉的性質，正方形的性質，勾股定理，根據旋轉的性質得到，是解答此題的關鍵．【詳解】解：由題可知：，∴，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，故答案為：．35．在正方形中，點M在上，將沿著翻折到，連、．若，則的度數為______．

【答案】/75度【分析】本題主要考查圖形的翻折，正方形的性質，等腰三角形的性質，三角形的內角和等知識，熟練掌握翻折及正方形的性質是關鍵．設與相交于點E，由翻折得，，則，結合正方形的性質推出，進而得，則，再由等邊對等角及三角形的內角和定理解答即可．【詳解】解：如圖，設與相交于點E，

由翻折得，，∵四邊形是正方形，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．36．如圖，在正方形的外側作等邊，則的度數為_______．【答案】/度【分析】本題主要考查正方形、等邊三角形和等腰三角形的性質，可求得，進而即可求得答案．【詳解】根據題意可得，，，∴．∴．同理可得，∴．故答案為：37．如圖，以正方形的邊作等邊，則的度數是________．【答案】/150度【分析】本題考查了正方形的性質、等邊三角形的性質、三角形內角和定理、等腰三角形的性質，根據正方形的性質和等邊三角形的性質可得，從而得出，由等邊對等角結合三角形內角和定理可得，進而得到，最后由三角形內角和定理進行計算即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，是等邊三角形，，，，，，，，，故答案為：．題型十二正方形的判定【例38】已知，如圖，矩形中，，菱形的三個頂點E，G，H分別在矩形的邊，，上，，連接．(1)若，求證：四邊形為正方形；(2)當點G在邊上運動時，點F到邊的距離是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由；(3)試說明當點G運動到何處時，的面積最小，并求出這個最小值．【答案】(1)證明見解析(2)點F到直線CD的距離始終為定值2，理由見解析(3)當時，的面積最小為【分析】(1)根據有一個直角的菱形是正方形，證明，得到，結合，得到，即可得證．(2)過F作，交延長線于M，連接．證明即可得證．(3)設，根據，得到．在中，，得．利用勾股定理，變形計算即可．【詳解】（1）∵矩形，菱形，∴，又，∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴四邊形為正方形．（2）距離是定值2．理由如下：過F作，交延長線于M，連接．∵矩形，菱形，∴，，∴．∴．∴．在和中，∵，∴．∴，即無論菱形如何變化，點F到直線的距離始終為定值2．解法2距離是定值2．理由如下：過F作，交延長線于M，過F作于點N．∵矩形，菱形，∴，，，∴，，，．∴．∴．∴．在和中，∵，∴．∴，即無論菱形如何變化，點F到直線的距離始終為定值2．（3）設，∵，∴．在中，，∴．在中，∴．∴．∴的最小值為，此時．∴當時，的面積最小為．【點睛】本題考查了矩形的性質，菱形的性質，正方形的判定和性質，勾股定理，三角形全等的判定和性質，平行線的性質，熟練掌握菱形的性質，勾股定理是解題的關鍵．【例39】如圖，在中，，的角平分線交于點G，于點E，于點F，(1)求證：四邊形是正方形；(2)若，，求四邊形的周長．【答案】(1)見解析(2)4【分析】本題考查了角平分線的性質，正方形的判定，勾股定理，掌握角平分線上的點到兩邊距離相等，正方形的判定定理是解題的關鍵．（1）過G作于D，根據角平分線的性質可證，再根據是直角三角形，，，推出四邊形是矩形，即可求證四邊形為正方形；（2）連接，由勾股定理得，設，則，再根據，列出方程求解即可．【詳解】（1）證明：過G作于D，∵、的角平分線交于G點，于點F，∴，，∴，∵是直角三角形，，，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形為正方形；（2）解：如圖2，連接，由勾股定理得：，設，則，∵，∴，∴，∴四邊形的周長．【例40】如圖1：在紙片中，，于點D．第一步：將一張與其全等的紙片沿剪開：第二步：在同一平面內將所得到的兩個三角形和拼在一起，如圖2所示，這兩個三角形分別記為和；第三步：分別延長和相交于點．(1)求證：四邊形是正方形：(2)如圖3，連接分別交、于點M、N，將繞點A逆時針旋轉，使與重合，得到，則的度數為______；、、之間的數量關系為______．【答案】(1)見解析(2)；【分析】（1）由題意可知，，利用其性質可得，，，可證明四邊形為矩形，再根據正方形的判定解答即可；（2）由旋轉可知，可得，，，結合正方形的性質可知，進而可得，即，，可證，得，然后在中利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：由題意可知：，，∴，，，，，，∴，，，∴四邊形為矩形，∵，∴矩形為正方形；（2）連接，∵由旋轉得到，∴，∴，，，由（1）可知，四邊形是正方形，∴，∴，即，，在與中，∴，∴，在中，，∴；故答案為：；．【點睛】本題考查幾何綜合，涉及矩形的判定與性質、正方形的判定與性質、三角形全等的判定與性質、勾股定理、旋轉等知識，靈活熟練運用相關幾何性質及判定證明是解決問題的關鍵．鞏固訓練38．如圖，在中，，點為其內一點，且，分別平分．若于點，于點，則四邊形是正方形嗎請說明理由．

【答案】四邊形為正方形,理由見解析【分析】此題考查了正方形的判定，以及角平分線定理；過作垂直于點，由三個角為直角的四邊形為矩形得到四邊形為矩形，由為角平分線，利用角平分線定理得到，同理得到，等量代換得到，利用鄰邊相等的矩形為正方形即可得證．【詳解】證明：如圖，過作，交于點，

，四邊形為矩形，平分，，，；平分，，，，，四邊形為正方形．39．如圖，在矩形中，，，P為邊上的動點，將沿折疊得到，連接，．

(1)若，求證：四邊形為正方形；(2)當P在運動過程中，求的最小值；(3)當時，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)4(3)【分析】本題主要考查了矩形性質、正方形的判定以及勾股定理性質等知識內容，（1）根據四邊形是矩形，得，由折疊知，，即，然后結合即可證明；（2）根據當三點不共線時，三角形兩邊之和大于第三邊，當三點共線時取得最小值進行作答即可；（3）根據，得，，三點共線，又因為，則，結合，得，最后用勾股定理即可知道的長．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∵將沿折疊得到，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形為正方形；（2）解：如圖，連接，如圖所示：

則，即當時，取最小值，∵，，∴，∴，即的最小值為4；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，，三點共線，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．40．如圖，四邊形的對角線互相平分，，求證：四邊形是正方形．

【答案】見解析【分析】先證明四邊形是菱形，再證到兩對角線相等即可求證．【詳解】證明：、是四邊形的對角線且互相平分，又∵，∴、垂直且互相平分，∴四邊形是菱形，在直角三角形中，∵，∴，∴，∵、垂直且互相平分，∴，∴，∴四邊形是正方形．【點睛】此題考查了菱形和正方形的判定方法，理解正方形的判定方法是解題的關鍵．題型十三三角形中位線定理【例41】如圖，在中，D，E分別是，的中點，，F是上一點，連接，，．若，則的長度為（）

A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】本題考查了三角形中位線定理、直角三角形斜邊中線的性質；根據直角三角形斜邊中線的性質求出，可得的長，再根據為的中位線，即可求出．【詳解】解：∵，E是的中點，∴，∴，∵D，E分別是，的中點，∴為的中位線，∴，故選：B．【例42】如圖，在矩形中，，，對角線，相交于點O．點，分別是，的中點，連接，則的周長為（

）A．12 B．18 C．20 D．16【答案】B【分析】本題考查了矩形的性質、中位線的性質、勾股定理求線段長，先利用勾股定理算出的長度，根據矩形的性質即可得出的長度，再根據中位線的性質求出，進而即可周長即可．【詳解】在矩形中，，,，對角線，相交于點O，,點E，F分別是，的中點，是的中位線，，，，的周長為：，故選：B．【例43】如圖所示，在中，點，，分別為，，的中點，且，則陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了三角形邊中點，三角形面積，因為點F是的中點，所以的底是的底的一半；同理，D、E、分別是、的中點，可得的面積是面積的一半；利用三角形的等積變換可解答．【詳解】解：∵點F是的中點，的底是，的底是，∴，∴，∵E是的中點，∴，，∴，∴，∵，∴，即陰影部分的面積為．故選：A．【例44】如圖，若、、分別是的三邊的中點，則與的周長之比＝________．【答案】/【分析】此題考查的是三角形中位線的性質，根據三角形中位線定理易得所求的三角形的各邊長為原三角形各邊長的一半，那么所求的三角形的周長就等于原三角形周長的一半．【詳解】解：∵點、、分別是、、的中點，∴，，分別是原三角形三邊的一半，∴與的周長之比．故答案為．鞏固訓練41．如圖，在中，已知點D，E，F分別為邊，，的中點，且，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據三角形的中線的性質可得，則，，求出，最后在根據三角形中線的性質，即可求解．【詳解】∵點D為中點，∴，∵點E為中點，∴，，∴，∵點F為中點，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了三角