綿陽高2023級高二（上）期末模擬試題（七）數學注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3.考試結束后，將答題卡交回。一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．向量，，，則A．9 B．3 C．1 D．2．甲、乙兩人獨自破譯密碼，兩個人都成功地破譯密碼的概率為0.3，甲成功且乙沒有成功破譯密碼的概率為0.2，則甲成功破譯密碼的概率為A．0.6 B．0.5 C．0.06 D．3．已知橢圓的左焦點是雙曲線的左頂點，則雙曲線的漸近線為A． B． C． D．4．有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次，每次命中的環數如下：甲：乙：則下列結論正確的是A．甲成績的平均數較小 B．乙成績的中位數較小C．乙成績的極差較大 D．乙比甲的成績穩定5．已知四面體，所有棱長均為2，點E，F分別為棱AB，CD的中點，則A．1 B．2 C．-1 D．-26．已知直線過點，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線l的方程為A． B．C．或 D．或7.已知圓，直線，若直線與軸交于點，過直線上一點作圓的切線，切點為，且，則的取值范圍是A． B．C． D．8．已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動弦AB，則AB的中點到x軸的最短距離為A.eq\f(3,4) B.eq\f(3,2)C.1D.2二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.南山實驗組織全體學生參加了主題為“奮斗百年路，啟航新征程”的知識競賽，隨機抽取了200名學生進行成績統計，發現抽取的學生的成績都在50分至100分之間，進行適當分組后（每組的取值區間均為左閉右開），如圖所示，畫出頻率分布直方圖，下列說法正確的是A．成績在區間內的學生有46人B．圖中的值為C．估計全校學生成績的中位數約為86.67D．估計全校學生成績的分位數為9010．正方體中，P，Q，R分別是棱的中點，則下列結論正確的是A．P，Q，R，C四點共面 B．平面PQRC．平面 D．和平面PQR所成角的正弦值為11．已知橢圓的左、右焦點分別為、，上項點為B，直線與橢圓C相交于M、N兩點，點，則下列選項正確的是A．四邊形的周長為12B．當時，的面積為C．直線，的斜率之積為D．若點P為橢圓C上的一個動點，則的最小值為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知雙曲線的左焦點為，則左焦點到雙曲線的漸近線的距離為．13.已知向量，滿足，，且.則在上的投影向量的坐標為．14．已知圓，圓，，分別是圓，上的動點，為直線上的動點，則的最小值為．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知圓C的方程為：．(1)若直線與圓C相交于A、B兩點，且，求實數a的值；(2)過點作圓C的切線，求切線方程．16．（15分）在中國共產主義青年團成立100周年之際，某校舉辦了“強國有我，挑戰答題”的知識競賽活動，已知甲、乙兩隊參加，每隊3人，每人回答且僅回答一個問題，答對者為本隊贏得1分，答錯得0分.假設甲隊中3人答對的概率分別為，，，乙隊中每人答對的概率均為，且各人回答問題正確與否互不影響.(1)分別求甲隊總得分為1分和2分的概率；(2)求活動結束后，甲、乙兩隊共得4分的概率.17．（15分）若橢圓過拋物線的焦點，且與雙曲線有相同的焦點．(1)求橢圓E的方程；(2)不過原點O的直線與橢圓E交于A、B兩點，求面積的最大值以及此時直線l的方程．18．（17分）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點．(1)求異面直線與所成角的余弦值；(2)求點到平面的距離；(3)求平面與平面夾角的余弦值．19．（17分）已知拋物線，為坐標原點，焦點在直線上．(1)求拋物線的標準方程；(2)過點作動直線與拋物線交于，兩點，直線，分別與圓交于點，兩點（異于點），設直線，斜率分別為，．①求證：為定值；②求證：直線恒過定點．綿陽高2023級高二（上）期末模擬試題（七）數學參考答案選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的.）題號1234567891011答案ABCDDDADBCBCAD三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）12.213.14．10四、解答題15．【解答】（1）圓的方程為：，則圓的圓心為，半徑為2，直線與圓相交于、兩點，且，則，解得或；（2）當切線的斜率不存在時，直線，與圓相切，切線的斜率存在時，可設切線為，即，由切線的定義可知，，解得，故切線方程為，綜上所述，切線方程為或．16．【解答】（1）解：依題意記甲隊總得分為分為事件，甲隊總得分為分為事件，則，，所以甲隊總得分為分的概率為，分的概率為；（2）解：依題意甲隊總得分為分的概率為，得分的概率為，得分的概率為，得分的概率為；乙隊總得分為分的概率為，得分的概率為，得分的概率為，得分的概率為；則活動結束后，甲、乙兩隊共得4分的概率.17．【解析】：（1）拋物線的焦點為，所以，因為雙曲線的焦點坐標為，所以則，所以橢圓E的方程為.（2）設，聯立可得，因為直線與橢圓E交于A、B兩點，所以解得，由韋達定理可得，由弦長公式可得，點到直線的距離為，所以當且僅當即時取得等號，所以面積的最大值為，此時直線的方程為.18．【解析】：（1）由題意可知兩兩垂直，如圖所示建立空間直角坐標系，則，即，所以，即異面直線與所成角的余弦值為；（2）由上易知，設面的一個法向量為，則有，取，即，所以點到平面的距離為；（3）由上可知，設面的一個法向量為，則有