對弧長的曲線積分一、第一類曲線積分的概念引例1設有一曲線形物體所占的位置是xOy面內的一段曲線L，它的端點是A，B，它的質量分布不均勻，其線密度為ρ(x,y)，試求該物體的質量M（見圖10-1）.圖10-1一、第一類曲線積分的概念分析如果該物體的線密度為常量，那么它的質量可用公式質量=線密度×長度來計算.由于該物體上各點處的線密度是變量，所以不能用上述公式來計算.下面采用以下幾個步驟來解決這個問題.一、第一類曲線積分的概念(1)分割在L上任意插入一點列M1,M2,…,Mn-1,把L分成n個小段，相應地，曲線形物體也分成n個小段，每一小段的質量為ΔMi(i=1,2,…,n)，則該曲線形物體的質量(2)近似取其中一小段物體

（其長度記為Δsi）來考慮,當Δsi很小時，其上的線密度可以近似看成是不變的常數，它近似等于該小段上任一點ξi,ηi處的線密度ρ(ξi,ηi)，于是，該小段的質量ΔMi可近似表示為一、第一類曲線積分的概念(3)求和該曲線形物體的質量(4)取極限設λ=maxΔs1,Δs2,…,Δsn，當λ→0時取上述和的極限，于是整個曲線形物體的質量這種和的極限在研究其他問題時經常用到，于是將其抽象出來，得到第一類曲線積分的定義.一、第一類曲線積分的概念定義設L為xOy面內的一條光滑曲線弧，函數fx,y在L上有界.在L上任意插入一點列M1,M2,…,Mn-1把L分成n個小段.設第i個小段的長度為Δsi，又ξi,ηi為第i個小段上任意取定的一點.如果當小弧的長度的最大值λ→0時，的極限是存在的，則稱此極限為函數fx,y在曲線弧L上的第一類曲線積分或對弧長的曲線積分，記為

（10-1）其中fx,y稱為被積函數，L稱為積分弧段，ds稱為弧長元素.一、第一類曲線積分的概念函數fx,y在閉曲線L上的第一類曲線積分記為注意式(10-1)中和式的極限存在的一個充分條件是函數f(x,y)在曲線L上連續.因此，以后總假定f(x,y)在曲線L上是連續的，在此條件下，第一類曲線積分總是存在的.根據第一類曲線積分的定義，引例中曲線形物體的質量當線密度ρ(x,y)在L上連續時，就等于ρ(x,y)在L上的第一類曲線積分，即一、第一類曲線積分的概念曲線L的質心的坐標為轉動慣量為上述定義可類似地推廣到積分弧段為空間曲線弧Γ的情形，即函數f(x,y,z)在空間曲線Γ上的第一類曲線積分為二、第一類曲線積分的性質性質1設α，β為常數，則性質2設L由L1和L2兩段光滑曲線組成(記L=L1+L2)，則二、第一類曲線積分的性質若曲線L可分成有限段，而且每一段都是光滑的，則稱L是分段光滑的，在以后的討論中總假定L是光滑的或分段光滑的.注意二、第一類曲線積分的性質性質3設在L上有f(x,y)≤g(x,y)，則性質4（中值定理）設函數f(x,y)在曲線L上連續，則在L上必存在一點(ξ,η)，使其中s是曲線L的長度.二、第一類曲線積分的性質性質5（奇、偶對稱性）設函數f(x，y)在曲線L上連續.若曲線L關于y軸對稱，則若曲線L關于x軸對稱，則二、第一類曲線積分的性質其中L1=x,yx,y∈L,y≥0.若曲線L關于x,y軸對稱,則其中L1=x,yx,y∈L,x≥0,y≥0.二、第一類曲線積分的性質性質6（輪換對稱性）設函數f(x，y)在曲線L上連續，若曲線L中將x與y互換后，L變為L′,則特別地，若L關于y=x對稱，則對于積分也有相應的性質，讀者可自行寫出.三、第一類曲線積分的計算設有曲線其中x(t),y(t)在［α,β］上具有一階連續導數，且函數f(x,y)為定義在L上的連續函數，則曲線積分存在，且

（10-2）定理三、第一類曲線積分的計算根據第一類曲線積分的定義，有其中設點對應于參數值

即由弧長公式知，L上由t=ti－1到t=ti的弧長證明二、第一類曲線積分的性質由積分中值定理，有其中于是二、第一類曲線積分的性質因為復合函數f［x(t),y(t)］關于t連續，所以在［α,β］上有界，即0,使得f［x(t),y(t)］≤M.由于函數在［α,β］上連續,所以它在［α,β］上一致連續，即0,當Δt<δ時，有從而二、第一類曲線積分的性質所以因此二、第一類曲線積分的性質（1）由于函數

在［α,β］上連續，所以定積分存在（2）定積分的下限α一定小于上限β.若曲線L的方程為y=y(x),a≤x≤b，則注意二、第一類曲線積分的性質若曲線L的方程為x=x(y),c≤y≤d，則若曲線L的方程為ρ=ρ(θ),α≤θ≤β，則公式(10-2)可推廣到空間曲線Γ的情形.設Γ的參數方程為則二、第一類曲線積分的性質求其中L為下半圓周

解由于下半圓周的參數方程為所以【例1】二、第一類曲線積分的性質求半徑為R,中心角為2α的圓弧L的質心(設線密度ρ=1).

解取坐標系如圖10-2所示.【例2】圖10-2二、第一類曲線積分的性質由對稱性知，利用L的參數方程于是因此圓弧的質心為二、第一類曲線積分的性質求,其中L是以O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)為頂點的三角形的邊界（見圖10-3）.【例3】圖10-3二、第一類曲線積分的性質

解二、第一類曲線積分的性質求其中L為雙紐線（見圖10-4）的弧.【例4】圖10-4二、第一類曲線積分的性質

解雙紐線的極坐標方程為用隱函數求導得即，因此結合對稱性，所以二、第一類曲線積分的性質設L為橢圓