曲線的凹凸與拐點(diǎn)第六節(jié)、曲線的凹凸與拐點(diǎn)

函數(shù)的單調(diào)性反映在圖形上，就是曲線的上升或下降，但曲線在上升或下降的過程中，還有一個(gè)彎曲方向的問題.如圖3-11所示的函數(shù)y=f(x)的圖形在區(qū)間(a,b)內(nèi)雖然一直是上升的，但卻有不同的彎曲狀況.從左向右，曲線先是向上彎曲，通過點(diǎn)P后，扭轉(zhuǎn)了彎曲的方向，而向下彎曲.因此，研究函數(shù)圖形時(shí)，考察它的彎曲方向及扭轉(zhuǎn)彎曲方向的點(diǎn)是很必要的.首先給出如下定義.定義1

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，若對(duì)I上任意兩點(diǎn)x1，x2，恒有則稱f(x)在I上的圖形是凹的；若恒有則稱f(x)在I上的圖形是凸的.第六節(jié)、曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸具有明顯的幾何意義，對(duì)于凹曲線，當(dāng)x逐漸增大時(shí)，其上每一點(diǎn)的切線的斜率是逐漸增大的，即導(dǎo)函數(shù)f′(x)是單調(diào)增加的(見圖3-12)；而對(duì)于凸曲線，當(dāng)x逐漸增大時(shí)，其上每―點(diǎn)的切線的斜率是逐漸減小的，即導(dǎo)函數(shù)f′(x)是單調(diào)減少的(見圖3-13).于是有下述判斷曲線凹凸性的定理.第六節(jié)、曲線的凹凸與拐點(diǎn)定理

（曲線凹凸性的判定定理）設(shè)函數(shù)f(x)在［a,b］上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，則（1）若在(a,b)內(nèi)，f″(x)>0，則f(x)在［a,b］上的圖形是凹的.（2）若在(a,b)內(nèi)，f″(x)<0，則f(x)在［a,b］上的圖形是凸的.第六節(jié)、曲線的凹凸與拐點(diǎn)證明

就情形（1）給出證明.設(shè)x1和x2為［a,b］內(nèi)任意兩點(diǎn)，且x1<x2，記，并記x2－x0=x0－x1=h，則由拉格朗日中值定理，得f(x0)－f(x1)=f′(ξ1)h,ξ1∈(x1,x0),f(x2)－f(x0)=f′(ξ2)h,ξ2∈(x0,x2),兩式相減，得f(x2)+f(x1)－2f(x0)=[f′(ξ2)－f′(ξ1)]h.（3-11）在［ξ1,ξ2］上對(duì)f′(x)再次應(yīng)用拉格朗日中值定理，得f′(ξ2)－f′(ξ1)=f″(ξ)(ξ2－ξ1),ξ∈(ξ1,ξ2),（3-12）將式（3-12）代入式（3-11），得f(x2)+f(x1)－2f(x0)=f″(ξ)(ξ2－ξ1)h,ξ∈(ξ1,ξ2),第六節(jié)、曲線的凹凸與拐點(diǎn)

第六節(jié)、曲線的凹凸與拐點(diǎn)

討論曲線f(x)=2x2－lnx的凹凸性.解函數(shù)的定義域是(0,+∞)，且顯然,f″(x)>0,因此,曲線f(x)=2x2－lnx在(0,+∞)上是凹的.【例1】第六節(jié)、曲線的凹凸與拐點(diǎn)定義2

連續(xù)曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).如何來尋找曲線y=f(x)的拐點(diǎn)呢？根據(jù)本節(jié)定理，二階導(dǎo)數(shù)f″(x)的符號(hào)是判斷曲線凹凸性的依據(jù).如果f″(x)在x0的左、右兩側(cè)鄰近異號(hào)，那么點(diǎn)(x0,f(x0))即為拐點(diǎn)，所以要尋找拐點(diǎn)，只要找出f″(x)符號(hào)發(fā)生變化的分界點(diǎn).如果f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么在這樣的分界點(diǎn)處必有f″(x)=0;除此之外，f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，也有可能是f″(x)的符號(hào)發(fā)生變化的分界點(diǎn).因此，使得f″(x)=0與f″(x)不存在的點(diǎn)即為可能的拐點(diǎn).第六節(jié)、曲線的凹凸與拐點(diǎn)綜上所述，判定區(qū)間I上曲線的凹凸性與求曲線拐點(diǎn)的一般步驟為：（1）求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f″(x).（2）令f″(x)=0，解出方程在區(qū)間I內(nèi)的實(shí)根，并求出區(qū)間I內(nèi)所有使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).（3）對(duì)步驟（2）中求出的每一個(gè)點(diǎn)，檢查其鄰近左、右兩側(cè)f″(x)的符號(hào)，確定曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).第六節(jié)、曲線的凹凸與拐點(diǎn)

討論曲線的凹凸性，并求出該曲線的拐點(diǎn).解函數(shù)的定義域是(－∞,+∞)，且令f″(x)=0,解出.它們將定義域分成三個(gè)區(qū)間在內(nèi),f″(x)>0,所以曲線,在內(nèi)是凹的;在內(nèi),f″(x)<0,所以曲線在內(nèi)是凸的.點(diǎn)和是曲線的拐點(diǎn).【例2】第六節(jié)、曲線的凹凸與拐點(diǎn)

判定曲線y=x4－2x3+1的凹凸性,并求出該曲線的拐點(diǎn).解函數(shù)的定義域是(-∞,+∞)，且y′=4x3－6x2,y″=12x2－12x=12x(x－1).令y″=0,得x1=0,x2=1,它們將函數(shù)的定義域分成三個(gè)區(qū)間(－∞,0］,［0,1］,［1,+∞).在(－∞,0)及(1,+∞)內(nèi),y″>0,所以在(－∞,0］和［1,+∞)內(nèi),曲線y=x4-2x3+1是凹的;在(0,1)內(nèi),y″<0,所以在［0,1