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歐拉方程第六節(jié)、歐拉方程

因?yàn)樽兿禂?shù)的二階及二階以上的線性微分方程還沒有一般的解法，所以本節(jié)介紹一類特殊的變系數(shù)的線性微分方程——?dú)W拉方程，通過變量替換可以化為常系數(shù)的線性微分方程，因而容易求解.形如xny(n)+p1xn－1y(n－1)+…+pn－1xy′+pny=f(x)（6-33）的方程稱為歐拉方程，其中p1，p2，…，pn為常數(shù).歐拉方程的特點(diǎn)是：方程中各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與其乘積因子自變量的冪次相同.當(dāng)自變量x>0時(shí)，作變量替換x=et，則t=lnx，有第六節(jié)、歐拉方程

如果來(lái)用記號(hào)D表示對(duì)自變量t求導(dǎo)的運(yùn)算d/dt，則上述結(jié)果可表示為xy′=Dy，一般的，有xky(k)=D(D－1)…(D－k+1)y.（6-34）當(dāng)自變量x<0時(shí)，作變換x=－et，可得類似結(jié)果.將式（6-34）代入歐拉方程，則方程（6-33）化為以t為自變量的常系數(shù)線性微分方程，求出該方程的解后，回代t=lnx，即得到原方程的解.第六節(jié)、歐拉方程

求歐拉方程x2y″+xy′－y=x2的通解.解作變換x=et(設(shè)x>0),原方程化為D(D－1)y+Dy－y=e2t,即D2y－y=e2t或（6-35）方程（6-35）所對(duì)應(yīng)的齊次方程為（6-36）其特征方程為r2－1=0,【例1】第六節(jié)、歐拉方程

特征根為r1,2=±1,所以齊次方程（6-36）的通解為Y=C1e－t+C2et=C1x+C2x.方程的特解形式為y=ae2t,代入原方程，得a=1/3,即y=1/3x2,所以歐拉方程的通解為

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