空間曲線方程一、空間曲線及其方程空間曲線的一般式方程1.空間直線可以看作是兩個平面的交線，而它的方程可以用這兩相交平面方程的聯立方程組來表示，同樣空間曲線可以看作兩個曲面的交線．設有兩個相交的曲面，它們的方程分別是F1(x,y,z)=0，F2(x,y,z)=0．那么聯立方程組

（7-15）就是它們交線的方程，稱式(715）為空間曲線的一般式方程．一、空間曲線及其方程（1）曲線方程(7-15）以這種形式表示一條曲線．若把兩個方程消去一個未知量，化為一個方程，則該方程表示的就不是空間曲線，而是一個這條曲線所在的柱面．（2）空間曲線的一般式方程表達形式不唯一．因為一條空間曲線可以是兩曲面F1和F2的交線，也可以是曲面G1和G2的交線，而通過該曲線的曲面有無窮多個，為此，它可以看作其中任何兩個曲面的交線．但是，當兩個曲面確定后，其交線是唯一確定的．注意一、空間曲線及其方程求以（1,-2,3）為球心，3為半徑的球面與平面z=5交線的方程，這是一條什么曲線？

解由已知可得，給定球面的方程為(x－1)2+(y+2)2+(z－3)2=9，所以所求交線的方程為【例1】一、空間曲線及其方程即由此可知，交線為在平面z=5上，以（1,-2）為中心，為半徑的圓周．一、空間曲線及其方程空間曲線的參數式方程2.空間曲線的參數式方程是我們在學習多元函數積分學時要用到的，但其方程的建立比較麻煩，我們這里只簡單介紹只有一個參變量的參數方程．如果曲線C上的點M(x,y,z)的坐標可以表示為某個變量t的函數，即

（7-16）當t在［α,β］上每取一個值時，就得到曲線C上的一個點M(x,y,z)，而t由α變到β時就得到曲線C上的所有點．則式(7-16）稱為曲線C的參數式方程，其中t稱為參數．一、空間曲線及其方程設空間一點M在圓柱面x2+y2=a2上以勻角速度ω繞z軸旋轉，同時又以勻線速度v沿平行于z軸的正方向上升（其中ω，v都是常數），那么，此點M的運動軌跡習慣稱為螺旋線．試建立螺旋線的參數方程．

解取時間t為參數．設當t=0時，動點位于軸上一點A(a,0,0)處．經過時間t，動點M運動到B(x,y,z)（見圖7-43）．由已知條件可得參數方程為【例2】圖7-43一、空間曲線及其方程如果取θ=ωt為參數，并設，澤有由此可知，曲線的參數方程不唯一，它與參數的選取有關，這里不作詳細介紹．二、空間曲線在坐標面上的投影

設在空間直角坐標系中有一條曲線C′，過C′作母線平行于z軸的柱面，與xOy平面的交線為C，則稱C為曲線C′在xOy面上的投影曲線（見圖7-44）．圖7-44二、空間曲線在坐標面上的投影下面來建立空間曲線在坐標面上的投影曲線方程．設空間曲線C′的方程為

（7-17）為求C′在坐標面xOy面上的投影曲線方程，現從式(7-17）中消去z后，得方程H(x,y)=0，（7-18）二、空間曲線在坐標面上的投影這正是母線平行于z軸的柱面方程．由于它是從式(7-17）中得出，為此，在曲線C′上的點，其坐標必滿足式(7-17），從而也一定滿足H（x,y）=0，所以，這個柱面是以曲線C′為準線的柱面，我們稱其為投影柱面．它與xOy坐標面的交線C的方程為

（7-19）即為空間曲線C′在xOy坐標面上的投影曲線方程．二、空間曲線在坐標面上的投影同理，從式(7-17）中消去x或y，分別得投影柱面方程G(y,z)=0或R(x,z)=0，再分別與x=0或y=0聯立，即可得曲線C′在坐標面yOz面或zOx面上的投影曲線方程分別為求兩球面x2+y2+z2=1和(x－1)2+y2+(z－1)2=1的交線在xOy面上的投影方程．

【例3】二、空間曲線在坐標面上的投影分析要求曲線在坐標面上的投影曲線方程，只要找到投影柱面方程，然后與坐標面方程聯立即可．而投影柱面方程只需要將曲線方程消去一個相應的未知量即可．

解將曲線方程二、空間曲線在坐標面上的投影中未知量z消去．方程組中兩方程相減得x+z=1，即z=1－x，將其代入x2+y2+z2=1得投影柱面方程為2x2+y2－2x=0．于是，兩球面的交線在xOy面上的投影曲線方程為最后，我們通過例題來說明，空間解析幾何中由方程來描繪空間區域的方法．它在今后多元函數積分學中經常用到，要仔細體會．二、空間曲線在坐標面上的投影描繪由x≥0，y≥0，z≥0，x+y≤1，y2+z2≤1所圍成的立體圖形．

解在空間解析幾何中，不等式關系描述了曲線上（下）方或內（外）的區域，為此，我們在空間直角坐標系中只要描繪出相應方程的圖形，就可得到所描繪的空間區域．方程x+y=1表示過點（1，0，0）和點（0，1，0）且平行于z軸的平面．【例4】二、空間曲線在坐標面上的投影x+y≤1表示以x+y=1為界，且包含原點的那個半空間．方程y2+z2=1表示以坐標面yOz面上的圓y2+z2=1為準線，母線平行于x軸的圓柱面．于是y2+z2≤1表示這個圓柱面所圍成的內部及其表面．直圓柱面y2+z2=1在平面x=0,y=0，x+y=1上的截線分別是圓、直線和橢圓；平面x+y=1