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文檔簡介

高階函數一、高階導數引例

求變速直線運動物體的瞬時加速度.分析如果物體的運動方程為s=s(t)，則變速直線運動的瞬時速度v是路程s對時間t的導數，即而加速度a又是速度v對時間t的變化率，也就是速度v對時間t的導數，即a=dv/dt.于是這種導數的導數d/dt(ds/dt)或(s′)′稱為s對t的二階導數，記為s″(t).所以，物體運動的加速度就是路程s對時間t的二階導數.一、高階導數一般地，如果函數y=fx的導數y′=f′(x)仍是x的可導函數，就稱y′=f′(x)的導數為函數y=fx的二階導數，記為y″,f″(x),d2y/dx2或d2f(x)/dx2.相應地，把y=fx的導數f′(x)稱為函數y=f(x)的一階導數.一、高階導數二階或二階以上的導數統稱為高階導數.由高階導數的定義知，求函數y=f(x)的高階導數，只需連續多次求導數即可，因此仍可應用前面的求導方法進行計算.一、高階導數

【例1】一、高階導數

求指數函數y=ax(a>0,a≠1)的n階導數.【例2】一、高階導數

求正弦函數y=sinx的n階導數.【例3】一、高階導數

求冪函數y=xα(α∈R)的n階導數.【例4】一、高階導數

設y=ln(1+x)，求y(n).【例5】一、高階導數【例6】一、高階導數

設f(x)具有任意階導數，且f′(x)=f2(x)，求證：f(x)的n階導數f(n)(x)=n!fn+1(x).證明由f′(x)=f2(x)，得所以原命題成立.【例7】一、高階導數二、萊布尼茨公式如果函數u=ux與v=vx都在點x處具有n階導數，那么u(x)+v(x)與u(x)-v(x)在點x處都具有n階導數，且u(x)±v(x)（n）=[u(x)](n)±[v(x)](n),但乘積u(x)·v(x)的n階導數卻并不如此簡單.由［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)首先得出上式稱為萊布尼茨公式.

設y=x2sinx,求y(20).解設u(x)=sinx,vx=x2,則由萊布尼茨公式知【例8】二、萊布尼茨公式三、應用舉例

年齡在0與36個月之間的男嬰的平均體重可以表示成函數ω(t)=8.15+1.82t－0.0596t2+0.000758t3，其中t用月來度量，而ω用磅（1磅=0.454千克）來度量，求一個標準男嬰體重增長的加速度.解對ω(t)=8.15+1.82t－0.0596t2+0.000758t3求導，得ω′(t)=1.82－0.1192t+0.002274t2，ω″(t)=－0.1192

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