2015.2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題25數(shù)列第一講

1.【2021年浙江預(yù)賽】設(shè)的=0,%==1，。3n=即，。3〃+1=a3n+2=6+1(九—D，則。2021=---------

2.(2021年浙江預(yù)賽】設(shè)數(shù)列即+1=圖+圖，n=12…,7,這里[x]表示不超過》的最大整數(shù)。若。8=8,

則正整數(shù)由有種可能的取值情況。

3.[2021年新疆預(yù)賽】已知數(shù)列｛aj滿足%=L&=4g=1。，對任意的九>2有嫌+i-2aJ=anan+2-

2%i-l4i+l，則。21的個(gè)位數(shù)字是.

4.[2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試】等差數(shù)列｛an｝滿足。202]=。20+?2i=L則％的值為

5.[2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷一試】等差數(shù)列5｝的公差d工0,且。2021=。2。+。2]，則守的值為一

6.12020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】在等比數(shù)列｛%｝中，的=13,a3=1,則log%13的值為.

7.(2020年甘肅預(yù)賽】設(shè)數(shù)列包力滿足:ai=：,%+i=an+Q^〃WZ+).記72020=三；+三；+…+

-^―?若72020的值在區(qū)間(k,k+l)內(nèi)，則整數(shù)k的值為__________.

@2020+1

8.【2020年廣西預(yù)賽】設(shè)數(shù)列｛小｝的前兩項(xiàng)分別為為=2。2=4.設(shè)%=4+1-%?若數(shù)列｛%｝是公差

為1的等差數(shù)列，則&。2。=.

9.[2020年吉林預(yù)賽】數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1,12358,13,…該數(shù)列

的特點(diǎn)是:前兩個(gè)數(shù)均為1,從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)均等于它前面兩個(gè)數(shù)的和.把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列

｛an｝稱為“斐波那契數(shù)列''.則

(%的+a2a4+a3a5+…+Q2019a2021)-(a|++aj+…+Q；o2o)=-

10.【2020年四川預(yù)賽】已知數(shù)列｛斯｝滿足以oun.an+iulanl+T1;，其利也]表示不超過實(shí)數(shù)a的最

大整數(shù),｛a｝=a-[a].則CI2020=-

n

11.【2020年四川預(yù)賽】若數(shù)列｛0｝滿足an=[(2+V5)2](nWZ+)，則02020的末尾兩位數(shù)字為

12.【2020年浙江預(yù)賽】設(shè)&也。為集合口,2,…,n｝的一個(gè)排列.若存在k<1且”&，則稱數(shù)對&力)

為一個(gè)逆序，排列中所有逆序數(shù)對的數(shù)目稱為此排列的逆序數(shù).比如，排列1432的逆序?yàn)?3、42、32,此排列的

逆序數(shù)就是3.則當(dāng)日=6時(shí)，且i3=4的所有排列的逆序數(shù)的和為.

13.[2020年重慶預(yù)賽】已知力,g"3，人均為實(shí)數(shù).若集合｛%,g，%，%｝的所有非空直子集的元素之和為

28,則%+a2+a3+a4=.

14.(2020年新疆預(yù)賽】等差數(shù)列｛an｝的公差和等比數(shù)列｛%｝的公比都是d(dHl),且%=瓦,%=

力4.aic=bio.若存在mGN使得=Z)22,則m=.

15.【2019年江西預(yù)賽】公差為4各項(xiàng)皆為正整數(shù)的等差數(shù)列｛斯｝，若%=1919,a7n=1949,%=2019,則正

整數(shù)in+n的最小值是.

16.【2019年江西預(yù)賽】數(shù)列｛小｝滿足:的=V3,冊+1=[冊]+六，(其中[，〃]和｛小｝分別表示實(shí)數(shù)。〃的整數(shù)

部分與小數(shù)部分)，則。2019=.

17.[2019年上海預(yù)賽】設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d(#0),前〃項(xiàng)和為S”若數(shù)列Q8S1+2n｝也是公差為d的

等差數(shù)歹U.則數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)。”=.

18.【2019年新疆預(yù)賽】已知數(shù)列:級,…措，…,白，總…，黑，…，那么篝是該數(shù)列的第一

________項(xiàng).

Xxn

19.[2019年浙江預(yù)賽】設(shè)0<<x2?數(shù)列｛&｝滿足%n+2=n+1+n>41?若1^x7<2,則%8的取值范

圍為.

20.[2019年北京預(yù)賽】將正整數(shù)1,2,3,4「?,71,…按第k組含k+1個(gè)數(shù)分

組(345),(6,789),(10,11,12,13,14)…則2019在第組中.

第1組第2組第3組第4組

21.【2019年廣西預(yù)賽】從1,2,……,20中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的概率為

22.【2019年貴州預(yù)賽】已知正項(xiàng)數(shù)列⑶｝的前n項(xiàng)和為Sn，若｛aj，｛歷｝均為公差為d的等差數(shù)列，則Sn=

23.【2019年吉林預(yù)賽】我們把3,6,10,15,...這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形,

如下圖所示，則第19個(gè)三角形數(shù)是.

361015

24.【2019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】設(shè)等差數(shù)列｛〃〃｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)0=2019,且對任意正整

數(shù)〃，總存在正整數(shù)m使得的+&+???+/?=???這樣的數(shù)列｛為｝的個(gè)數(shù)為.

25.【2018年山西預(yù)賽】將全體正整數(shù)按自小到大的順序排列，然后這樣分段，使得第一段有1個(gè)數(shù)，第二

段有3個(gè)數(shù)，……，第n段有2n-l個(gè)數(shù)；那么，第20段中的第18個(gè)數(shù)是.

26.12018年江蘇預(yù)賽】己知等差數(shù)列｛%｝的前12項(xiàng)的和為60,則|Qj+|。21+…+上閆的最小值為?

8a

27.【2018年浙江預(yù)賽】設(shè)數(shù)列｛郁｝滿足%=1?/i+i=5an+l（〃=1，2,…），則Sn=\n=-

28.（2018年湖北預(yù)賽】設(shè)數(shù)列（6｝滿足：%=1,4每+1—an+i?n+4an=9,貝^2018=.

29.【2018年湖北預(yù)賽】設(shè)數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為an=M-n,nwN?，將該數(shù)列中個(gè)位數(shù)字為0的項(xiàng)，按

從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列｛%｝,則b2c18被7除所得的余數(shù)為.

30.【2018年甘肅預(yù)賽】已知數(shù)列｛%｝滿足%+1=三%=3,則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式是.

2015.2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題25數(shù)列第一講

1?12021年浙江預(yù)賽】設(shè)CLQ—0,a1-"a2=1，。3九=。371+1=03zi+2=。九+

1（M>1），則。2021=---------

【答案】6

【解析】。2021=&X673+2=a673+1=a3x224+l+1=a224+2

二03x74+2+2=Q74+3=03x24+2+3=g4+4=CLQ+4=電+

5=6

2.【2021年浙江預(yù)賽】設(shè)數(shù)列=［明+陽］,、這里團(tuán)表示不超過力的最大

an+in=1,2,…，7

整數(shù)。若=8，則正整數(shù)a1有種可能的取值情況。

【答案】7

【解析】由。8=8,可得。7=10或11，

可得36=12或13或14;可得=15或16或17

可得Q4=18或19或20或21;可得。3=22或23或24或25或26,

可得a2=27或28或29或30或31或32;

可得如1=33或34或35或36或37或38,39,共7種.

3.（2021年新疆預(yù)賽】已知數(shù)列｛。腦滿足=1,。2=4,。3=I。，對任意的n之2有

^-ian+i，則。21的個(gè)位數(shù)字是.

a^+i—=anan+2—n

【答案】6

【解析】:嫌欣=aa-即_冊+”??（冊_。=

+1-2nn+221an+ian+i+2

Q?i（Qzi+2+2a幾）,

.%1+1+2a711_。九+2+2。九

anan+l

?.43嗎）是常數(shù)列，又筆洶=3,

a

tanJ2

._J=3,...an+1=3aH-2an_^

an+l

n—1

由特征根方程求得Gn=3x2-2,???a21的個(gè)位數(shù)字為6.

4.(2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試】等差數(shù)列｛。工滿足。2021=a20+a21=1,則%的值為

【答案】黑

【解析】設(shè)5｝的公差為d.由條件知慨:;鬻U解得%=鬻.

5.(2021年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷一試】等差數(shù)列1｝的公差d*0,且做021=。20+。21，則來的值為

【答案】1981

【解析】由條件知為+2020d=%+19d+%+20d,又d*0,故號=1981.

6.【2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】在等比數(shù)列｛an｝中，a9=13^3=1,則log%13的

值為.

【答案嗎

【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)知,=(^),%=篝=133.所以108%13=/

7.(2020年甘肅預(yù)賽】設(shè)數(shù)列｛Q〃｝滿足:a1—i,-|-1=。九+a尚(兀eZ+)?記T2020=

++*l+…+晨開I若T2020的值在區(qū)間(mk+1)內(nèi)，則整數(shù)4的值為

【答案】3

【解析】由題意知

1_1_1_1

an+lan(?n+l)an。九+1

111

=-----=-------------

Qn+1anan+l

Illi1I

=72020=---------------1----------------1-…H-------------------------

Qla2a2a3。2020a2021

1

-_-1---....1...-_4.

al02021?2021

下證「202。6(3,4),只需證。2021>1.由Qn+i=

72

+++>16a1

*?*^1=

e

由歸納法,知對于任意的n>17,an>1，則T2O20(3,4)，即北=3.

8.【2020年廣西預(yù)賽】設(shè)數(shù)列｛an｝的前兩項(xiàng)分別為。1=2,a2=4.設(shè)bn=an+i-an?若

數(shù)列｛bn｝是公差為1的等差數(shù)列，則。2020=

【答案】2041211

【解析】易知力1=a2—=2.

由｛6八｝的公差為1知

bn=n+l

「2019,

故。2020=%+2-1d

=2+2+3+-+2020

=2041211.

9.[2020年吉林預(yù)賽】數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)

:1,1,2,3,5,8,13,???該數(shù)列的特點(diǎn)是:前兩個(gè)數(shù)均為1,從第三個(gè)數(shù)越每一個(gè)數(shù)均等于它前面兩個(gè)

數(shù)的和.把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列｛an]稱為“斐波那契數(shù)列”.則

27

a++^++

(。1。3+a2a4+a3a5+…+a2019a2021)一2.

1020)-

【答案】I

【解析】由題意知

一諼=l，a2a廠送二一1.

一域=l,a4a6-璉=-1，

n+1

由此可歸納出結(jié)論GnGn+2一a^i=(-l)(nez+)

則原式

=(%。3—遙)+(a2a4-?3)+(a3a5-a4)+…+(。2019a2021一

成020)，

即1009個(gè)一T與loio個(gè)1相加，結(jié)果為1.

io.【2020年四川預(yù)賽】已知數(shù)列｛an｝滿足:跖,an+i=[a7l]+隔，其中,以]表示不

超過實(shí)數(shù)a的最大整數(shù),｛a｝=a-[a],則02020=.

【答案】6060+V6

【解析】注意到，

a0=76=2+(76—2),

%=2+露=4+早.

。2=4+'2=8+(76—2),

。3=8+廿10+粵,

。4=1。+熹=14+(跖-2).

由數(shù)學(xué)歸納法易得

a2k=6k+\/6,

02k+1=6k+4+、"丁(k6N).

因此Q2020=6060+歷

2n

ii.【2020年四川預(yù)賽】若數(shù)列｛an｝滿足an=[(2+J3)](neZ+)，則€12020的末尾兩

位數(shù)字為.

【答案】53

【解析】記bn=(2+73)+(2-/3),則

久=4也=14,

%+2=4%+i-bn(neZ+)

考慮｛6兀(mod100)｝,它們分別為：

04,14,52,94,24,02,84,34,52,74,44,02,64,54,52,54,64,02,44,74,52,34,84,02,24,94,52,14,04,02,04,14,,

是以30為周期的模周期數(shù)列.

4004804165153

又22020三2404=24X2=2X2=2X2=2x2=2x2=

16(mod30),

則￡>2020的最后兩位數(shù)為54.

因?yàn)?2一6)%(0,1)，所以,。2020的末尾兩位數(shù)字為53.

12.【2020年浙江預(yù)賽】設(shè)兀為集合｛1,2,??1n｝的一個(gè)排列.若存在kVI且“〉

,則稱數(shù)對(i匕為一個(gè)逆序,排列中所有逆序數(shù)對的數(shù)目稱為此排列的逆序數(shù).比如，排列1432的逆

序?yàn)?3、42、32,此排列的逆序數(shù)就是3.則當(dāng)ZI=6時(shí)，且J=4的所有排列的逆序數(shù)的和為

【答案】912

【解析】含6的逆序數(shù)有+4+2+1)=124：(0),

含5的逆序數(shù)有A：x4+(A：x4+C；xA：x3)+(2瑪4掾++嗎4擠

=38原個(gè))，

含4的逆序數(shù)有3度幽+2瑪x2x3x展+照&=216(公，

含3的逆序數(shù)有X2+245=645=120(個(gè)),

含2的逆序數(shù)有4；=60個(gè).

故總的逆序數(shù)有912個(gè).

13.【2020年重慶預(yù)賽】已知，。3，。4均為實(shí)數(shù)?若集合｛。1，。2,。3,的所有非空真子

集的元素之和為28,則a1+a2+a3+a4=.

【答案】4

【解析】注意到，含有元素Gj(i=I,2j3,4)的非空真子集有7個(gè).

則/=｛alfa2fa3fa^｝的所有非空真子集的元素之和為7(%+a2+a3+a4)=

28

從而,=4.

14.[2020年新疆預(yù)賽】等差數(shù)列｛an｝的公差和等比數(shù)列｛8九｝的公比都是d(dH1)，且=

blfa4=b4fa10=b10.若存在mEN使得。租=辦22，則m.

【答案】130

=g

【解析】由題得｛。1+3d=bi-ci?,消去。1，^1，得d6+d3-2=0，解得d，=

%+9d=%?d9

3

-2或i(舍去).所以a1+3d=-d,得d=-blr:.%+(m—l)d=如?

21

d=-128b1，解得m=130

15.[2019年江西預(yù)賽】公差為d,各項(xiàng)皆為正整數(shù)的等差數(shù)列(叫,若QI=1919,。祇=

1949,an=2019,則正整數(shù)m+〃的最小值是.

【答案】15

【解析】設(shè)公差為d,則1949=1919+(m-1)d',2019=1919+(n-1)J,

.30,100

顯然有med=—,以及d=有,消去〃得w,

m

其通解為1=111t+.，為使標(biāo)且d為正整數(shù)，則正整數(shù)t只能在｛1,2,5,10｝取值,

(n=l+10t

當(dāng)/=1時(shí)〃=4,〃=11為最小，此時(shí)m+n=\5.

16.[2019年江西預(yù)賽】數(shù)列｛〃｝滿足:a。=J3,an+1=[Gn]+系，(其中和｛的｝分別表示實(shí)數(shù)

%的整數(shù)部分與小數(shù)部分)，則。2019=.

【答案】3029+券

【解析】

劭=1+(3-1),%=1+喜=2+小做=2+喜=3+總=4+

(V3-1),

g=4+看=5+半

歸納易得a2k=3k+1+(V3-1)；。2k+1=3k+2+百21.

因此。2019=3029+與工

17.【2019年上海預(yù)賽】設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為4(存0),前〃項(xiàng)和為S”若數(shù)列｛即亍[不i｝也是公差

為d的等差數(shù)列，則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)。產(chǎn).

【答案】4n--

4

【解析】由J8sH+]+2(zi+1)—，8Sn+2zi=d(zi>1)

=8szi+i—8s7t+2=d+2dJ8Sn+2zt

=80瓶+1+2=d+2dyJ8Sn+2n.

類似地,8。〃+2+2=d+2dJ8szi+i+2(zi+1).

將以上兩式相減得：8((1rl+2一%i+i)=2d(J8szi+i+2(n+1)-J8s瓶+2n)

=8d=2d2

而今0,故d=4.

又J8s2+4-18sl+2=Jl6a2+36-J8al+2—4

由此解得％=彳

從而,Gn=*+4（n-1）=4n-1

18.［2019年新疆預(yù)賽】已知數(shù)列專各'含‘…'翁'”看…『3…’那么翁翁

是該數(shù)列的第項(xiàng).

【答案】1553

【解析】依題意知，可將已知數(shù)列進(jìn)行分組，第一組為序:第二組為｛捐,輔卜第三組為

67

假片…碧黑，…,第n組為停序…票］.又2187=37,3<2020<3,

故分?jǐn)?shù)奔翁在數(shù)列第7組.

下面我們計(jì)算數(shù)列分組后，前6組共有數(shù)列中：

i［（31-1）+（32-1）+（33-1）+（34-1）+（35-1|+（36-1）］=

\萼毅—6=543項(xiàng).

又雪碧為數(shù)列第7組的第1010位.

所以分?jǐn)?shù)第碧為數(shù)列的第543+1010位，即1553位.

Zlo/

19.[2019年浙江預(yù)賽】設(shè)0<Xt<x2.數(shù)歹1J｛冗用滿足%n+2=+xn,n>1.若1<

x7<2,則％8的取值范圍為.

【答案】借早

【解析】由已知得％3=+冗2，%4=+2%2，%5=2%1+3X2，

x=3工1+5x+Sx,x=8冗1+13x,

65X2,X7=12s2

因?yàn)?<x7<2,所以1<5工1+Sx2<2,結(jié)合0<Xi<久2,在0一久1元2坐標(biāo)下

所圍成的線性規(guī)劃區(qū)域?yàn)樗倪呅危乃膫€(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,百，信濤)，侑堵)，(°，撲

所以48=8%i+13%2

20.[2019年北京預(yù)賽】將正整數(shù)1,2,3,4,???，弭???按第4組含k+1個(gè)數(shù)分

組：(1,2),(3,4,5),(6,7,8,9),(10,11,12,13,14)…則2019在第組中.

第1組第3組第4組

【答案】63

【解析】易知第ri組的最后一個(gè)數(shù)為+n,當(dāng)n=62時(shí)，啜絲+62=2015.可見，

2015是第62組的最后一個(gè)數(shù)，因此2019應(yīng)在第63組中.

21.【2019年廣西預(yù)賽】從1,2,……,20中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列的概率為

【答案】余

【解析】設(shè)首項(xiàng)為川,不妨考慮公差d>0=>l<d<9ldeN+

d=l=l《(ii418=18組

d=2=l(ai416=16組

d=3=l《ai&14=14組

以此類推，可得：

d=9=l《cii《2=2組

則總共有0+%)x9=90組

所以構(gòu)成等差數(shù)列的概率為岑=

。20

22.【2019年貴州預(yù)賽】已知正項(xiàng)數(shù)列｛即｝的前n項(xiàng)和為Sn，若｛。而,｛廊｝均為公差為d的等差數(shù)列,則

Sn=______

?2

【答案】7

【解析】解法1：由已知an=aA+(n-l)d,禹=眄+(n-l)d(d>0),

所以，當(dāng)吃2時(shí)：

__2__2__

cin=Sn—Sn_]=[Ja】+(ri—l)d]+(n—2)d]=d[2J%+(2n—

3)d1

故對Vn6N*,有a1+(n—l)d=d[2ja^+(2n—3)d].

ai2

I2dV?7一3d2=at-d.(_n

[2d2=d=3=「丁

解法2:因?yàn)镾M=加2_|_(/一且)幾要使｛Sn｝是公差為d的等差數(shù)列，則必有的=去此時(shí)心:=

J彳n,所以=d,解得d—5,所以Sn=

23.(2019年吉林預(yù)賽】我們把3,6,10,15,…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因?yàn)檫@些數(shù)R的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形,

如下圖所示，則第19個(gè)三角形數(shù)是.

361015

【答案】210

【解析】歸納易得ww故《=型部=

an=(+iJ+2)(neN*),19210.

24.12019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第01試)】設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為整數(shù)，首項(xiàng)。產(chǎn)2019,且對任意正整

數(shù)〃，總存在正整數(shù)小，使得。1+。2+???+^^=。/?.這樣的數(shù)列｛小｝的個(gè)數(shù)為.

【答案】5

【解析】設(shè)｛〃”｝的公差為a由條件知。上伏是某個(gè)正整數(shù))，則

+a2=2al+d=at+

(fc-l)d,

即(2-2)占0,因此必有存2,且d=:不

k-2

這樣就有an=a1+(ri—l)d=a1+匿

而此時(shí)對任意正整數(shù)〃，

ar+a2-\----Fan=arn+m缶i)d

。

=ar+(n-I)1+d=a1+((n-l)(k-2)+d,

確實(shí)為｛〃”｝中的一項(xiàng).

因此，僅需考慮使々-21al成立的正整數(shù)&的個(gè)數(shù).注意到2019為兩個(gè)素?cái)?shù)3與673之積，易知％—2可

取一1,1,3,673,2019這5個(gè)值，對應(yīng)得到5個(gè)滿足條件的等差數(shù)列.

25.【2018年山西預(yù)賽】將全體正整數(shù)按自小到大的順序排列，然后這樣分段，使得第一段有1個(gè)數(shù)，第二

段有3個(gè)數(shù)......第n段有2n-l個(gè)數(shù)；那么，第20段中的第18個(gè)數(shù)是.

【答案】379

【解析】

顯然，前n段共有1+3+5+…+(2幾-1)=/個(gè)數(shù)，即第門段中最大數(shù)為M；于是第19段中的最大數(shù)為

192=361,則第20段中第18個(gè)數(shù)為361+18=379.

26.12。18年江蘇預(yù)賽】己知等差數(shù)列｛冊｝的前12項(xiàng)的和為60,則la/+|。21+…+佃閆的最小值為?

【答案】60

【解析】

a

1li+|a21+…+|a12|>at+a2+???+al2=60,當(dāng)且僅當(dāng)%=a2=""=0i2=5時(shí)等號成立,

故|%|+El+…+|出21的最小值為60.

故答案為：60

18a

27.【2018年浙江預(yù)賽】設(shè)數(shù)列｛冊｝滿足=1，an+1=5an+1(w=l?2,...),則Sn?：1n=?

【答案】哪-8077

16

【解析】

由冊+i=5%+1=an+1+^=5(an+：)=廝=彳一；，

所以工冊詢=;(51+52+-+52。18)—等=總(52018_1)_竿=詈_兼.

28.【2018年湖北預(yù)賽】設(shè)數(shù)列｛冊｝滿足：=Man+1-an+1an4-4an=9,則。2018=

【答案w

【解析】

由4%+i-an+1an+4an=9可得

(4-an)(4-0n+i)=7.

設(shè)壇=4—an,則有％壇+1=7.又b,=4—%=3?故々，

一般地，有82此-1=3,b2k=于是

75

a2k-i=4-3=l,a2k=4--=

所以。2018=g-

29.【2018年湖北預(yù)賽】設(shè)數(shù)列｛冊｝的通項(xiàng)公式為an=M-n,〃eN*,將該數(shù)列中個(gè)位數(shù)字為0的項(xiàng)，按

從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列｛久｝，則b2c18被7除所得的余數(shù)為.

【答案】4

【解析】

因?yàn)?=九3一九=九（九一1）（九+1）,于是可知當(dāng)且僅當(dāng)九的個(gè)位數(shù)字為1、4、5、6、9、0時(shí)，%的個(gè)位

數(shù)字為0.所以，數(shù)列｛每｝的連續(xù)10項(xiàng)中，個(gè)位數(shù)字為0的項(xiàng)有六個(gè).

而2018=336x6+2,336x10=3360,余數(shù)2所對應(yīng)的滿足條件的項(xiàng)的個(gè)，立數(shù)字為4,因此，

匕2。18=。3364=33643_3364=3364x3363x3365=4x3x5=60=4（mod7）.

所以，》2018被7除所得余數(shù)為4.

30.【2018年甘肅預(yù)賽】已知數(shù)列｛即｝滿足斯+1=三黑，的=3,則數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式是_____

On十J

【答案】郁=會(huì)

【解析】

3ia1

n可得一^---==3?

n+1a3“+1’

an+3n+l

以下用累加法得，n妊沙…+茶

得到怖=3+*+…+*=咋?=:(1_新

從而，%=會(huì)?

2015-2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題26數(shù)列第二講

1.【2018年吉林預(yù)賽】在數(shù)列｛%｝中，若碌一碎T=p（nN2,nWN*,p;^r皴）,則稱

｛時(shí)｝為“等方差數(shù)列”.下列是對“等方差數(shù)列”的判斷：

①數(shù)列｛（一1尸｝是等方差數(shù)列；

②若Sn｝是等方差數(shù)列，則｛碎｝是等差數(shù)列；

③若｛an｝是等方差數(shù)列，則Skn｝（kEN，，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列；

④若｛an｝既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列.

其中正確的命題序號為.（將所有正確的命題序號填在橫線上）

2.【2018年河北預(yù)賽】欲登上7階樓梯，某人可以每步跨上兩階樓梯，也可以每步跨上一

階樓梯，則共有種上樓梯的方法.

3.【2018年浙江預(yù)賽】設(shè)數(shù)列｛即｝滿足的=1,%+1=5%+1（〃=1,2,…），貝ij

虎甲冊=?

4.【2018年江西預(yù)賽】正整數(shù)數(shù)列｛g｝滿足每=3n+2,｛5｝滿足與=5n+3,nG

N.在M=｛1,2,…,2018｝中兩數(shù)列的公共項(xiàng)的個(gè)數(shù)是.

5.【2018年湖南預(yù)賽】如圖，將一個(gè)邊長為1的正三角形分成四個(gè)全等的正三角形，第一

次挖去中間的一個(gè)小三角形，將剩下的三個(gè)小正三角形，再分別從中間挖去一個(gè)小三角

形，保留它們的邊，重復(fù)操作以上做法，得到的集合為謝爾賓斯基縷墊.

設(shè)人?是第n次挖去的小三角形面積之和（如為是第1次挖去的中間小三角形面積，%是第

2次挖去的三個(gè)小三角形面積之和），則前n次挖去的所有小三角形面積之和的值為

6.【2018年全國】設(shè)整數(shù)數(shù)列。1，。2，一?，。10滿足。10=+。8=2a5,

且見+ie[l+aif2+aj],i=1,2,???，9,則這樣的數(shù)列的個(gè)數(shù)為

7.12018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】設(shè)整數(shù)數(shù)列01，。2，一?，。10滿足。10=

且見+則

3alfa2+aQ=2a5,iE｛1+aif2+aj,i=1,2,???,9,

這樣的數(shù)列的個(gè)數(shù)為.

8.12018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷（第01試）】在平面直角坐標(biāo)系X。），中，直線/通過原點(diǎn)，

元=31）是/的一個(gè)法向量.已知數(shù)列｛〃“｝滿足:對任意正整數(shù)〃，點(diǎn)（an+i，an）均在/

上.若砍=6,則2a3a4a5的值為.

9.12017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷（第01試）】設(shè)兩個(gè)嚴(yán)格遞增的正整數(shù)數(shù)列

足:@10—瓦。V2017,末任意正整數(shù)〃，有a九+2=。九+1+b?i+i=

則+瓦的所有可能值為.

2bn,a1

io.12017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽卷（第oi試）】在等比數(shù)列｛〃”｝中，

Ba2=V2,a3=

73,則----------的值為________.

a7+a2017

11.【2017年天津預(yù)賽】已知｛冊｝是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,｛兒｝是首項(xiàng)為2,公差為5

的等差數(shù)列.同時(shí)出現(xiàn)在這兩個(gè)數(shù)列中的數(shù)按從小到大的順序排成數(shù)列"高則與00=一

12.[2017年山西預(yù)賽】將全體正奇數(shù)按自小到大的順序排列，然后取第一數(shù)為由,取后續(xù)兩

數(shù)和為。2,再取后續(xù)三數(shù)和為。3,如此繼續(xù)，得到數(shù)列｛0｝，即:%=1,。2=3+5,。3=7+9+

11,…，則｛5｝的前20項(xiàng)之和Q[+。2+…+。20=-

13.[2017年吉林預(yù)賽】兩個(gè)數(shù)列｛&｝,｛瓦｝滿足%=2,瓦=l,an+1=50n4-3bn+7,bn+1=

3冊+5勾（其中-GN+）,則｛%｝的通項(xiàng)公式為%=.

14.[2017年福建預(yù)賽】已知｛Qn｝為等比數(shù)歹IJ,且。1%017=1，若fa）=備，則/1（Ql）+/（。2）+

/（a3）+…+/（a2oi7）=.

15.【2017年江西預(yù)賽】化簡2a+20：3丁+3c：46+…+20167^I7：2017V^=一

16.【2017年江西預(yù)賽】將全體真分?jǐn)?shù)排成這樣的一個(gè)數(shù)列｛冊｝弓排序方法是:

自左至右，先將分母按自小到大排列，對于分母相同的分?jǐn)?shù)，再按分子自小到大排列,則其第

2017項(xiàng)是:。2017=.

17.[2017年江西預(yù)賽】將各位數(shù)字和為10的全體正整數(shù)按自小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列

｛即｝,若％=2017,則？I=.

18.[2017年河南預(yù)賽】已知由3的累或者是若干個(gè)不同的3的豪之和組成的遞增數(shù)列：

1,3,4,9,10,12,13,…,則此數(shù)列的第100項(xiàng)是.

19.[2017年湖北預(yù)賽】已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛Qn｝滿足。6++。4一。3-。2-%=49,則佝+

a8+的的最小值為.

20.【2017年黑龍江預(yù)賽】下面給出一個(gè)“直角三角形數(shù)陣”：

1

4

11

2,4

333

滿足每一列的數(shù)成等差數(shù)列，從第三行起，每一行的數(shù)成等比數(shù)列,且每一行的公比相等，記第i

行第/列的數(shù)為%(i>j,i,jGN+)廁時(shí)3=.

21.【2017年貴州預(yù)賽】在正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，存在兩項(xiàng)1、Q”,使得向高=8%,且的=

他十2a7,則工十士的最小值是___________.

mn

22.【2017年廣東預(yù)賽】已如數(shù)列劭,%,。2,…,生，…滿足關(guān)系式Q-0n+1)(4+即)=8,且

a。=2,則￡與。上的值是________.

ai

23.(2017年廣西預(yù)賽】設(shè)數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)為正數(shù)淇前n項(xiàng)和%滿足%=/即+J，則冊=

24.(2017年湖南預(yù)賽】對正整數(shù)",定義n!=?i(n-l)(n-2)??…2?1,記配=加停+2+

…+品-1]則$2。17=-------------------

25.【2017年江蘇預(yù)賽】若數(shù)列｛/｝滿足的=；，即+】=F七，MWN+，則%)”的值為一

26.[2017年新疆預(yù)賽】在數(shù)列｛%｝中，對1<n<5,有即=足;且對一切正整數(shù)%都有0*5+

an+l=an+4+Qn廁02023=---------------------

n

27.[2017年新疆預(yù)賽】已知數(shù)列｛斯｝首項(xiàng)為2,且滿足6Sn=3an+1+4-1.則5n的最大值

為.

28.【2017年內(nèi)蒙古預(yù)賽】設(shè)等比數(shù)列｛aj的公比為t,前幾項(xiàng)和Sn>0(n=1,2,3,…)，則t的

取值范圍為.

29.[2016年陜西預(yù)賽】在數(shù)列｛%｝中，。4=1，an=9,且任意連續(xù)三項(xiàng)的和均為15.則

^2016=?

30.【2016年安徽預(yù)賽】已知等差數(shù)列為,%，…，為000的前100項(xiàng)之和為100,最后100項(xiàng)之

和為1000.則%=.

2015.2021七年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編

專題26數(shù)列第二講

1.12。18年吉林預(yù)賽】在數(shù)列｛即｝中，若成一*—1=2（7122,71￡*邛為常切，則稱｛即｝為“等方差數(shù)

列”.下列是對“等方差數(shù)列”的判斷：

①數(shù)列｛（一1尸｝是等方差數(shù)列：

②若｛Qj是等方差數(shù)列，則｛忌｝是等差數(shù)列；

③若｛每｝是等方差數(shù)列，則｛。m｝（k￡N*,k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列；

④若｛5｝既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列.

其中正確的命題序號為.（將所有正確的命題序號填在橫線上）

【答案】①②③④

【解析】

①因?yàn)椋郏ㄒ?尸］2一［（一l）n-i］2=0,所以｛（一1）埠符合“等方差數(shù)歹『定義；

②根據(jù)定義，顯然｛嫌｝是等差數(shù)列；

③或n-flk（n-l）=或n-成n-1+或n-1-?fcn-2+…+硫nT+1-?k（n-l）=依符合定義；

④數(shù)列｛6｝滿足W-Wt=p,an-an_L=d（d為常數(shù)）.若d=0,顯然｛即｝為常數(shù)列；

若存0,則兩式相除得卅+0n-1=3所以%=等（常數(shù)），即5｝為常數(shù)列.

故答案為：①②③?

2.【2018年河北預(yù)賽】欲登上7階樓梯，某人可以每步跨上兩階樓梯，也可以每步跨上一階樓梯，則共有

種上樓梯的方法.

【答案】21

【解析】

本題采用分步計(jì)數(shù)原理.

第一類：。次一步跨上2階樓梯，即每步跨上一階樓梯，跨7次樓梯，只有1種上樓梯的方法；

第二類，I次一步跨上2階樓梯，5次每步跨上一階樓梯，跨6次樓梯，有底=6種方法；

第三類：2次一步跨上2階樓梯，3次每步跨上一階樓梯，跨5次樓梯，有琦=10種方法；

第四類：3次一步跨上2階樓梯，1次每步跨上一階樓梯，跨4次樓梯，有值=4種方法；共計(jì)21種上樓

梯的方法.

1

3.【2018年浙江預(yù)賽】設(shè)數(shù)列｛%｝滿足%=1,an+1=5a?+1（n=l,2,則Sni?.

【答案】哪-8077

16

【解析】

由冊+i=5%+1=an+1+^=5（an+；）=冊=彳一；，

所以0n=；⑶+52+…+52。18）_等=卷（52。18_1）_竿=詈_哭.

4.【2018年江西預(yù)賽】正整數(shù)數(shù)列｛%｝滿足M=3n+2,｛｝｝滿足%=5n+3,nWN.在河=

｛1,2,…,2018｝中兩數(shù)列的公共項(xiàng)的個(gè)數(shù)是.

【答案】135

【解析】

易知，2018是兩個(gè)數(shù)列在M內(nèi)最大的一個(gè)公共項(xiàng)，除去這個(gè)公共項(xiàng)外，用2018分別減去｛冊｝、｛%｝的其余

各項(xiàng)，前者得至兒麻｝，為｛3,6,9,…,2016｝,它們是M內(nèi)所有3的倍數(shù)；

后者得到｛屋｝，為｛5,10,15,…,2015｝,它們是M內(nèi)所有5的倍數(shù)；

顯然，｛的卜｛b｝的公共項(xiàng)，一一對應(yīng)于位一｛履｝的公共項(xiàng)，而這種公共項(xiàng)是M中所有15的倍數(shù)，為

［誓］=134.因此，所求公共項(xiàng)的個(gè)數(shù)是134+1=135個(gè).

故答案為：135

5.【2018年湖南預(yù)賽】如圖，將一個(gè)邊長為I的正三角形分成四個(gè)全等的正三角形，第一次挖去中間的一

個(gè)小三角形，將剩下的三個(gè)小正三角形，再分別從中間挖去一個(gè)小三角形，保留它們的邊，重復(fù)操作以上

做法，得到的集合為謝爾賓斯基縷墊.

設(shè)人?是第n次挖去的小三角形面積之和（如久是第1次挖去的中間小三角形面積，必是第2次挖去的三個(gè)

小三角形面積之和），則前n次挖去的所有小三角形面積之和的值為.

【答案】苧"（洎

【解析】

原正三角形的面積為￡而第k次一共挖去3J個(gè)小三角形，4=翌仔）1.因此，可以采用等比級數(shù)求和

416\4/

公式，得到答案為

■■nk-1n

故答案為：[1-(;)]

6.[2018年全國】設(shè)整數(shù)數(shù)列。1，。2，一?，。10滿足。10=3。1，。2+。8=2。5，且。計(jì)1

???，則這樣的數(shù)列的個(gè)數(shù)為.

[l+aif2+aj]fi=1,2,9,

【答案】80

【解析】設(shè)瓦=%+1一%G{l,2}(i=12…,9),則有

2%=Qi。-Q]=瓦+