暨南大學運籌學課程簡介目標本課程旨在幫助學生掌握運籌學的基本理論和方法，并能夠運用這些方法解決實際問題。內容課程內容涵蓋線性規劃、整數規劃、非線性規劃、運輸問題、指派問題、決策論、博弈論等。什么是運籌學？優化決策運籌學通過數學模型和算法來尋找最佳決策方案。資源分配運籌學幫助企業有效地分配有限的資源，以最大化效益。運籌學的歷史1古代起源運籌學起源于古代，人們早就開始運用數學方法來解決資源分配和決策問題。2近代發展在二戰期間，運籌學得到了快速發展，用于優化軍事行動和資源分配。3現代應用如今，運籌學廣泛應用于各個領域，例如生產管理、金融投資、物流運輸等。運籌學的分類1線性規劃處理線性約束條件下的優化問題。2非線性規劃處理非線性約束條件下的優化問題。3整數規劃變量取值為整數的優化問題。4動態規劃將復雜問題分解成一系列簡單的子問題，逐個解決。線性規劃線性規劃是運籌學的一個分支，它研究如何在有限資源的約束下，優化目標函數，從而找到最優的方案。線性規劃在現實生活中有著廣泛的應用，例如：生產計劃、運輸規劃、投資決策等等。線性規劃的基本概念線性規劃是運籌學中的一種重要方法，用于在一定約束條件下，對線性目標函數進行優化，以求得最優解。線性規劃中的目標函數和約束條件都是線性的，這意味著變量之間是線性關系。線性規劃的目標是找到使目標函數達到最大值或最小值的變量取值。線性規劃的幾何解法線性規劃的幾何解法是指通過圖形的方式來求解線性規劃問題。這種方法適用于變量數量較少(通常是兩個變量)的線性規劃問題。首先，需要將線性規劃問題的約束條件轉化為直線方程。然后，將這些直線方程畫在二維坐標系中，并找出可行域。可行域是指滿足所有約束條件的區域。最后，目標函數的等值線在可行域內移動，找到目標函數取最大值或最小值的點，即為線性規劃問題的最優解。線性規劃的圖形解法圖形解法是一種直觀、簡單的方法，適用于二維或三維空間中的線性規劃問題。通過繪制約束條件所形成的可行域，并找到目標函數在可行域上的最大值或最小值點，即可求解線性規劃問題。單純形法1最優解找到最優解，滿足約束條件并最大化目標函數2可行解滿足約束條件的解3基本可行解可行解，對應于線性規劃問題的頂點單純形法的步驟1建立初始單純形表將線性規劃問題轉化為標準形式，并建立初始單純形表，其中包含目標函數系數、約束條件系數和初始基變量值。2選擇入基變量在非基變量中，選擇目標函數系數最小的變量作為入基變量，即進入基變量。3選擇出基變量根據約束條件，選擇系數為正且比值最小的基變量作為出基變量，即離開基變量。4更新單純形表利用入基變量和出基變量，對單純形表進行更新，得到新的單純形表。5判斷最優解檢查目標函數系數是否全部為非負數，如果是，則當前解為最優解；否則，重復步驟2-4，直到找到最優解。單純形法案例分析資源分配公司需要分配有限的資源，如人力、設備和資金，以最大限度地提高利潤或生產效率。生產計劃決定生產多少種產品，以滿足客戶需求，并同時保持成本效益。投資組合優化投資組合管理，旨在最大限度地提高收益并最小化風險，在不同的投資選擇之間進行分配。對偶理論原始問題對偶理論的核心在于將原始線性規劃問題轉化為對偶問題，并利用對偶問題求解原始問題。對偶問題對偶問題與原始問題有著密切的聯系，其最優解可以用來推斷原始問題的最優解。對偶關系對偶理論揭示了原始問題和對偶問題之間的關系，以及最優解之間的聯系。對偶問題的解決對偶問題的轉化將原始問題轉化為對偶問題。單純形法求解利用單純形法求解對偶問題的最優解。對偶解的解釋解釋對偶解的含義，并將其與原始問題的解聯系起來。靈敏度分析目標函數系數的變化分析目標函數系數的變化對最優解的影響，例如，產品售價的變化對利潤的影響。約束條件的變化分析約束條件的變化對最優解的影響，例如，原材料供應量的變化對生產計劃的影響。參數的范圍確定參數變化的范圍，以確保分析結果的可靠性。運輸問題運輸問題是運籌學中一個重要的模型，用于解決貨物從多個供貨點到多個需求點的最佳運輸方案。運輸問題通常可以轉化為線性規劃問題，并使用單純形法等方法求解。指派問題指派問題是指將一組任務分配給一組人員，使得總成本最小化或總效率最大化的問題。指派問題通常用矩陣表示，其中行代表人員，列代表任務，矩陣元素表示人員完成該任務的成本或效率。指派問題可以用匈牙利算法等方法解決。決策論決策論是運籌學的一個分支，它研究在不確定條件下如何做出最佳決策。決策論的目標是幫助人們在面對各種選擇時，做出最優選擇。決策環境決策環境包括決策者面臨的各種因素，如目標、選擇、結果和不確定性。決策模型決策模型是對決策問題的簡化描述，它可以幫助決策者分析問題，做出合理的決策。決策樹決策樹是一種用于解決決策問題的圖形化工具。它將決策問題分解成一系列步驟，每個步驟都代表一個可能的決策或事件。每個節點代表一個決策點或事件，分支代表可能的決策或事件的結果。決策樹的構建過程通常涉及以下步驟：定義問題確定可能的決策評估每個決策的可能結果根據結果的概率和價值，選擇最佳決策效用理論主觀價值效用理論將決策者對結果的偏好量化為效用值，反映主觀價值而非客觀價值。風險偏好不同決策者對風險的接受程度不同，效用函數可以反映風險厭惡、風險中立或風險偏愛。決策分析通過效用函數，決策者可以比較不同方案的預期效用，選擇最優方案。馬爾可夫決策過程狀態轉移決策過程中的每個狀態都與下一個狀態相關聯，形成一個狀態轉移鏈。獎勵函數根據決策選擇，每個狀態轉移都會帶來相應的獎勵或懲罰。策略在每個狀態下選擇最佳行動的規則，以最大化長期獎勵。非線性規劃非線性規劃是指目標函數或約束條件中至少有一個是非線性的優化問題。目標函數目標函數可以是凸函數、凹函數或其他類型的非線性函數。約束條件約束條件可以是非線性不等式、等式或其他類型的非線性條件。非線性規劃的分類1無約束非線性規劃目標函數和約束條件均為非線性函數。2約束非線性規劃目標函數或約束條件中至少有一個非線性函數。3凸規劃目標函數和約束條件均為凸函數。4非凸規劃目標函數或約束條件中至少有一個非凸函數。求解非線性規劃的方法1梯度下降法從一個初始點開始，沿著目標函數梯度的反方向迭代下降，直到找到最優解。2牛頓法利用目標函數的海森矩陣和梯度信息，構建一個二次函數來近似目標函數，并求解該二次函數的最優解。3罰函數法將約束條件轉化為罰函數，并加入到目標函數中，通過求解無約束優化問題來求解非線性規劃問題。4內點法從可行域的內部點開始，沿著一個可行方向迭代，直到找到最優解。整數規劃整數規劃是運籌學中的一類重要問題，其決策變量必須取整數值。生產計劃生產多少件產品才能使利潤最大化，同時又要滿足原材料、人力、設備等資源的限制。投資組合如何將資金投資于不同的項目，以獲得最佳的收益率，同時又要考慮風險和投資的限制。人員分配如何將有限的人員分配到不同的任務，以最大限度地提高工作效率，同時又要滿足任務的限制。整數規劃的特點決策變量取值只能是整數處理離散決策問題求解難度較大整數規劃的求解方法1分支定界法逐步將可行解空間劃分為更小的子問題，并對每個子問題進行評估，直到找到最優解或證明不存在可行解。2割平面法在單純形法的基礎上，通過添加新的約束條件（割平面）來排除非整數解，逼近整數最優解。3隱枚舉法適用于0-1整數規劃，通過系統地枚舉所有可能的解，并通過剪枝技術來減少搜索空間。博弈論基本概念博弈論是研究多個個體在相互影響的條件下如何做出決策的理論應用廣泛應用于經濟學、政治學、軍事、社會學等領域博弈論的基本概念理性決策博弈論假設參與者都是理性的，他們會選擇對自己最有利的策略。策略選擇博弈論研究的是參與者在特定環境下如何選擇策略，以及這些策略會產生什么結果。利益