2024-2025學年上海市黃浦區高二上學期10月期中數學檢測試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分42分，第1-6題每題3分，第7-12題每題4分）1.“直線和平交于點”的符號表達為_____．【正確答案】【分析】根據點線面的位置關系用符合表達即可.【詳解】“直線和平交于點”的符號表達為．故．2.已知空間兩個角和，若，，則__________．【正確答案】或【分析】根據題意結合空間中等角定理分析求解即可.【詳解】因為，，當和開口方向相同時，；當和開口方向相反時，；綜上所述：或.故或.3.一個水平放置的邊長為2的正三角形的直觀圖面積為______.【正確答案】##【分析】作出直觀圖，根據面積公式可得答案.【詳解】如圖，建立坐標系，根據斜二測畫法作出直觀圖，根據斜二測畫法的特征可知，，所以直觀圖面積為.故4.將長為3，寬為2的矩形繞著較長邊所在的直線旋轉一周，所形成的幾何體的體積為________.【正確答案】【分析】判斷幾何體為圓柱，根據圓柱體積公式可得結果.【詳解】由題意知，形成的幾何體為圓柱，且底面圓的半徑，圓柱的高，所以底面圓面積，所以圓柱的體積，故答案為.5.已知球的表面積為,則該球的體積為______.【正確答案】【分析】設球半徑為，由球的表面積求出，然后可得球的體積．【詳解】設球半徑為，∵球表面積為，∴，∴，∴該球的體積為．故答案為．解答本題的關鍵是熟記球的表面積和體積公式，解題時由條件求得球的半徑后可得所求結果．6.已知圓錐的底面半徑是1，它的側面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的側面積為________.【正確答案】【分析】通過圓錐側面展開圖是半圓，求出底面母線，再用側面積公式計算即可.【詳解】圓錐側面展開圖是半圓，底面半徑為1，圓錐底面周長是，則母線長為.則圓錐側面積為.故答案為.7.如圖，在三棱臺的9條棱所在直線中，與直線是異面直線的共有___________條.【正確答案】3【分析】利用異面直線的判定定理判斷即可.【詳解】空間直線的位置關系有平行、相交、異面，即不平行也不相交則異面，由圖可知九條棱中，，，，，與相交，沒有直線與平行，所以與直線是異面直線的共有3條，分別為，，，故38.已知平面外兩點A，B到平面的距離分別是2和4，則的中點P到平面的距離是_________.【正確答案】3或1【分析】根據點到平面距離的意義，分A，B在同側和A，B在異側兩種情況求解即可.【詳解】設點A、B在平面的投影分別為點，，依題意，，，若A，B在同側，如圖1，設點P在平面的投影為點，則P到的距離為；若A，B在異側，如圖2，設點P在平面的投影為點O，過A作，交的延長線于點C，延長交于點，則P到的距離為，所以的中點P到平面的距離為3或1.故3或1.9.圓柱底面半徑為3，母線長為5，一只小蜘蛛從某條母線上的一端點出發，沿著圓柱表面爬行兩周到該母線的另一個端點，則蜘蛛所走的最短路程為________.【正確答案】【分析】把圓柱側面展開后得一矩形，矩形對角線長為所求最短距離．【詳解】沿這條母線展開圓柱側面是一矩形，矩形的長是圓柱的底面周長為，矩形的寬為圓柱的母線長5，矩形的對角線長為，即為所求最短距離．故10.三棱錐的4個面無限延展后把空間分成________個部分.【正確答案】15【分析】根據三棱錐的幾何特征分析即可求解.【詳解】三個側面平面兩兩相交，可以將空間分成8個部分，再增加一個底面，其中有1個封閉的空間，另外還有6個部分，所以三棱錐的4個面無限延展后把空間分成個部分.故15.11.如圖，在正方體中，AB＝1，中點為Q，過三點的截面面積為_____．【正確答案】##1.125【分析】先作出經過三點的截面，如圖所示為梯形，然后求出截面的面積即可【詳解】解：如圖所示，取的中點P，連接、AQ和，∵分別是，的中點，∴，且，∵，∴，所以四邊形是過三點的截面，且四邊形是梯形，∵AB＝1，∴，，，且等腰梯形的高為，∴截面面積為，故12.在一個棱長為6cm的密封正方體盒子中，放一個半徑為1cm的小球．無論怎樣搖動盒子，小球在盒子中不能達到的空間體積是_________cm3.【正確答案】【分析】小球不能到達的位置為正方體的8個頂點附近和12條棱附近的部分組成.【詳解】頂點部分不能到達部分為棱長為1的正方體減去半徑為1的球體的，如下圖，所以8個頂點部分體積為，棱部分不能到達部分為底面是邊長為1，高為4的長方體減去底面半徑為1，高為4的圓柱體的，如下圖，12條棱部分不能到達的體積是，所以不能到達的體積為.故二、選擇題（本大題共有4題，每題4分，滿分16分）13.設、是平面外的兩條直線，且，那么是的（）條件A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.既非充分又非必要【正確答案】A【分析】根據線面平行的判定及充分條件、必要條件判斷.【詳解】證明充分性：若，結合，且b在平面M外，可得，是充分條件；證明必要性：若，結合，且a，b是平面M外，則a，b可以平行，也可以相交或者異面，所以不是必要條件．故是的“充分非必要”故選：A．14.已知，表示兩條不同的直線，，表示兩個不同的平面，下列說法錯誤的是A.若，，，則a∥b B.若，，，則C.若，，，則 D.若，a∥b，則或【正確答案】C【詳解】若，，則;若，則，，；若，，則而，則或；若，，則由線面平行判定定理得或；因此選C.15.如圖所示，一個燈籠由一根提竿PQ和一個圓柱組成，提竿平行于圓柱的底面，在圓柱上下底面圓周上分別有兩點A、B，AB與圓柱的底面不垂直，則在圓柱繞著其旋轉軸旋轉一周的過程中，直線PQ與直線AB垂直的次數為（）A.2 B.4 C.6 D.8【正確答案】A【分析】作出與垂直的平面后判斷幾何關系【詳解】作出平面，使得平面，當時，平面或平面，結合旋轉分析可知有兩次使得．故選：A16.如圖所示，正三棱柱的所有棱長均為1，點P、M、N分別為棱、AB、的中點，點Q為線段MN上的動點．當點Q由點N出發向點M運動的過程中，以下結論中正確的是（）A.直線與直線CP可能相交 B.直線與直線CP始終異面C.直線與直線CP可能垂直 D.直線與直線BP不可能垂直【正確答案】B【分析】證明平面，從而可證四點不共面，即可判斷AB；設，將分別用表示，假設直線與直線CP垂直，則，求出即可判斷C；證明平面，即可判斷D.【詳解】在正三棱柱中，因為點M、N分別為棱AB、的中點，所以，又平面，平面，所以平面，因為平面，，，所以四點不共面，所以直線與直線CP始終異面，故A錯誤，B正確；對于C，設，則，，若直線與直線CP垂直，則，即，所以，即，解得，因為，所以不存在點使得直線與直線CP垂直，故C錯誤；對于D，連接，因為為的中點，所以，又因平面，平面，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以，所以當點在的位置時，直線與直線BP垂直，故D錯誤.故選：B.三、解答題（本大題共有5題，滿分42分）17.用文字語言表述“線面平行的判定定理”，寫出已知、求證并證明.【正確答案】答案見解析【分析】先根據線面平行的判定定理寫出已知、求證，利用反證法證明即可.【詳解】平面外一條直線與此平面內一條直線平行，則該直線與此平面平行；已知，求證；證明如下：假設，由于，則，則在平面內過點作一條直線，使得，由于，則，這與矛盾，故假設不成立，故18.已知三棱錐滿足.（1）證明：直線與直線是異面直線；（2）求異面直線與所成角大小.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據異面直線的定義，結合點平面，點平面，即可判斷；（2）根據平行關系可證明異面直線與所成角為（或其補角），結合余弦定理可得.【小問1詳解】因為直線平面，點平面，點，點平面,所以直線與直線是異面直線.【小問2詳解】如圖：取的中點，的中點，的中點，連接，，，所以，，所以異面直線與所成角為（或其補角），因為，所以，，在中，，，，所以有，由余弦定理得，所以異面直線與所成角大小為.19.如圖，已知點P在圓柱的底面圓O的圓周上，AB為圓O的直徑，圓柱的表面積為，，．（1）求直線與平面所成角的大小；（2）求點到平面的距離．【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）根據圓柱的特征可得直線與平面的夾角，即為，然后利用圓柱的表面積為求出，求出，進而求解；（2）利用等體積轉化法即可求解.【小問1詳解】由題意知，直線與平面的夾角，即為，易知，，又，故，進而有，，由圓柱的表面積為，可得，故，故直線與平面的夾角為．【小問2詳解】設點A到平面的距離為h，則，，，因為平面ABP，，所以BP⊥平面，即，在中，，故，所以，即點A到平面的距離為．20.如圖，幾何體中，為邊長為2的正方形，為直角梯形，，，，，.（1）求證：平面；（2）求幾何體的體積.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）利用線面垂直知識可求解.（2）利用割補轉化法可得，從而求出體積.【小問1詳解】由題意得：，，，CD、都在平面內，所以：平面，因為：平面，所以：，又因為四邊形為正方形，所以：，因為：，且、AD都在平面內，所以：平面，因：平面，所以：，又因為四邊形為直角梯形，，，，，所以：，，則：，所以：,又因為：，且、都在平面內，所以：平面.【小問2詳解】連接，過作CD的垂線，垂足為，由（1）可得：平面，且，所以：，所以：幾何體的體積為.21.如圖，在四面體ABCD中，平面，點M為AD上一點，且，連接BM，CM.（1）；（2）求二面角的大小.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）由平面，得，而，則由線面垂直的判定定理可證得平面，再利用線面垂直的性質可證