高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省錢塘聯盟2024-2025學年高一上學期11月期中聯考數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故，，即C正確.故選：C.2.設，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.3.命題“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】“，”的否定是“，”.故選：D.4.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】對于選項A：例如，則，故A錯誤；對于選項B：因為，則，且，所以，故B正確；對于選項C：例如，滿足題意，但，故C錯誤；對于選項D：若，則，所以，故D錯誤.故選：B.5.已知是定義在上的增函數，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為是定義在上的增函數，且，則，解得，所以的取值范圍是.故選：A.6.在同一坐標系內，函數和的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，由函數的圖象可知，由的圖象可知，互相矛盾，錯誤；對于B，由函數的圖象可知，由的圖象可知，互相矛盾，錯誤；對于C，由函數的圖象可知，由的圖象可知且，符合題意，正確；對于D，由函數的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，錯誤.故選：C.7.正數，滿足，則的最小值為（）．A.4 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】因為為正數，且，所以有，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.8.已知函數，記，則下列關于函數的說法不正確的是（）A.當時，B.函數的最小值為C.函數在上單調遞減D.若關于x的方程恰有兩個不相等的實數根，則或【答案】C【解析】由，或，由，或，所以，因此選項A正確；當時，，當時，，當時，當時，，所以函數的最小值為，選項B正確；當時，顯然單調遞增，選項C不正確；函數圖象如下圖所示：因為關于x的方程恰有兩個不相等的實數根，所以函數的圖象與直線有兩個不同的交點，因此有或，因此選項D正確.故選：C二、多項選擇題：每小題6分，共計18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.下列函數中，是偶函數且值域為的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于選項A：因為，即值域不為，故A錯誤；對于選項B：因為的定義域為R，且，可知為偶函數，又因為，當且僅當時，等號成立，可知的值域為，故B正確；對于選項C：因為的定義域為，且，可知為偶函數，又因為，當且僅當時，等號成立，可知的值域為，故C正確；對于選項D：當時，，即值域不為，故D錯誤.故選：BC.10.受亞洲飛人蘇炳添勇奪東京奧運百米決賽第四并破亞洲記錄的影響，甲、乙、丙三名短跑運動員同時參加了一次百米賽跑，所用時間分別為，，.甲有一半的時間以速度米/秒奔跑，另一半的時間以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.則下列結論中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由題意知：，所以，，，由基本不等式可得，所以，所以故，當且僅且時等號全部成立，故A選項正確，B選項錯誤；又由，故易知，即C項正確；，，取，此時，所以D選項不一定成立.故選：AC．11.設函數，則下列結論正確的有（）A.的值域是；B任意且，都有；C.任意且，都有；D.規定，其中，則.【答案】ABD【解析】對于A：當時，單調遞增，所以有，因為，所以，因此當時，；因為是奇函數，所以當時，，所以的值域是，故A正確；對于B：函數是增函數，由A可知：奇函數在時，單調遞增，∴在時也單調遞增，所以該函數是實數集上的增函數，故B正確；對于C：當任意且時，令，則有，，顯然，因此不成立，故C不正確；對于D：當時，，，于是有，因此，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.計算：____________.【答案】【解析】由題意可得：.13.已知是定義域為的偶函數，在上為單調增函數，且，則不等式的解集為______．【答案】【解析】由題意可得在上為單調減函數，且，則時，時，時或；由可得或，則或，故不等式的解集為．14.已知，集合，集合，若中恰有兩個整數，則實數的取值范圍是____________.【答案】【解析】因為的圖象開口向上，對稱軸為，且，當中有負整數時，若負整數小于等于-2，根據對稱性可知：也符合題意，此時整數集不止2個，所以恰有2個整數只能為，則，解得；當中沒有負整數時，則恰有2個整數，則，解得；綜上所述：實數的取值范圍是.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合為全體實數集，集合或，．（1）若，求和；（2）若，求的取值范圍．解：（1）當時，，所以或，又或x>5，所以.（2）由題可得，當時，則，即時，此時滿足，②當時，則，所以，綜上，實數的取值范圍為.16.已知函數．（1）當時，函數在上單調，求b的取值范圍；（2）若的解集為，求關于x的不等式的解集．解：（1）當時，的對稱軸為，由于函數在上單調，所以或，解得或，所以的取值范圍是.（2）由于的解集為，所以，即，所以，所以不等式，即，所以，，解得或，所以不等式的解集為.17.一直重視生態環境保護，十八大以來多次對生態文明建設作出重要指示，在不同場合反復強調“綠水青山就是金山銀山”，隨著中國經濟的快速發展，環保問題已經成為一個不容忽視的問題.某污水處理廠在國家環保部門的支持下，引進新設備，新上了一個從生活垃圾中提煉化工原料的項目.經測算，該項目月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數關系可以近似地表示為，且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的化工原料的價值為400元.（1）當時，判斷該項目能否獲利，如果獲利，求出最大利潤.（2）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？解：（1）當時，該項目獲利為S，則，當時，則，可得，因此該項目會獲利，當時，S取得最大值.（2）由題意可知，生活垃圾每噸平均處理成本為：，當時，，所以當時，取得最小值240；當時，，當且僅當，即時，取得最小值200，因為，所以當每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低．18.已知是定義在上的函數，若滿足且.（1）求的解析式；（2）判斷單調性，并利用定義證明你的結論；（3）設函數，若對都有成立，求的取值范圍.解：（1）因為，可知為奇函數，則，即，且，即，則，且，可知為奇函數，即，符合題意，所以.（2）函數在上為單調遞增，證明如下：對任意，且，則，因為，則，，可得，即，所以函數在上為單調遞增.（3）對都有成立，可知，由（2）可知在單調遞增，則，可得在1,2上有解，只需在1,2上有解，因為在內單調遞減，在上單調遞增，且，可知在1,2上的最小值為，可得，解得，即實數的取值范圍為.19.對于數集M，定義M的特征函數：，對于兩個數集，定義.（1）已知集合，（i）求的值，并用列舉法表示；（ii）若用表示有限集合M所包含的元素個數，已知集合X是正整數集的子集，求的最小值（無需證明）；（2）證明：.解：（1）對于兩個數集，若，則，即，；若，則，即，；若，則，即，；若，則，即，；綜上所述：當元素與數集的關系相同時，，不同時.①因為集合，且，所以，又因為，所以；②對任意，若元素與數集的關系相同時，且；若元素與數集的關系不相同時，或；若取到最小值，則，當為的子集與的并集時，此時取到最小值4.（2）由（1）可知：對于兩個數集，綜上所述：當元素與數集關系相同時，則，可得；當元素與數集的關系不同時，則，可得；綜上所述：.浙江省錢塘聯盟2024-2025學年高一上學期11月期中聯考數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故，，即C正確.故選：C.2.設，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，可得，即；由，可得或，即；∴是的真子集，故“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.3.命題“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】“，”的否定是“，”.故選：D.4.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】對于選項A：例如，則，故A錯誤；對于選項B：因為，則，且，所以，故B正確；對于選項C：例如，滿足題意，但，故C錯誤；對于選項D：若，則，所以，故D錯誤.故選：B.5.已知是定義在上的增函數，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為是定義在上的增函數，且，則，解得，所以的取值范圍是.故選：A.6.在同一坐標系內，函數和的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，由函數的圖象可知，由的圖象可知，互相矛盾，錯誤；對于B，由函數的圖象可知，由的圖象可知，互相矛盾，錯誤；對于C，由函數的圖象可知，由的圖象可知且，符合題意，正確；對于D，由函數的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，錯誤.故選：C.7.正數，滿足，則的最小值為（）．A.4 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】因為為正數，且，所以有，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.8.已知函數，記，則下列關于函數的說法不正確的是（）A.當時，B.函數的最小值為C.函數在上單調遞減D.若關于x的方程恰有兩個不相等的實數根，則或【答案】C【解析】由，或，由，或，所以，因此選項A正確；當時，，當時，，當時，當時，，所以函數的最小值為，選項B正確；當時，顯然單調遞增，選項C不正確；函數圖象如下圖所示：因為關于x的方程恰有兩個不相等的實數根，所以函數的圖象與直線有兩個不同的交點，因此有或，因此選項D正確.故選：C二、多項選擇題：每小題6分，共計18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.9.下列函數中，是偶函數且值域為的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于選項A：因為，即值域不為，故A錯誤；對于選項B：因為的定義域為R，且，可知為偶函數，又因為，當且僅當時，等號成立，可知的值域為，故B正確；對于選項C：因為的定義域為，且，可知為偶函數，又因為，當且僅當時，等號成立，可知的值域為，故C正確；對于選項D：當時，，即值域不為，故D錯誤.故選：BC.10.受亞洲飛人蘇炳添勇奪東京奧運百米決賽第四并破亞洲記錄的影響，甲、乙、丙三名短跑運動員同時參加了一次百米賽跑，所用時間分別為，，.甲有一半的時間以速度米/秒奔跑，另一半的時間以速度米/秒奔跑；乙全程以速度米/秒奔跑；丙有一半的路程以速度米/秒奔跑，另一半的路程以速度米/秒奔跑.其中，.則下列結論中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由題意知：，所以，，，由基本不等式可得，所以，所以故，當且僅且時等號全部成立，故A選項正確，B選項錯誤；又由，故易知，即C項正確；，，取，此時，所以D選項不一定成立.故選：AC．11.設函數，則下列結論正確的有（）A.的值域是；B任意且，都有；C.任意且，都有；D.規定，其中，則.【答案】ABD【解析】對于A：當時，單調遞增，所以有，因為，所以，因此當時，；因為是奇函數，所以當時，，所以的值域是，故A正確；對于B：函數是增函數，由A可知：奇函數在時，單調遞增，∴在時也單調遞增，所以該函數是實數集上的增函數，故B正確；對于C：當任意且時，令，則有，，顯然，因此不成立，故C不正確；對于D：當時，，，于是有，因此，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.計算：____________.【答案】【解析】由題意可得：.13.已知是定義域為的偶函數，在上為單調增函數，且，則不等式的解集為______．【答案】【解析】由題意可得在上為單調減函數，且，則時，時，時或；由可得或，則或，故不等式的解集為．14.已知，集合，集合，若中恰有兩個整數，則實數的取值范圍是____________.【答案】【解析】因為的圖象開口向上，對稱軸為，且，當中有負整數時，若負整數小于等于-2，根據對稱性可知：也符合題意，此時整數集不止2個，所以恰有2個整數只能為，則，解得；當中沒有負整數時，則恰有2個整數，則，解得；綜上所述：實數的取值范圍是.四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合為全體實數集，集合或，．（1）若，求和；（2）若，求的取值范圍．解：（1）當時，，所以或，又或x>5，所以.（2）由題可得，當時，則，即時，此時滿足，②當時，則，所以，綜上，實數的取值范圍為.16.已知函數．（1）當時，函數在上單調，求b的取值范圍；（2）若的解集為，求關于x的不等式的解集．解：（1）當時，的對稱軸為，由于函數在上單調，所以或，解得或，所以的取值范圍是.（2）由于的解集為，所以，即，所以，所以不等式，即，所以，，解得或，所以不等式的解集為.17.一直重視生態環境保護，十八大以來多次對生態文明建設作出重要指示，在不同場合反復強調“綠水青山就是金山銀山”，隨著中國經濟的快速發展，環保問題已經成為一個不容忽視的問題.某污水處理廠在國家環保部門的支持下，引進新設備，新上了一個從生活垃圾中提煉化工原料的項目.經測算，該項目月處理成本（元）與月處理量（噸）之間的函數關系可以近似地表示為，且每處理一噸生活垃圾，可得到能利用的化工原料的價值為400元.（1）當時，判斷該項目能否獲利，如果獲利，求出最大利潤.（2）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？解：（1）當時，該項目獲利為S，則，當時，則，可得，因此該項目會獲利，當