第1頁/共5頁2024年高二上學期數學月考試卷.2.已知數列是首項為5，公差為2的等差數列，則a11=()A.B.C.D.3.雙曲線的焦點到其一條漸近線的距離為() nA.4B.5C.6D.75.如圖所示，點F1,F2是雙曲線的左、右焦點，雙曲線C的右支上存在一點B,BF1與雙曲線C的左支的交點A平分線段BF1，則雙曲線C的漸近線斜率為()6.設橢圓的左、右頂點為A1，A2，B2.關于該橢圓，有下列四個命題：FF2的周長為8；丙：離心率為；丁：四邊形A1B1F2B2的面積為3·.如果只有一個假命題，則該命題是()第2頁/共5頁則λ1a+λ2b+λ3c最大值為( A.3B.23C.21D.58.已知A,B是拋物線C:y2=4x上異于原點的兩點，且以AB為直徑的圓過原點，過點M(0,4)向直線AB作垂線，垂足為H，則OH的最大值為()A.4B.4-2C.4·3D.8A.C的焦點在y軸上B.C的短半軸長為2C.C的右焦點坐標為(,0)D.C的離心率為10.如圖所示，已知O(0,0)，A(2,0)，B1(1,1)，作以B1為直角的中點C1，繼續作以C1為直角頂點的等腰直角△B1B2C1,……，如此繼續作中點，作等腰直角三角形.這樣會得到一組分別以B1,C1,B2,C2,……為直角頂點的等腰直角三角形.下列說法正確的是()A.所作的等腰直角三角形的邊長構成公比為的等比數列B.第4個等腰直角三角形的不在第3個等腰直角三角形邊上的頂點坐標為C.點C4的縱坐標為第3頁/共5頁D.若記第n個等腰直角三角形的面積為Sn，則11.已知拋物線C：y2=2px(p>0)過點P(4,4)，焦點為F，準線為l，過點F的直線l,交C于A，B兩點，AO，BO分別交l于M，N兩點，則()A.p=1B.AB最小值為4C.準線l的方程為x=1下列說法正確的是()A.當x=1時，則y=1B.當x=y=時，點M,N分別是線段CD,BC的中點14.從1，2，...，11中任取三個不同的數，則這三個數可以構成等差數列的概率為.215.從雙曲線的左焦點F引圓x2+y2=1的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于P點，若M為線段FP的中點，O為坐標原點，則MOMT的值是.2=12，則直線AP與SC所成角的余弦值的取值范圍為.第4頁/共5頁2∥l2，（1）求a的值；直線l過點P與l1,l2交于A、B，求直線l的方程.18.已知雙曲線的標準方程為其中點F為右焦點，過點F作垂直于x軸的垂線，在第一象限與雙曲線相交于點A，過點F作雙曲線漸近線的垂線，垂足為M，若AF=6，MF=2.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點M作AF的平行線l，在直線l上任取一點P，連接PA與雙曲線相交于點B，求證點P到直線BF的距離是定值.19.如圖，在四棱錐PABCD中，PC丄平面ABCD,△ABC是邊長為2·的等邊三角形，AD=2，（1）證明：平面PCD丄平面PBC；（2）若平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為21，求PC的長.2220.已知拋物線Γ:y2=4x的焦點為F，準線為l，雙曲線的左焦點為T.第5頁/共5頁（1）求l的方程和雙曲線Γ2的漸近線方程；（2）設Q為拋物線Γ1和雙曲線Γ2的一個公共點，求證：直線QT與拋物線Γ1相切；（3）設P為l上的動點，且直線PT與雙曲線Γ2的左、右兩支分別交于A,B兩點，直線PF與拋物線Γ1交于不同的兩點C,D，判斷是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.21.已知橢圓的一個頂點為A(2,0)，離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.（1）求橢圓C的方程；（2）當k=1時，求△AMN的面積.22.已知動點P與定點A(m,0)的距離和P到定直線的距離的比為常數．其中m>0,n>0，且m≠n，記點P的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明軌跡的形狀；（2）設點B(-m,0)，若曲線C上兩動點M,N均在x軸上方，AMⅡBN，且AN與BM相交于點Q.①當m=22,n=4時，求證：的值及△ABQ的周長均為定值；②當m>n時，記△ABQ的面積為S，其內切圓半徑為r，試探究是否存在常數λ,使得S=λr恒成立？若存在，求λ（用m,n表示若不存在，請說明理由.第1頁/共26頁2024年高二上學期數學月考試卷【答案】C【解析】【分析】利用指數函數的性質，求出集合A，利用一元二次不等式的解法，求出集合B，再利用集合的運算，即可求解.故選：C.2.已知數列是首項為5，公差為2的等差數列，則a11=()【答案】A【解析】【分析】根據等差數列的定義，寫出通項公式，結合題意，可得答案.故選：A.23.雙曲線的焦點到其一條漸近線的距離為() 【答案】B【解析】【分析】求出焦點坐標及漸近線的方程，由點到直線的距離公式求出距離.第2頁/共26頁解：由x2-得故選：B.nA.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，利用等比數列定義求出an，利用構造法求出bn，再列式求解即得.【詳解】在數列{an}中，由a1=2,an+1=2bn-2n，即因此數列是以為首項，為公差的等差數列.故選：B5.如圖所示，點F1,F2是雙曲線的左、右焦點，雙曲線C的右支上存在一點B,BF1與雙曲線C的左支的交點A平分線段BF1，則雙曲線C的漸近線斜率為()【答案】B第3頁/共26頁【解析】·【分析】設AB=AF1=x，則BF1=2x，由雙曲線的定義得BF2=2x-2a，AF2=x+2a，進而求得雙曲線C的漸近線.2+BF22，即(x+2a)2=x2+(2x-2a)2，解得x=3a，所以在直角△BF1F2中，由勾股定理得F1F22=BF12+BF22，即(2c)2=(6a)2+(4a)2，整理得c2=13a2，則b2=故選：B.6.設橢圓的左、右頂點為A1，A2，左、右焦點為F1，F2，上、下頂點為B1，B2.關于該橢圓，有下列四個命題：FF2的周長為8；丙：離心率為；丁：四邊形A1B1F2B2的面積為3·.如果只有一個假命題，則該命題是()【答案】B【解析】【分析】利用橢圓方程，分析甲乙丙丁都為真時得到關于a,b,c的等式，再分析得甲乙不同時為真，進而分類討論甲、丙和丁為真與乙、丙和丁為真兩種情況即可得解.【詳解】依題意，作出橢圓C的圖象，如圖，第4頁/共26頁若丙為真命題，則離心率為若丁為真命題，則四邊形A1B1F2B2的面積為(a+c)b=3；所以甲乙不可能同時為真，且必有一真一假，故丙和丁都為真；若甲、丙和丁為真，則解得若乙、丙和丁為真，則解得，此時a2≠b2+c2，即乙、丙和丁不同時為真，假設不成立；綜上，乙命題為假命題.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于，分析甲乙丙丁都為真時得到關于a,b,c的等式，進而分析得解.第5頁/共26頁則λ1a+λ2b+λ3c A.B.23C.D.5【答案】C【解析】【分析】根據數量積的定義求出.，.，.，再根據數量積的運算律表示出λ1+λ2+λ3，最后對λ1、λ2、λ3分8種情況討論，分別計算可得.【詳解】因為不共線的平面向量、、兩兩的夾角相等，所以它們的夾角都為120o,+(λ+9λ32-2λ1λ2-3λ1λ3-6λ2λ3第6頁/共26頁λ1+λ2+λlλ3=-1lλ3=1故選：C.8.已知A,B是拋物線C:y2=4x上異于原點的兩點，且以AB為直徑的圓過原點，過點M(0,4)向直線AB作垂線，垂足為H，則OH的最大值為()A.4B.4-2C.43D.8【答案】B【解析】【分析】根據以AB為直徑的圓過原點可求得直線AB恒過定點P(4,0)，由O,P,H,M四點共圓可知OH的最大值為該圓直徑PM，進而求得結果.以iABi為直徑的圓過原點+y1y2=0，解得：y1y2=-16，第7頁/共26頁易知直線AB的斜率不為0，不妨設直線AB的方程為：x=ty+m，·由化簡整理得：y2-4ty-4m=0，:y1y2=-4m=-16，解得：m=4，:直線AB恒過定點P(4,0)，，:O,P,H,M四點共圓， :OH的最大值為該圓的直徑，即4·2.故選：B. A.C的焦點在y軸上B.C的短半軸長為2C.C的右焦點坐標為(,0)D.C的離心率為【答案】BCD【解析】【分析】曲線經過變形后可得橢圓標準方程，計算a,b,c的值即可確定選項.【詳解】設橢圓C的長半軸長為a，短半軸長為b，半焦距為c.由題意可得橢圓C的標準方程為所以橢圓C的焦點在x軸上，故選項A錯誤.-b2故其短半軸長為2，右焦點坐標為故選項B，C正確.第8頁/共26頁橢圓C的離心率故選項D正確.故選：BCD.10.如圖所示，已知O(0,0)，A(2,0)，B1(1,1)，作以B1為直角的中點C1，繼續作以C1為直角頂點的等腰直角△B1B2C1,……，如此繼續作中點，作等腰直角三角形.這樣會得到一組分別以B1,C1,B2,C2,……為直角頂點的等腰直角三角形.下列說法正確的是()A.所作的等腰直角三角形的邊長構成公比為的等比數列B.第4個等腰直角三角形的不在第3個等腰直角三角形邊上的頂點坐標為C.點C4的縱坐標為D.若記第n個等腰直角三角形的面積為Sn，則【答案】ABD【解析】【分析】由題意分析逐項判斷即可.【詳解】由圖易知，所作的等腰直角三角形的邊長構成公比為的等比數列，故選項A正確；選項C，點C1的縱坐標為點C2的縱坐標為，點C3的縱坐標為，點C4的縱坐標為，點C5的縱坐標為故選項C錯誤；第9頁/共26頁選項D正確.故選：ABD.11.已知拋物線C：y2=2px(p>0)過點P(4,4)，焦點為F，準線為l，過點F的直線l,交C于A，B兩點，AO，BO分別交l于M，N兩點，則()A.p=1B.AB最小值為4C.準線l的方程為x=-1【答案】BCD【解析】【分析】對于A，將點P(4,4)代入拋物線方程中可求出p的值；對于B，當AB為通徑時，其取最小值；由題意可求出從而可得以MN為直徑的圓的方程整理后可得其過定點【詳解】把點P(4,4)代入曲線C可得42=2p×4，∴p=2，故A錯誤；拋物線的方程為y2=4x，把x=1代入可得y2=4，∴y=±2，可知AB最小值為4，故B正確；準線l的方程為x=-1，故C正確；可得ky2-4y-4k=0，y1+y2=，y1y2=-4，直線AO的方程為同理直線BO的方程為x，令x=-1，可得，則以MN為直徑的圓的方程為=0，整理可得2+y2-y-4=0，令y=0，可得x=1或第10頁/共26頁-3,0)．當直線AB的斜率不存在時，將直線AB的方程x=1代入拋物線方程可得A(1,2)，B(1,-2)，可得N(-1,2)，M(-1,-2)，以點MN為直徑的圓方程(x+1)2+y2=4，顯故選：BCD.下列說法正確的是()A.當x=1時，則y=1B.當x=y=時，點M,N分別是線段CD,BC的中點【答案】BCD【解析】【分析】建立平面直角坐標系，設出M,N的坐標，利用向量的坐標運算逐一判斷各個選項作答.【詳解】以點A為坐標原點，AB,AD分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，如圖，對于B，當x=y=時，得a=b=1，此時點M,N分別是線段CD,BC的中點，B正確；第11頁/共26頁C正確；于是當且僅當x=y時取等號，整理得7(x+y)2-16(x+y)+8≥0，令AC交MN于E，顯然E與C不重合，-=λ-=λx-MD正確.故選：BCD【答案】【解析】【分析】根據給定條件，探討數列{an}的周期，進而求出所求值.因此數列{an}是以2為周期的周期數列，a2n-1=4,a2n=故答案為：第12頁/共26頁14.從1，2，...，11中任取三個不同的數，則這三個數可以構成等差數列的概率為.【答案】【解析】 33【分析】根據組合數求所有的可能性，再求符合條件的可能，結合古典概型運算求解.【詳解】從1，2，...，11中任取三個不同的數，則不同的組合有共有C1=165種，能構成等差數列不同的組合的有9+7+5+3+1=25種，所以這三個數可以構成等差數列的概率為故答案為：.15.從雙曲線的左焦點F引圓x2+y2=1的切線，切點為T，延長FT交雙曲線右支于P點，若M為線段FP的中點，O為坐標原點，則MO-MT的值是.【解析】【分析】設出雙曲線右焦點F1，連接PF1,OT,OM，利用雙曲線的定義和中位線進行解題.【詳解】不妨將點P置于第一象限.設F1是雙曲線的右焦點，連接PF1,OT,OM.M,O分別為FP,FF1的中點，故-OT|2故MO-MT=PF1-MF+FT=PF1-PF)+FT=b-a=·i3-1.第13頁/共26頁 故答案為：3-12222=12，則直線AP與SC所成角的余弦值的取值范圍為.【答案】|,|【解析】【分析】應用空間向量法，先求點的坐標，再分別表示PA,PB，2222=12，得出兩條直線所成角的余弦值，再根據值域可得余弦范圍.【詳解】設正方形ABCD的中心為O，過點O作AB,BC的垂線，以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，(-1-x,-1-y,0),P--B=(1-x,-1-y,0)，2222222222222222222， 第14頁/共26頁故答案為.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是換元應用二次函數值域，進而得出余弦值的范圍.2（1）求a的值；直線l過點P與l1,l2交于A、B，求直線l的方程.【解析】【分析】（1）根據直線與直線平行的充要條件，列出方程求解即可；（2）根據兩平行線間距離可判斷垂直，利用斜率關系即可求解直線l的斜率，進而可求解方程.【小問1詳解】2:-x-2y+2=0，符合題意，【小問2詳解】所以兩直線之間的距離為而AB=，第15頁/共26頁所以直線l與l1,l2均垂直，故直線l方程為y=2x+118.已知雙曲線的標準方程為其中點F為右焦點，過點F作垂直于x軸的垂線，在第一象限與雙曲線相交于點A，過點F作雙曲線漸近線的垂線，垂足為M，若AF=6，MF=2·3.（1）求雙曲線的標準方程；（2）過點M作AF的平行線l，在直線l上任取一點P，連接PA與雙曲線相交于點B，求證點P到直線BF的距離是定值.（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據焦點F(c,0)到漸近線的距離為2，列出方程求得b，再即可求得雙曲線的方程；（2）設點B(x0,y0)，得到直線BF的方程y0x-(x0-4)y-4y0=0，設直線l的方程為x=m，點M得結合點到直線的距離公式，即可求解.【小問1詳解】解：由雙曲線可得焦點F(c,0)，其中一條漸近線方程為y=x，第16頁/共26頁故雙曲線的標準方程為【小問2詳解】設點B(x0,y0)，則直線BF的方程為，即y0x-y-4y0=0，由題意，設直線l的方程為x=m，由點M在直線l上，可設點M(m,m)，設，由點P,B,A共線，可得kAP=kAB，即，得t=-則點P到直線BF的距離為即點P到直線BF的距離為定值.19.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC丄平面ABCD,△ABC是邊長為2·的等邊三角形，AD=2，第17頁/共26頁（1）證明：平面PCD丄平面PBC；（2）若平面PAD與平面PBC夾角的余弦值為21，求PC的長.【答案】（1）證明見解析【解析】DC【分析】（1）根據條件，利用余弦定理得到DC=2，從而得到DC丄CB，利用線面垂直的性質得到PC丄CB，進而得到BC丄面PCD，再利用面面垂直的判定定理，即可證明結果；PC（2）建立空間直角坐標系，設PC=a，求出平面PAD與平面PBC的法向量，利用面面角的向量法，得【小問1詳解】由余弦定理AC2=DA2+DC2-2DA.DCcos上ADC，得到DC2+2DC-8=0，又PC丄平面ABCD，CB面ABCD，所以PC丄CB，又PC∩DC=C，PC,DC面PCD，所以BC丄面PCD，又BC面PBC，【小問2詳解】以CD,CB,CP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，第18頁/共26頁設平面PAD的一個法向量為=(x,y,z)，易知平面PBC的一個法向量為=(1,0,0)，設平面PAD與平面PBC的夾角為θ,所以PC=2.【點睛】2220.已知拋物線Γ:y2=4x的焦點為F，準線為l，雙曲線的左焦點為T.（1）求l的方程和雙曲線Γ2的漸近線方程；第19頁/共26頁（2）設Q為拋物線Γ1和雙曲線Γ2的一個公共點，求證：直線QT與拋物線Γ1相切；（3）設P為l上的動點，且直線PT與雙曲線Γ2的左、右兩支分別交于A,B兩點，直線PF與拋物線Γ1交于不同的兩點C,D，判斷是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.（2）證明見解析【解析】336【分析】（1）根據拋物線的準線方程及雙曲線的漸近線方程即可求解；利用韋達定理表示CDi和i【小問1詳解】【小問2詳解】聯立方程組， 消去y得x2-2x-3=0，解得x=3（舍負由對稱性，不妨取Q(3,23)， 又由T(-3,0)，求得直線QT的方程為x-·3y+3=0， 2為Δ= 2為Δ=43-48=0，所以直線QT與拋物線Γ1相切.【小問3詳解】因為T(-3,0),F(1,0)，得準線l為線段TF的中垂線，則直線PT與直線PF的傾斜角互補，即kPT=-kPF，第20頁/共26頁聯立方程組，消去y得k2x2-x+k2=0，聯立方程組，消去y得x2-2k2x-k2-6=0，33 1ABCD 1ABCD【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線的位置關系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯立方程組并消元得到關于x或y的一元二次方程，再把要求解的目標代數式化為關于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關系式，該關系中含有x1x2，y1y2或x1+x2，y1+y2最后利用韋達定理把關系式轉化為若干變量的方程（或函數從而可求定點、定值、最值問題.21.已知橢圓的一個頂點為A(2,0)，離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M，N.（1）求橢圓C的方程；（2）當k=1時，求△AMN的面積.22 【解析】【分析】（1）利用已知條件列出方程組求出a，b即可得到橢圓方程.（2）利用直線與橢圓聯立方程組，通過韋達定理以及弦長公式，點到直線的距離公式，求解三角形的面積第21頁/共26頁即可.【小問1詳解】所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】設點M，N的坐標分別為，則x1+x2=，x1x2=-又因為點A(2,0)到直線y=x-1的距離所以△AMN的面積為22.已知動點P與定點A(m,0)的距離和P到定直線的距離的比為常數．其中m>0,n>