第六章不定積分兩個方面數學上很多方面都存在逆運算：1、加減乘除開方乘方求導？2、實際問題：相反的問題：已知瞬時速度V=V（t）求運動規律：這就是求微商運算的反問題。前面，已知質點的運動規律S=S（t），求瞬間的速度V=V（t），只需將S=S（t）對t求微商就可以了。第一節不定積分的概念

一、原函數定義1例1

問題一存在性：哪些函數一定存在原函數？問題二唯一性：由定義，顯然不唯一，且有：若F（x）為f（x）的一個原函數，則對任意常數C，F（x）+C也是f（x）的一個原函數。這也說明，若f（x）存在一個原函數，則其必有無窮多個原函數。問題三若F（x）為f（x）的一個原函數，F（x）+C是否所有的原函數？即：是否f（x）的每一個原函數都具有F（x）+C的形式？回答：下面的定理：例2

這里沒有注明x的變化范圍，通常都理解為使等式成立的x的全體。不定積分不是一個函數，而是一族函數，在幾何上他是一族曲線，稱為積分曲線，只要畫出其中的一條，其它曲線可通過平移而得到。

定義6.2f(x)在區間I上的原函數全體稱為f(x)在區間I上的不定積分，記為從而,若F(x)為f(x)在I上的一個原函數，則有

,C為任意常數

二、不定積分的概念注意

由定義知：或或1）求不定積分運算與微分（微商）運算是互逆的。2）根據基本初等函數的導數公式表，可以得到基本積分公式表：三、基本積分公式表注意強調1、背熟2、積分常數不能丟四、不定積分的運算法則微商運算法則不定積分的運算法則（線形運算法則）1、2、證明：說明一下法則的體系（極限

求導

……定理6.2例3.求解:例4.求解:例5.求解：例6.求解：前面給出了基本積分表和分部積分的性質，但所能計算的積分非常有限，且不能總用定義求。例：第二節換元積分法與分部積分法一.換元積分法

先看例子：求公式表中只有比較兩積分：湊一個因子2一般情況：

（湊微分法或第一換元法）設具有原函數,即

可導,記，則有證明：與復合函數的微分法則對應例：定理6.3求解:例1求解：例3例2求解:例4.求解法2:由例2得，增加例5

求解法1：由例3得解法2：增加有些積分不能直接湊出微分.而是選擇變量替換

（第二換元法）

設可導，且又設則

證：定理6.4例9求（a>0）令,則其中例10求解：設則

于是作輔助三角形得到因此：原式其中總結上面幾例，我們利用三角公式，對一些無理式作了如下代換：，令對于，令對于，令目的在于消去根號，因為它們比較典型，故特別稱之為三角代換。對于由乘積的微商公式：故這個公式稱為分部積分公式。或關鍵：適當選取

和，使容易求。2．分部積分法例13選冪函數與指數函數乘積的積分總結：冪函數與正（余）弦函數乘積的積分例14例15總結：選

有時分部積分后會遇到原來的不定積分。注意加c

例17

求解：原式=所以例18解：原式=移項即得求例20解：下面求兩種方法求：類似的方法2

從出發分部積分

類似的

前面介紹了兩種重要的積分方法，利用它們可以求出許多初等函數的不定積分。但是要靈活地運用這些方法，它不象求導數那樣簡單和易掌握。另外，任一初等函數總可按一定的步驟求得它的導函數，且導函數還是初等函數。而求初等函數的積分不僅無一定的步驟可循，更有所不同的是初等函數的原函數有可能不再是初等函數，這時我們也說積分積不出來。

總結：一些特殊類型的函數的積分：1.有理函數的積分：若真分式之和。因此有理函數的積分只需討論真分式的積分：有理函數不是真分式，用多項式除法可將其寫成一個多項式與一個多項式的積分和有理真分式的積分思路：把被積函數（真分式）分解為簡單分式的和。兩個多項式的商稱為有理函數,即變量和常數經有限次四則運算得到的式子。所以歸納為簡單分式的積分：

都可以分解為有限個簡單分式的和。每個真分式根據代數基本定理，1、簡單分式有四種（兩類）（1）（2）（3）（4）其中代數基本定理:代數基本定理﹝FundamentalTheoremofAlgebra﹞是指：對于復數域，每個次數不少于1的復系數多項式在復數域中至少有一根。由此推出，一個n次復系數多項式在復數域內有且只有n個根，重根按重數計算。因此，任意次數的實系數多項式在實數域都能夠分解成一次和二次因式的乘積

則有分解式：下面逐個求不定積分：（1）（2）（3）要求只需求即可下面求（4）,只需求即可.其中而解：設，A，B，C是待定系數。比較兩端同次冪的系數得線性方程組解得：例21求方法1:(比較系數法)下面介紹兩種確定待定系數的方法。在等式右邊通分后,令等式兩邊的分子相等得方法2：（取特殊值法）在等式兩邊同乘以后令，得等式兩邊同乘以后，令得令得將A，C的值代入，即得于是2.三角函數有理式的積分：變換稱為萬能公式例24.求解：例26.求解法一：解法二：解法三：利用萬能公式,例27.求解：此外，還可以利用其它技巧:例29.求解法一：利用萬能公式解法二：3.某些無理函數的積分：（1）例30.求解：3.某些無理函數的積分：（2）轉化為三角函數有理式的積分當時，例32.求解法一：解法二：習題例1.

求解:原式例2.

求解:原式分部積分例3.

求解:取說明:

此法特別適用于如下類型的積分:例4.

求解:設則因連續,得記作得利用補充題例1.設解:為的原函數,且求由題設則故即,因此故又例2.

求解:

令則原式例3.

求解:

令比較同類項系數,故∴