專題檢測六123456789101112主干知識達標練131415161718191.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程是(

)A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1A解析

因為圓心在y軸上,所以可設所求圓的圓心坐標為(0,b),則圓的方程為x2+(y-b)2=1,又點(1,2)在圓上,所以1+(2-b)2=1,解得b=2,所以所求圓的方程為x2+(y-2)2=1.故選A.12345678910111213141516171819C12345678910111213141516171819A123456789101112131415161718194.(2024陜西渭南模擬)用于加熱水和食物的太陽灶應用了拋物線的光學性質:一束平行于拋物線對稱軸的光線,經過拋物面(拋物線繞它的對稱軸旋轉所得到的曲面叫拋物面)的反射后,集中于它的焦點.用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面,將所截得的拋物線C放在平面直角坐標系中,對稱軸與x軸重合,頂點與原點重合,如圖,若拋物線C的方程為y2=8x,一束平行于x軸的光線從點M(8,4)射出,經過C上的點A反射后,再從C上的另一點B射出,則|MB|=(

)A.6 B.8 C.10 D.12C12345678910111213141516171819解析

由拋物線C的方程為y2=8x,可得其焦點為(2,0),由于M(8,4),故點A縱坐標為4,代入y2=8x中,即42=8x,所以x=2,即A(2,4),由題意知反射光線AB經過點(2,0),則直線AB的方程為x=2,與拋物線方程y2=8x聯立,得y2=16,y=±4,12345678910111213141516171819C12345678910111213141516171819B12345678910111213141516171819123456789101112131415161718197.已知拋物線Γ:x2=8y的焦點為F,直線l與拋物線Γ在第一象限相切于點P,并且與直線y=-2和x軸分別相交于A,B兩點,直線PF與拋物線Γ的另一個交點為Q.過點B作BC∥AF交PF于點C,若|PC|=|QF|,則|PF|等于(

)附加結論:拋物線上兩個不同的點A,B的坐標分別為A(x1,y1),B(x2,y2),以A,B為切點的切線PA,PB相交于點P,我們稱弦AB為阿基米德△PAB的底邊.定理:點P的坐標為

推論:若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內定點C(0,m)(m>0),則另一頂點P的軌跡方程為y=-m.C12345678910111213141516171819解析

因為直線PQ過拋物線的焦點F(0,2),由推論可知以PQ為底邊的阿基米德三角形的另一個頂點P的軌跡方程為y=-2,又因為切線PA與直線y=-2相交于點A,故△APQ為拋物線的阿基米德三角形,AQ也與拋物線相切.如圖,設點P,Q在直線y=-2(拋物線的準線)上的射影分別為P',Q',連接PP',QQ',PP'與x軸相交于點D.12345678910111213141516171819123456789101112131415161718198.(2024湖南師大附中模擬)如圖,在△ABC中,∠BAC=120°,其內切圓與AC邊相切于點D,且AD=1.延長BA至點E,使得BC=BE,連接CE.設以C,E兩點為焦點且經過點A的橢圓的離心率為e1,以C,E兩點為焦點且經過點A的雙曲線的離心率為e2,則e1e2的取值范圍是(

)D12345678910111213141516171819解析

如圖,設內切圓與邊BC,BE分別相切于點F,G,由切線長定理和△BCE的對稱性,可設CF=CD=EG=x,且AD=AG.由AD=1,可得AC=x+1,AE=EG-AG=x-1.在△ACE中,由余弦定理,CE2=(x+1)2+(x-1)2-2(x+1)(x-1)cos

60°=x2+3.1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819二、選擇題9.(2024湖北省八市一模)某數學興趣小組的同學經研究發現,反比例函數y=的圖象是雙曲線,設其焦點為M,N,若P為其圖象上任意一點,則(

)ABD1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819ACD1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819123456789101112131415161718191234567891011121314151617181911.(2024山東臨沂一模)已知圓C:x2+y2-10x+13=0,拋物線W:y2=4x的焦點為F,P為W上一點(

)A.存在點P,使△PFC為等邊三角形B.若Q為C上一點,則|PQ|的最小值為1C.若|PC|=4,則直線PF與圓C相切D.若以PF為直徑的圓與圓C相外切,則|PF|=22-12AC12345678910111213141516171819解析

如圖,圓C:x2+y2-10x+13=0的方程可化為C:(x-5)2+y2=12,得其圓心C(5,0),半徑r=2,由拋物線方程W:y2=4x,得焦點F(1,0).對于選項A,若△PFC為等邊三角形,則|PF|=|PC|=|FC|=4,若點P到點F(1,0)的距離為4,由拋物線的定義可知xP+1=4,即xP=3,代入拋物線方程可得123456789101112131415161718191234567891011121314151617181912345678910111213141516171819三、填空題12.(2024山東濱州二模)設F為拋物線C:x2=4y的焦點,直線l:2x-2y-1=0交C于A,B兩點,則|FA|+|FB|=

.

51234567891011121314151617181913.已知A(2,0),B(4,0),C(0,4),若過點A的直線l、直線BC、x軸正半軸、y軸正半軸圍成的四邊形有外接圓,則該圓的一個標準方程為

.

(x-3)2+(y-3)2=10或(x-1)2+(y-2)2=512345678910111213141516171819解析

當過點A的直線與直線BC平行時,圍成的四邊形是等腰梯形,外接圓就是過A(2,0),B(4,0),C(0,4)的圓.1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819圖112345678910111213141516171819則|F1N|=|F1P|=|BF1|-|BP|=|BF2|-|BQ|=|F2Q|=|F2A|+|AQ|=|F2A|+|AN|,由雙曲線的定義知|AF1|-|AF2|=|F1N|+|AN|-|AF2|=(|AF2|+|AN|)+|AN|-|AF2|=2|AN|=2a,所以|AN|=.圖212345678910111213141516171819四、解答題15.(13分)(2024江西九江模擬)已知動圓過定點M(0,4),且在x軸上截得的弦AB的長為8.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程;(2)過軌跡C上一個定點P(m,n)(m≠0)引它的兩條弦PS,PT,若直線PS,PT的斜率存在,且直線ST的斜率為-.證明:直線PS,PT的傾斜角互補.12345678910111213141516171819(1)解

如圖,設動圓圓心D的坐標為(x,y),根據勾股定理得(x-0)2+(y-4)2=42+y2,整理得,x2=8y,故所求動圓圓心的軌跡C的方程為x2=8y.123456789101112131415161718191234567891011121314151617181916.(15分)(2024浙江麗水模擬)已知雙曲線C:-y2=1,點M(2,1),直線l:y=kx+m(m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點A,B.(1)若△MAB的重心在直線x-2y=0上,求k的值;(2)若直線l過雙曲線C的右焦點F,且直線MA,MB的斜率之積是-,求△MAB的面積.123456789101112131415161718191234567891011121314151617181912345678910111213141516171819123456789101112131415161718191234567891011121314151617181912345678910111213141516171819123456789101112131415161718191234567891011121314151617181918.(17分)(2024山東濰坊二模)已知雙曲線C:(a>0,b>0)的實軸長為2,右焦點F2到一條漸近線的距離為1.(1)求C的方程;(2)過C上一點P1(3,)作C的切線l1,l1與C的兩條漸近線分別交于R,S兩點,P2為點P1關于坐標原點的對稱點,過P2作C的切線l2,l2與C的兩條漸近線分別交于M,N兩點,求四邊形RSMN的面積;(3)過C上一點Q向C的兩條漸近線作垂線,垂足分別為H1,H2,是否存在點Q,滿足|QH1|+|QH2|=2?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.1234567891011121314151617181912345678910111213141516171819