高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省十堰市2023-2024學年高二上學期期末調研考試數學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知是橢圓上一點，分別為的左、右焦點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知點在橢圓上，所以由橢圓的定義可得．故D正確.故選：D.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得．故選：B3.直線與圓的公共點個數為（）A.0 B.1 C.2 D.不確定【答案】C【解析】因為直線可化為，所以直線過定點，而，所以該定點在圓的內部，故直線與圓有2個公共點.故選：C.4.數列滿足，且，則（）A. B.4 C. D.2【答案】A【解析】由題意知，所以，所以可得是周期為2的周期數列，則．故A正確.故選：A.5.過點作圓的兩條切線，兩條切線的夾角的余弦值為，則（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】將的方程轉化為，可知的半徑為．設兩切點分別為，，連接，如圖，由兩切線夾角的余弦值為，則夾角，且，所以在中，即．故A正確.故選：A.6.已知，點在平面內，則的坐標可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為點在平面內，所以，得，對于選項A，由，得無解，故選項A錯誤，對于選項B，由，得無解，故選項B錯誤，對于選項C，由，得無解，故選項C錯誤，對于選項D,，得，故選項D正確，故選：D.7.已知是拋物線的焦點，的準線與軸的交點為，點在上，且，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，過點B作準線垂線，垂足為，則，設，則，則．設點到直線的距離為，則，又，則．故選：B.8.若是函數兩個不同的零點，且這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則（）A.8 B.12 C.16 D.24【答案】D【解析】由題可知，，則，這三個數可適當排序后成等比數列，則3必是等比中項，則，這三個數可適當排序后成等差數列，則3必不是等差中項，若是等差中項，則，又，解得，則，故，若是等差中項，則，又，解得，則．故．故選：D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知等差數列的公差為，且，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由題知數列為等差數列，所以可知得，解得，所以，故A、D正確.故選：AD.10.點到直線的距離相等，則的值可能為（）A.－2 B.2 C.9 D.11【答案】BD【解析】①若點在的同側，則直線，即，解得，②若在的兩側，則經過線段的中點，即，故選：BD.11.在正四棱柱中，分別是的中點，是棱上一點，則下列結論正確的有（）A.若為的中點，則 B.若為的中點，則到的距離為C.若，則平面 D.的周長的最小值為【答案】BCD【解析】以為坐標原點，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，可得平面的一個法向量為．若為的中點，則，，，則到的距離，A不正確，B正確．若，則，則，因為平面，所以平面，C正確．將平面沿著翻折至與平面共面，當三點共線時，周長最小，此時，翻折前，故的周長的最小值為，D正確．故選：BCD12.某玩家玩擲骰子跳格子的游戲，規則如下：投擲兩枚質地均勻的骰子，若兩枚骰子的點數均為奇數，則往前跳兩格，否則往前跳一格．從第0格起跳，記跳到第格的概率為，則（）A. B.C.數列為等差數列 D.【答案】ACD【解析】兩枚骰子的點數均為奇數的概率，故玩家每次往前跳兩格的概率為，往前跳一格的概率為，則，A正確，B不正確．由題可知，，則，故數列為常數列，也是等差數列，C正確．又，得，因為，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，則，則，D正確．故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.向量在向量方向上的投影向量的模為______．【答案】【解析】向量在向量方向上的投影向量的模為,故答案為：.14.用1，2，5這三個數字組成無重復數字的三位數，則這個三位數比215大的概率為______．【答案】【解析】構成三位數的試驗的樣本空間，有6個樣本點，比215大的事件，共3個樣本點，所以所求的概率．故答案為：15.已知正項等比數列的前項和為，且，則______．【答案】160【解析】因為為正項等比數列，所以也成等比數列，則，解得或（舍去），則，解得．故答案為：16016.是雙曲線的左焦點，是右支上一點，過作與直線夾角為的直線，并與相交于點，則的最小值為______．【答案】【解析】過作的垂線，垂足為，如圖，因為與的夾角為，所以，設的右焦點為，則，到的距離，所以，當且僅當三點共線時，等號成立．故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線，圓．（1）求與垂直的的直徑所在直線的一般式方程；（2）若圓與關于直線對稱，求的標準方程．解：（1）將的方程轉化為，可知的圓心為，半徑為4．因為，所以可設的一般式方程為，將代入，解得，故的一般式方程為．（2）設的圓心為，由與關于直線對稱，可得，解得所以的標準方程為．18.甲、乙、丙三人獨立地解答一道試題，各人能答對的概率分別為，其中．（1）若，求這三人中恰有一人答對該試題的概率；（2）當這三人都沒答對該試題的概率取得最大值時，求這三人中至少有兩人答對該試題的概率．解：（1）因為，所以這三人中恰有一人答對該試題的概率．（2）這三人都沒答對該試題的概率，當且僅當時，等號成立，此時這三人中恰有一人答對該試題的概率，這三人都沒答對該試題的概率取得最大值時，三人至少有兩人答對該試題的概率．19.在平面直角坐標系中，已知點，橫坐標非負的動點到軸的距離為，且，記點的運動軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）若是上兩點，且線段的中點為，求．解：（1）設，則．由，可得，整理得的方程為．（2）設，因為線段的中點為，所以，則，則．所以，則直線的方程為，顯然直線經過點．由（1）可知，是以為焦點的拋物線，所以．20.在等差數列中，，若數列對任意，都有，成立，且．（1）求數列的通項公式；（2）設數列的前項和分別為，若，求的最小值．解：（1）設數列的公差為，由，得，則，解得，所以，即，由，兩式相減得，又，得，所以，得到，所以數列是首項為2，公比為的等比數列，故.（2）由，得，所以，所以，得，因為，所以當時，，當時，，故的最小值為64．21.在圖1所示的平面多邊形中，四邊形為菱形，與均為等邊三角形．分別將沿著，翻折，使得四點恰好重合于點，得到四棱錐．（1）若，證明：；（2）若二面角的余弦值為，求的值．解：（1）因為，所以為的中點．由題可知，，所以．又，平面，所以平面．取，如圖，則．由平面，可得，則．（2）連接，易證得平面，過點作，垂足為，則平面．以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸，建立如上圖所示的空間直角坐標系．由，得，從而，則，則，，．設平面的一個法向量為，則由得令，得．由圖可知，平面的一個法向量為，因為二面角的余弦值為，所以，解得．故的值為.22.已知是橢圓上一點．（1）求的離心率；（2）過點作兩條互相垂直且斜率均存在的直線與交于兩點，與交于兩點，分別為弦和的中點，直線與軸交于點，試判斷是否為定值．若是，求出該定值；若不是，說明理由．解：（1）由題可知，則，解得，則，故的離心率．（2）為定值，且該定值是．求解過程如下：設方程為，聯立方程組整理得，則，則同理可得因為三點共線，所以，則，則，即為定值，且該定值是．湖北省十堰市2023-2024學年高二上學期期末調研考試數學試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知是橢圓上一點，分別為的左、右焦點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知點在橢圓上，所以由橢圓的定義可得．故D正確.故選：D.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，得．故選：B3.直線與圓的公共點個數為（）A.0 B.1 C.2 D.不確定【答案】C【解析】因為直線可化為，所以直線過定點，而，所以該定點在圓的內部，故直線與圓有2個公共點.故選：C.4.數列滿足，且，則（）A. B.4 C. D.2【答案】A【解析】由題意知，所以，所以可得是周期為2的周期數列，則．故A正確.故選：A.5.過點作圓的兩條切線，兩條切線的夾角的余弦值為，則（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】將的方程轉化為，可知的半徑為．設兩切點分別為，，連接，如圖，由兩切線夾角的余弦值為，則夾角，且，所以在中，即．故A正確.故選：A.6.已知，點在平面內，則的坐標可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為點在平面內，所以，得，對于選項A，由，得無解，故選項A錯誤，對于選項B，由，得無解，故選項B錯誤，對于選項C，由，得無解，故選項C錯誤，對于選項D,，得，故選項D正確，故選：D.7.已知是拋物線的焦點，的準線與軸的交點為，點在上，且，則點到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，過點B作準線垂線，垂足為，則，設，則，則．設點到直線的距離為，則，又，則．故選：B.8.若是函數兩個不同的零點，且這三個數可適當排序后成等差數列，也可適當排序后成等比數列，則（）A.8 B.12 C.16 D.24【答案】D【解析】由題可知，，則，這三個數可適當排序后成等比數列，則3必是等比中項，則，這三個數可適當排序后成等差數列，則3必不是等差中項，若是等差中項，則，又，解得，則，故，若是等差中項，則，又，解得，則．故．故選：D.二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知等差數列的公差為，且，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由題知數列為等差數列，所以可知得，解得，所以，故A、D正確.故選：AD.10.點到直線的距離相等，則的值可能為（）A.－2 B.2 C.9 D.11【答案】BD【解析】①若點在的同側，則直線，即，解得，②若在的兩側，則經過線段的中點，即，故選：BD.11.在正四棱柱中，分別是的中點，是棱上一點，則下列結論正確的有（）A.若為的中點，則 B.若為的中點，則到的距離為C.若，則平面 D.的周長的最小值為【答案】BCD【解析】以為坐標原點，所在的直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，可得平面的一個法向量為．若為的中點，則，，，則到的距離，A不正確，B正確．若，則，則，因為平面，所以平面，C正確．將平面沿著翻折至與平面共面，當三點共線時，周長最小，此時，翻折前，故的周長的最小值為，D正確．故選：BCD12.某玩家玩擲骰子跳格子的游戲，規則如下：投擲兩枚質地均勻的骰子，若兩枚骰子的點數均為奇數，則往前跳兩格，否則往前跳一格．從第0格起跳，記跳到第格的概率為，則（）A. B.C.數列為等差數列 D.【答案】ACD【解析】兩枚骰子的點數均為奇數的概率，故玩家每次往前跳兩格的概率為，往前跳一格的概率為，則，A正確，B不正確．由題可知，，則，故數列為常數列，也是等差數列，C正確．又，得，因為，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，則，則，D正確．故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.向量在向量方向上的投影向量的模為______．【答案】【解析】向量在向量方向上的投影向量的模為,故答案為：.14.用1，2，5這三個數字組成無重復數字的三位數，則這個三位數比215大的概率為______．【答案】【解析】構成三位數的試驗的樣本空間，有6個樣本點，比215大的事件，共3個樣本點，所以所求的概率．故答案為：15.已知正項等比數列的前項和為，且，則______．【答案】160【解析】因為為正項等比數列，所以也成等比數列，則，解得或（舍去），則，解得．故答案為：16016.是雙曲線的左焦點，是右支上一點，過作與直線夾角為的直線，并與相交于點，則的最小值為______．【答案】【解析】過作的垂線，垂足為，如圖，因為與的夾角為，所以，設的右焦點為，則，到的距離，所以，當且僅當三點共線時，等號成立．故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線，圓．（1）求與垂直的的直徑所在直線的一般式方程；（2）若圓與關于直線對稱，求的標準方程．解：（1）將的方程轉化為，可知的圓心為，半徑為4．因為，所以可設的一般式方程為，將代入，解得，故的一般式方程為．（2）設的圓心為，由與關于直線對稱，可得，解得所以的標準方程為．18.甲、乙、丙三人獨立地解答一道試題，各人能答對的概率分別為，其中．（1）若，求這三人中恰有一人答對該試題的概率；（2）當這三人都沒答對該試題的概率取得最大值時，求這三人中至少有兩人答對該試題的概率．解：（1）因為，所以這三人中恰有一人答對該試題的概率．（2）這三人都沒答對該試題的概率，當且僅當時，等號成立，此時這三人中恰有一人答對該試題的概率，這三人都沒答對該試題的概率取得最大值時，三人至少有兩人答對該試題的概率．19.在平面直角坐標系中，已知點，橫坐標非負的動點到軸的距離為，且，記點的運動軌跡為曲線．（1）求的方程；（2）若是上兩點，且線段的中點為，求．解：（1）設，則．由，可得，整理得的方程為．（2）設，因為線段的中點為，所以，則，則