21相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型梅內(nèi)勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學家兼天文學家，梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個重要定理。梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么AFFB?BDDC?梅涅勞斯定理的逆定理：如圖1，若F、D、E分別是△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線的三點，如果AFFB?BDDC?CE圖1圖2塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點G，延長AG、BG、CG分別交對邊于D、E、F，如圖2，則AFFB注意：①梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）區(qū)別是塞瓦定理的特征是三線共點，而梅涅勞斯定理的特征是三點共線；②我們用梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）解決的大部分問題，也添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。例1.（2023.浙江九年級期中）如圖，在△ABC中，AD為中線，過點C任作一直線交AB于點F，交AD于點E，求證：AE:ED=2AF:FB．【解析】∵直線是的梅氏線，∴．而，∴，即．【點睛】這道題也是梅氏定理的直接應用，但是對于梅氏定理的應用的難點，在于找梅氏線．例2.（2023.重慶九年級月考）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．AM為BC邊上的中線，CD⊥AM于點D，CD的延長線交AB于點【解析】∵HFC是△ABD的梅氏線，由題設，在Rt△AMC中，CD由射影定理．對△ABM和截線EDC，由梅涅勞斯定理，，即．∴．【點睛】這道題也是梅氏定理的直接應用，但是對于梅氏定理的應用的難點，在于找梅氏線．例3.（2023.湖北九年級期中）如圖，點D、E分別在△ABC的邊AC、AB上，AE=EB，ADDC=23，BD與CE交于點F【解析】對△ECA和截線BFD，由梅氏定理得：EF即EFFC?32?21∴SAEFD【點睛】這道題主要考查梅氏定理和面積問題．例4.（2023.江蘇九年級月考）已知AD是△ABC的高，點D在線段BC上，且BD=3，CD=1，作DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，連接EF并延長，交BC的延長線于點G【解析】如圖，設CG=x，EFG是△ABC的梅氏線．則由梅涅勞斯定理4+x顯然的CFFA=DC2AD【點睛】這道題主要考查梅內(nèi)勞斯定理和射影模型的綜合．例5.（2023.廣東九年級專項訓練）如圖，在△ABC中，∠A的外角平分線與邊BC的延長線交于點P，∠B的平分線與邊CA交于點Q，∠C的平分線與邊AB交于點R，求證：P、Q【解析】AP是∠BAC的外角平分線，則BPPC=BQ是∠ABC的平分線，則CQQA=CR是∠ACB的平分線，則ARRB=①×②×因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延長線上，則根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理得：P、Q、R三點共線．【點睛】這道題主要考查梅氏定理和角平分線定理的綜合應用．例6．（2023上·廣東深圳·九年級校聯(lián)考期中）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖1，如果一條直線與△ABC的三邊AB,BC,CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有AF下面是利用相似三角形的有關知識證明該定理的部分過程：證明：如圖2，過點A作AG∥BC，交DF的延長線于點G，則有AFFB=AG∴△AGF∽△BDF，△AGE∽△CDE，∴AF請用上述定理的證明方法解決以下問題：

（1）如圖3，△ABC三邊的延長線分別交直線l于X,Y,Z三點，證明：BXXC?請用上述定理的證明方法或結論解決以下問題：（2）如圖4，等邊△ABC的邊長為3，點D為BC的中點，點F在AB上，且與AD交于點E，試求AE的長．（3）如圖5，△ABC的面積為4，F(xiàn)為AB中點，延長BC至D，使CD=BC，連接FD交AC于E，求四邊形BCEF的面積．【答案】（1）詳見解析；（2）AE=34【分析】(1)過點C作交AY于點N，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例，化簡計算即可．(2)根據(jù)定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)解答即可．(3)根據(jù)定理，計算比值，后解答即可．【詳解】（1）證明：如圖，過點C作交AY于點N，則．故：．

（2）解：如圖，根據(jù)梅涅勞斯定理得：AFFB又∵BF=2AF，∴，∴DE=AE．在等邊△ABC中，∵AB=3，點D為BC的中點，．∴由勾股定理知：．（3）解：∵線段DEF是△ABC∴由梅涅勞斯定理得，AFFB?BDDC?CEEA，于是=83．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，三角形面積的計算，熟練掌握定理是解題的關鍵．例7．（2023.山東九年級月考）如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點．若AP，BQ，CR相交于一點M，求證：．證明：如圖，由三角形面積的性質(zhì)，有，，．以上三式相乘，得．例8.（2023.浙江九年級期中）如圖，在銳角△ABC中，AD是BC邊上的高線，H是線段AD內(nèi)任一點，BH和CH的延長線分別交AC、AB于E、F，求證：∠EDH=∠FDH。【詳解】證明：過點A作PQ//BC，與DF，DE的延長線分別交于點P、Q，則DA⊥PQ。對△ABC和點H應用賽瓦定理可得：BDDC∵PQ//BC，∴AFBF=APBD,CEEA=根據(jù)垂直平分線，∴PD=QD，∴△PQD是等腰三角形，∴∠EDH=∠FDH。點評：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關鍵．例9.（2023.北京九年級月考如圖，四邊形ABCD的對邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對角線AC與BD交于點M，直線KL與BD，AC分別交于F、G，求證：KFLF對△DKL和點B應用賽瓦定理可得：DAAK×對△DKL和截線ACG，由梅氏定理得：DAAK由①②得：KF點評：本題考查了賽瓦定理，要熟練掌握定理的內(nèi)容，是解此題的關鍵．例10．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）請閱讀下列材料，并完成相應任務：塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數(shù)學家．定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點O，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，E，F(xiàn)，則BDDC數(shù)學意義：使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理，具有重要的作用．任務解決：(1)如圖2，當點D，E分別為邊BC，AC的中點時，求證：點F為AB的中點；(2)若△ABC為等邊三角形（圖3），AB=12，AE=4，點D是BC邊的中點，求BF的長，并直接寫出△BOF【答案】(1)證明見解析(2)BF=8；△BOF的面積為6【分析】（1）根據(jù)塞瓦定和中點的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)塞瓦定和等邊三角形的性質(zhì)即可求出BF，然后過點F作FG⊥BC于G，證明△COD～△CFG，可求出OD，從而求出△BOC的面積，然后根據(jù)AFBF=12【詳解】（1）證明：在△ABC中，∵點D，E分別為邊BC，AC的中點，∴BD=CD，CE=AE．由賽瓦定理可得：BDDC×CEEA×AFBF=1．∴AF（2）解：∵△ABC為等邊三角形，AB=12，∴∵點D是BC邊的中點，∴BD=DC=6，∵AE=4，∴CE=8．由賽瓦定理可得：BF=8；過點F作FG⊥BC于G，∴BG=BF?cos60°=4，F(xiàn)G=BF?sin60°=43∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD∥FG，∴△COD∴ODFG=CDCG，即OD43=∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴AFBF=1又S△ABC=34×122【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、中點的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，讀懂題意，學會運用塞瓦定理是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023.廣東九年級期中）如圖，在△ABC中，M是AC的中點，E是AB上一點，AE＝AB，連接EM并延長，交BC的延長線于D，則＝（）A． B．2 C． D．解：法1：對△ABC和截線EMD，由梅氏定理得：AEEB∵M是AC的中點，E是AB上一點，AE＝AB，∴AEEB=∴13?BDCD?1=1，∴BD法2：如圖，過C點作CP∥AB，交DE于P，∵PC∥AE，∴△AEM∽△CPM，∴＝，∵M是AC的中點，∴AM＝CM，∴PC＝AE，∵AE＝AB，∴CP＝AB，∴CP＝BE，∵CP∥BE，∴△DCP∽△DBE，∴＝＝，∴BD＝3CD，∴BC＝2CD，即＝2．故選：B．2.（2023.浙江九年級期中）如圖，D、E、F內(nèi)分正△ABC的三邊AB、BC、AC均為1：2兩部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面積是△ABC的面積的（）A． B． C． D．解：對△ADC用梅涅勞斯定理可以得：??＝1，則＝．設S△BCF＝，S△BCQ＝S△BCE＝，SBPRF＝S△ABD＝，∴S△PQR＝S△BCF﹣S△BCQ﹣SBPRF＝S△ABC．故選：D．3．（廣東2023-2024學年九年級上學期月考數(shù)學試題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，，CD⊥AB，垂足為D，E為BC的中點，AE與CD交于點F，則DF的長為

【答案】54【分析】過點F作于H，根據(jù)勾股定理求得AB的值，根據(jù)三角形的面積求得CD的值，根據(jù)勾股定理求得AD的值，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得FHAH=23，設FH=2k，AH=3k，CH=3?3k，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可求得k的值，即可求得CH和FH【詳解】解：如圖，過點F作于H．

在Rt△ABC中，AC=3，，則AB=∵CD⊥AB，∴S△ABC=12AC?BC=1在Rt△ACD中，AC=3，CD=12∵FH⊥AC，∠ACB=90°，∴FH∥EC，∴△AFH∽△AEC，∴FHEC∵EC=EB=2，AC=3，∴FHAH=ECAC=23∵，CD⊥AB，∠DCA=∠DCA，∴△CHF∽△∵FHAD=CHCD，∴2k95=3?3k12∴CF=CH2+FH2【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．4．（2022年山西中考一模數(shù)學試題）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，，AC=4．AD是BC邊上的中線．將△ABC沿AD方向平移得到△A'B'C'．A'C'與BC相交于點E，連接BA'并延長，與邊

【答案】9712/【分析】則E為A'C'的中點，得A'為AD的中點，證明△BEA'∽△BCF【詳解】解：∵由平移的性質(zhì)得A'C'∴E為A'C'的中點，DEEC=DA'A∵D是BC邊上的中點，∴△BEA'∽△BCF，∵AC=4，∴A'E=2，∴，F(xiàn)C=83，在Rt△ABF中，∵BA':BF=3:4，∴A【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，勾股定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．5．（2022年山西省太原市九年級下學期一模數(shù)學試題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，⊙O的切線BD交AC的延長線于點D，E為BD的中點，CE交AB的延長線于點F．若AC=4，OB=BF，則BD的長為．【答案】83/【分析】連接OC，BC，根據(jù)AB為⊙O的直徑，可得∠ACB=∠BCD=90°，再由E為BD的中點，可得CE=BE=DE，從而得到∠BCE=∠CBE，然后根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠ABD=90°，再由OC=OB，可得∠OCF=90°，然后根據(jù)OB=BF，可得△OBC是等邊三角形，進而得到∠A=30°，∠CBD=30°，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接OC，BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=∠BCD=90°，∵E為BD的中點，∴CE=BE=DE，∴∠BCE=∠CBE，∵BD是⊙O的切線，∴∠ABD=90°，即∠CBD+∠OBC∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OCB+∠BCE=∠OBC+∠CBD=90°，即∠OCF=90°，∵OB=BF，∴BC=OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴∠BOC=∠OBC=60°，∴∠A=30°，∠CBD=30°，∵AC=4，∴BC=AC?tanA=4×33【點睛】本題主要考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．6．（2023年山西中考模擬百校聯(lián)考數(shù)學試題）如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AB⊥BD，，OB=2，∠ADC的平分線分別交AC，BC于點E，F(xiàn)．則線段OE的長為．【答案】13【分析】由平行四邊形的性質(zhì)求出BD，再由勾股定理分別求出AO，AD，再由角平分線與平行線的性質(zhì)得到∠CDF=∠CFD，最后由△ADE∽△CFE得AECE=AD【詳解】解：∵□ABCD，OB=2，AB=3，∴BD=2OB=4，AD∥BC，AD=BC，CD=AB=3，∵AB⊥BD，∴∠ABO=90°，∴AO=AB2+OB2=32+22=13，AD=AB2+B∵AD∥BC，∴∠ADF=∠CFD，∴∠CDF=∠CFD，∴CF=CD=3，∵AD∥BC，∴△ADE∽△CFE，∴AECE=ADCF，∴13+OE13【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理，難度適中，解題關鍵是正確找出相似三角形．7．（2023下·浙江溫州·八年級校考階段練習）如圖，等邊△ABC的邊長為5，D在BC延長線上，CD＝3，點E在線段AD上，且AE＝AB，連接BE交AC于F，則CF的長為．【答案】1【分析】過點A作AG⊥BD于點G，過點E作EH∥AC，交BD于點H，利用等邊三角形的性質(zhì)可求出BG的長，利用勾股定理求出AG的長，從而可得到DG的長，再利用勾股定理求出AD的長，由此可求出DE的長；再利用平行線分線段成比例定理求出EH，DH的長，再利用平行線分線段成比例定理求出CF的長．【詳解】解：過點A作AG⊥BD于點G，過點E作EH∥AC，交BD于點H，∵△ABC是等邊三角形，∴BG=12BC=5∵DC＝3∴DG＝CG＋DC＝2.5＋3＝5.5在Rt△AGD中，AD=AG2+D∵EH∥AC，∴DEAD=EHAC=∵CF∥EH，∴CFEH=BC【點睛】本題考查了勾股定理，平行線分線段成比例，掌握勾股定理求出線段長度，運用好平行線分線段成比例是解題的關鍵．8．（2023·重慶·八年級期中）如圖，ΔABC的面積為10，D、E分別是AC，AB上的點，且AD=CD,AE:BE=2:1．連接BD,CE交于點F,連接并延長交BC于點．則四邊形BEFH的面積為．【答案】53【分析】先畫出圖形,再作DJ∥EC交AB于J,交AH于K，作DG∥BC交AH于G，由題推出EF:FC=1:3，BH:CH=1:2，求出△BEF,△BFH的面積即可．【詳解】根據(jù)題意畫出圖形:作DJ∥EC交AB于J,交AH于K作DG∥BC交AH于G，∵DJ∥EC,AD=DC，∴AJ=JE,AK=KF，∴EF=2JK,DJ=2EF,CF=2DK，設JK=m,則EF=2m,DJ=4m,DK=3m,CF=6m，∴EF:CF=1:3，∵AE=2BE，∴BE=EJ，∵EF∥DJ，∴BF=DF，∵GD∥BH，∴∠GDF=∠FBH，∵∠GFD=∠HFB,BF=DF，∴△DFG≌△BFH（ASA），∴DG=BH，∵DG∥CH,AD=DC，∴AG=GH，∴CH=2DG，∴BH=2CH，∵BE=AB，∴S△BEC=S△ABC=103，∵EG=14EC，∴S△BEF=14S△BEC=56,S△BFC=∵BH=BC，∴S△BHF=×52=56，∴S四邊形BEFH=56+56=【點睛】本題考查三角形的全等及輔助線的做法,關鍵在于通過輔助線將面積分成兩個三角形面積求證．9.（2023.湖北.九年級月考）如圖所示，△ABC被通過它的三個頂點與三角形內(nèi)一點O的三條直線分為6個小三角形，其中三個小三角形的面積如圖所示，則△ABC的面積為【解析】有題意知：AFFB=對△ABD和截線COF，由梅氏定理得：AFFB?BCCD?DOOA=1∴S【點睛】這道題主要考查梅氏定理和面積問題．10．（2023上·河南洛陽·九年級期末）小明在網(wǎng)上學習了梅涅勞斯定理之后，編制了下面一個題，請你解答．已知△ABC，延長BC到D，使CD=BC．取AB的中點F，連結FD交AC于點E．(1)求AEAC的值；(2)若AB＝a，F(xiàn)B＝AE，求AC【答案】(1)(2)AC的長為34a．【分析】（1）過點F作FM∥AC，交BC于點M．根據(jù)平行線分線段成比例定理分別找到AE，CE與FM之間的關系，得到它們的比值；（2）結合（1）中的線段之間的關系，進行求解．【詳解】（1）解：過點F作FM∥AC，交BC于點M，∵F為AB的中點，∴M為BC的中點，F(xiàn)M=12AC．∵CD=BC，∴CM=12CD，∴∵FM∥AC，∴∠CED=∠MFD，∠ECD=∠FMD．∴△FMD∽△ECD．∴．∴．∴；（2）解：∵點F是AB的中點，AB=a，∴FB=12AB=12∵FB=AE，∴AE=12a．由（1）知，AEAC=23，∴AC=32AE=32×12a=【點睛】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，作出平行線構造出相似三角形是解本題的關鍵．11．（2023·江西景德鎮(zhèn)·九年級校考期末）如圖，△ABC三邊CB，AB，AC的延長線分別交直線l于X，Y，Z三點，證明：BXXC【答案】見解析【分析】連接CY、AX，設A到XZ的距離為h1，C到XZ的距離為h2，再根據(jù)“兩個三角形等高時面積之比等于底邊之比”的性質(zhì)，分別列出CZZA、AYYB、【詳解】證明：如圖，連接CY、AX設A到XZ的距離為h1，C到XZ的距離為h2CZZA=S△XZC∴BXXC?AY【點睛】本題考查了三角形的面積計算，作出輔助線，通過面積寫出線段比是解題關鍵.12．（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期末）梅涅勞斯定理梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖（1），如果一條直線與ΔABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長線交于F、D、E三點，那么一定有AFFB下面是利用相似三角形的有關知識證明該定理的部分過程：證明：如圖（2），過點A作AG//BC，交DF的延長線于點G，則有任務：（1）請你將上述材料中的剩余的證明過程補充完整；（2）如圖（3），在ΔABC中，AB=AC=13，BC=10，點D為BC的中點，點F在AB上，且BF=2AF，CF與AD交于點E，則AE=________．【答案】（1）見解析；（2）6【分析】（1）由題意可得CEAE=CDAG，然后根據(jù)比例的性質(zhì)可進行求證；（2）由（1）可得AFBF?BCDC?【詳解】解：（1）補充的證明過程如下：∵AG//BD，∴CE（2）根據(jù)梅涅勞斯定理得AFBF∵點D為BC的中點，BF=2AF，∴AFBF=12∵AB=AC=13，BC=10，∴AD⊥BC，BD=5，∴在RtΔABD中，AD=A【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．13．（2021·山西·校聯(lián)考模擬預測）閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務．塞瓦（GiovanniCeva，1648～1734）意大利水利工程師，數(shù)學家，塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》一書，塞瓦定理是指如圖1，在△ABC內(nèi)任取一點O，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，F(xiàn)，E，則BDDC如圖2，過點A作BC的平行線分別交BE，CF的延長線于點M，N．則∠N＝∠FCB，∠NAF＝∠FBC．∴△NAF∽△CBF．∴AFBF同理可得△NOA∽△COD．∴ANDC任務一：(1)請分別寫出與△MOA，△MEA相似的三角形；(2)寫出由（1）得到的比例線段；任務二：結合①②和（2），完成該定理的證明；任務三：如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB，垂足為D，點E為DC的中點，連接AE并延長，交BC于點F，連接BE并延長，交AC于點G．小明同學自學了上面定理之后解決了如圖3所示的問題，并且他用所學知識已經(jīng)求出了BF與FC的比是25：16，請你直接寫出△ECG與△EAG面積的比．【答案】(1)△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；(2)MOBO=MA任務二：證明見解析；任務三：12548【分析】任務一：可直接通過“8”字型相似得出答案；任務二：通過相似之間的對應邊比例轉換得出結論；任務三：由任務一和任務二得出BFFC?CGGA?ADDB=1，可得出的值，再由△ECG和【詳解】（1）解：任務一：∵MN//BC∴△MOA∽△BOD；△MEA∽△BEC；（2）MOBO任務二：證明：如圖所示：由任務一可得：BDAM同理可得△OAN∽△ODC；△AFN∽△BFC；∴ODOA=DCAN；AFFB任務三：由任務一和任務二可得：在△ABC中，BFFC∵Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB=3∴cos∠BAC=ACAB=ADAC；∴45=AD4；∴AD；∵BFFC?CGGA?AD過點E作EH⊥AC于H；∴S【點睛】本題主要是根據(jù)“8”字型的相似得出對應的邊之比，任務二的重難點在于各邊比例之間的轉換，任務三中兩個三角形同高，故面積比等于底邊比；本題屬于中等偏.上類題．14．（重慶2022-2023學年八年級月考）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是線段BC上一動點（不與點B、C重合），連接AD，延長BC至點E，使得CE＝CD，過點E作EF⊥AD于點F，再延長EF交AB于點M．（1）若D為BC的中點，AB＝4，求AD的長；（2）求證：BM＝2CD．【答案】（1）10；（2）詳見解析．【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AC＝BC＝22，根據(jù)勾股定理即可得到結論；（2）過M作MH⊥BC于H，連接AE，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AE＝AD，求得∠EAC＝∠DAC，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AME＝∠EAM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD＝MH，于是得到結論．【詳解】（1）∵在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝4，∴AC＝BC＝22，∵D為BC的中點，∴CD＝12BC＝2，∴AD＝（2）過M做MH⊥BC于H，連接AE，∵AC⊥BE，CD＝CE，∴AE＝AD，∴∠EAC＝∠DAC，∵EF⊥AD，∴∠EFD＝∠ACD＝90°，∴∠CAD+∠ADC＝∠ADC+∠DEF，∴∠CAD＝∠DEF，∴∠EAC＝∠DEF，∴∠EAC＝∠DEF，∵∠AME＝∠B+∠BEM，∠EAM＝∠BAC+∠EAC，∠CAB＝∠B＝45°，∴∠AME＝∠EAM，∴AE＝EM，∴AD＝EM，∵∠ACD＝∠EHM＝90°，∴△ACD≌△EHM（AAS），∴CD＝MH，∴BM＝2MH＝2CD．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明△ACD≌△EHM是解題的關鍵．15．（2023年湖北省襄陽市襄州區(qū)中考模擬數(shù)學試題）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，⊙O的切線BD交AC的延長線于點D，E為BD的中點，連接CE并延長，交AB的延長線于點F．

(1)求證：CF是⊙O的切線；(2)若AC=33，OB=BF【答案】(1)證明見解析(2)15【分析】（1）連接OC，BC，根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=∠DCB=90°，求得∠D=∠DCE，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABD=90°（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得∠F=30°，求得∠COB=60°，得到∠A=30°，過O作OH⊥AC于H，求得OH=1【詳解】（1）證明：連接OC，BC，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=∵E為BD的中點，∴CE=DE，∴∠D=∵BD是⊙O的切線，∴∠ABD=90°，∴∠A+∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∴∠ACO+∠DCE=90°，∴∠OCF=90°∵OC是⊙O的半徑，∴CF是⊙O（2）解：∵OB=BF，OC=OB，∴OC=1∵OC⊥CF，∴∠F=30°，∴∠COB=60°，∴∠A=30°∵AC=33，

∴AB=ACcos3∴BD=33AB=23，過O作OH⊥AC于H∵AO=BO，∴OH=1∴S陰影【點睛】本題考查切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式、直角三角形的性質(zhì)、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關鍵．

專題21相似模型之梅涅勞斯（定理）模型與塞瓦（定理）模型梅內(nèi)勞斯（Menelaus，公元98年左右），是希臘數(shù)學家兼天文學家，梅涅勞斯定理是平面幾何中的一個重要定理。梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么．這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形．梅涅勞斯定理的逆定理：如圖1，若F、D、E分別是的三邊AB、BC、CA或其延長線的三點，如果，則F、D、E三點共線．圖1圖2塞瓦（G·Gevo1647-1734）是意大利數(shù)學家兼水利工程師．他在1678年發(fā)表了一個著名的定理，后世以他的名字來命名，叫做塞瓦定理。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點G，延長AG、BG、CG分別交對邊于D、E、F，如圖2，則。注意：①梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）區(qū)別是塞瓦定理的特征是三線共點，而梅涅勞斯定理的特征是三點共線；②我們用梅涅勞斯（定理）與塞瓦（定理）解決的大部分問題，也添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來解決。例1.（2023.浙江九年級期中）如圖，在中，AD為中線，過點C任作一直線交AB于點F，交AD于點E，求證：．例2.（2023.重慶九年級月考）如圖，在中，，．AM為BC邊上的中線，于點D，CD的延長線交AB于點E．求．例3.（2023.湖北九年級期中）如圖，點D、E分別在的邊AC、AB上，，，BD與CE交于點F，．求．例4.（2023.江蘇九年級月考）已知AD是的高，點D在線段BC上，且，，作于點E，于點F，連接EF并延長，交BC的延長線于點G，求CG．例5.（2023.廣東九年級專項訓練）如圖，在中，的外角平分線與邊BC的延長線交于點P，的平分線與邊CA交于點Q，的平分線與邊AB交于點R，求證：P、Q、R三點共線．例6．（2023上·廣東深圳·九年級校聯(lián)考期中）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖1，如果一條直線與的三邊或它們的延長線交于三點，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關知識證明該定理的部分過程：證明：如圖2，過點作，交的延長線于點，則有，，∴，．請用上述定理的證明方法解決以下問題：

（1）如圖3，三邊的延長線分別交直線于三點，證明：．請用上述定理的證明方法或結論解決以下問題：（2）如圖4，等邊的邊長為3，點為的中點，點在上，且與交于點，試求的長．（3）如圖5，的面積為4，F(xiàn)為中點，延長至，使，連接交于，求四邊形的面積．例7．（2023.山東九年級月考）如圖：P，Q，R分別是△ABC的BC，CA，AB邊上的點．若AP，BQ，CR相交于一點M，求證：．例8.（2023.浙江九年級期中）如圖，在銳角△ABC中，AD是BC邊上的高線，H是線段AD內(nèi)任一點，BH和CH的延長線分別交AC、AB于E、F，求證：∠EDH=∠FDH。例9.（2023.北京九年級月考如圖，四邊形ABCD的對邊AB和CD，AD、BC分別相交于L、K，對角線AC與BD交于點M，直線KL與BD，AC分別交于F、G，求證：.例10．（2022·山西晉中·統(tǒng)考一模）請閱讀下列材料，并完成相應任務：塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數(shù)學家．定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在內(nèi)任取一點，延長AO，BO，CO分別交對邊于D，E，F(xiàn)，則．數(shù)學意義：使用塞瓦定理可以進行直線形中線段長度比例的計算，其逆定理還可以用來進行三點共線、三線共點等問題的判定方法，是平面幾何學以及射影幾何學中的一項基本定理，具有重要的作用．任務解決：(1)如圖2，當點D，E分別為邊BC，AC的中點時，求證：點F為AB的中點；(2)若為等邊三角形（圖3），，，點D是BC邊的中點，求BF的長，并直接寫出的面積．課后專項訓練1．（2023.廣東九年級期中）如圖，在△ABC中，M是AC的中點，E是AB上一點，AE＝AB，連接EM并延長，交BC的延長線于D，則＝（）A． B．2 C． D．2.（2023.浙江九年級期中）如圖，D、E、F內(nèi)分正△ABC的三邊AB、BC、AC均為1：2兩部分，AD、BE、CF相交成的△PQR的面積是△ABC的面積的（）A． B． C． D．3．（廣東2023-2024學年九年級上學期月考數(shù)學試題）如圖，在中，，，，，垂足為D，E為的中點，與交于點F，則的長為．

4．（2022年山西中考一模數(shù)學試題）如圖，在中，，，．是邊上的中線．將沿方向平移得到．與相交于點，連接并延長，與邊相交于點．當點為的中點時，的長為．

5．（2022年山西省太原市九年級下學期一模數(shù)學試題）如圖，為的直徑，C為上一點，的切線交的延長線于點D，E為的中點，交的延長線于點F．若，，則的長為．6．（2023年山西中考模擬百校聯(lián)考數(shù)學試題）如圖，在□ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，，，的平分線分別交AC，BC于點E，F(xiàn)．則線段OE的長為．7．（2023下·浙江溫州·八年級