專題52幾何概型（1）了解隨機數的意義，能運用模擬方法估計概率.（2）了解幾何概型的意義.一、幾何概型1．幾何概型的概念如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱為幾何概型.2．幾何概型的特點（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結果（基本事件）有無限多個.（2）每個基本事件發(fā)生的可能性相等.3．幾何概型的概率計算公式.4．必記結論（1）與長度有關的幾何概型，其基本事件只與一個連續(xù)的變量有關；（2）與面積有關的幾何概型，其基本事件與兩個連續(xù)的變量有關，若已知圖形不明確，可將兩個變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決問題；（3）與體積有關的幾何概型.二、隨機模擬用計算器或計算機模擬試驗的方法為隨機模擬方法或蒙特卡羅方法.這個方法的基本步驟是：（1）用計算器或計算機產生某個范圍內的隨機數，并賦予每個隨機數一定的意義；（2）統(tǒng)計代表某意義的隨機數的個數M和總的隨機數個數N；（3）計算頻率作為所求概率的近似值.注意，用隨機模擬方法得到的結果只能是概率的近似值或估計值，每次試驗得到的結果可能不同，而所求事件的概率是一個確定的數值.考向一與長度有關的幾何概型求解與長度有關的幾何概型的問題的關鍵是將所有基本事件及事件包含的基本事件轉化為相應長度，進而求解．此處的“長度”可以是線段的長短，也可以是時間的長短等.注意：在尋找事件發(fā)生對應的區(qū)域時，確定邊界點是問題的關鍵，但邊界點能否取到不會影響事件的概率.典例1某學校星期一至星期五每天上午都安排五節(jié)課,每節(jié)課的時間為40分鐘．第一節(jié)課上課的時間為7:50~8:30,課間休息10分鐘．某同學請假后返校,若他在8:50~9:30之間到達教室,則他聽第二節(jié)課的時間不少于10分鐘的概率是A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得第二節(jié)課上課的時間為8:40~9:20,該同學到達教室的時間總長度為40,其中在8:50~9:10進入教室時,聽第二節(jié)課的時間不少于10分鐘,其時間長度為20,故所求概率為.選A．典例2在區(qū)間上隨機抽取一個數,則事件“”發(fā)生的概率為A． B．C． D．【答案】A【解析】區(qū)間的長度為2，由可得，所以所求事件的概率為P=.故選A.1．取一根長度為的繩子，拉直后在任意位置剪斷，則剪得的兩段繩有一段長度不小于的概率是A． B．C． D．2．某電視臺每天11:30—12:00播放“中國夢”主題的紀錄片，在此期間會隨機播放一次4分鐘完整的有關中國夢的歌曲，小張從11:43開始觀看該電視臺的這檔節(jié)目，則他聽到完整的有關中國夢歌曲的概率為________.考向二與面積有關的幾何概型求解與面積有關的幾何概型的問題的關鍵是構造出隨機事件對應的幾何圖形，利用圖形的幾何特征找出兩個“面積”，套用幾何概型的概率計算公式，從而求得隨機事件的概率.必要時可根據題意構造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結果構成的平面圖形，以便求解．“面積比”是求幾何概型的一種重要的方法.典例3已知菱形ABCD的邊長為4，，若在菱形內取一點，則該點到菱形的四個頂點的距離均大于1的概率為A． B．C． D．【答案】D【解析】分別以A，B，C，D為圓心，1為半徑作圓，則概率對應的面積為陰影部分，由四個圓在菱形內的扇形夾角之和為2π，可得對應的四個扇形之和的面積為一個整圓的面積S＝π×12＝π，∵S菱形ABCD＝AB?BCsin4×48，∴S陰影＝S菱形ABCD﹣S＝8﹣π×12＝8﹣π．因此，該點到菱形的四個頂點的距離均大于1的概率P.故選D．典例4如圖,已知A(a,0)(a>0),B是函數f(x)=2x2圖象上的一點,C(0,2),若在矩形OABC內任取一點P,則點P落在陰影部分的概率為________.【答案】【解析】因為OABC是矩形,所以B(a,2),又B是函數f(x)=2x2圖象上的一點,得B(1,2),所以A(1,0).陰影部分的面積S1=

dx=(2xx3)=2×1×13=,矩形OABC的面積S=1×2=2.所以所求事件的概率為P=.3．已知關于，的不等式組表示的平面區(qū)域為，在區(qū)域內隨機取一點，則的概率為A． B．C． D．4．在區(qū)間[?π,π]上隨機取兩個實數a,b，記向量OA=(a,4b)A． B．C． D．考向三與體積有關的幾何概型的求法用體積計算概率時，要注意所求概率與所求事件構成的區(qū)域的體積的關系，準確計算出所求事件構成的區(qū)域的體積，確定出基本事件構成的區(qū)域的體積，求體積比即可.一般當所給隨機事件是用三個連續(xù)變量進行描述或當概率問題涉及體積時，可以考慮用此方法求解.典例5一只小蜜蜂在一個棱長為30的正方體玻璃容器內隨機飛行,若蜜蜂在飛行過程中與正方體玻璃容器六個表面中至少有一個的距離不大于10,則就有可能撞到玻璃上而不安全,即始終保持與正方體玻璃容器六個表面的距離均大于10,飛行才是安全的.假設蜜蜂在正方體玻璃容器內飛行到任意位置的可能性相等,那么蜜蜂飛行安全的概率是A． B．C． D．【答案】C【解析】記“蜜蜂能夠安全飛行”為事件A,則它在與正方體玻璃容器六個表面的距離均大于10的區(qū)域d內飛行時是安全的,故區(qū)域d為棱長為10的正方體,所以P(A)=.故選C．5．陽馬，中國古代算術中的一種幾何形體，是底面長方形，兩個三角面與底面垂直的四棱錐體，在陽馬中，為陽馬中最長的棱，，若在陽馬的外接球內部隨機取一點，則該點位于陽馬內的概率為A． B．C． D．考向四隨機模擬的應用利用隨機模擬試驗可以近似計算不規(guī)則圖形A的面積，解題的依據是根據隨機模擬估計概率，然后根據列等式求解.典例6《周髀算經》中給出了勾股定理的絕妙證明,如圖是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成朱(紅)色及黃色,其面積分別稱朱實、黃實,利用2×勾×股+(股勾)2=4×朱實+黃實=弦實,化簡得勾2+股2=弦2.設勾股形中勾股比為1∶,若向弦圖內隨機拋擲3000顆圖釘,則落在黃色圖形內的圖釘數約為(≈1.732)A．134 B．268C．402 D．536【答案】C【解析】設大正方形的邊長為2，由圖中直角三角形的兩直角邊長之比為1∶，可得小正方形的邊長為1，所以小正方形與大正方形的面積比值為=，所以落在小正方形內的圖釘數為()×3000≈(1×1.732)×3000=402.故選C.6．關于圓周率，數學發(fā)展史上出現(xiàn)過很多有創(chuàng)意的求法，如著名的蒲豐試驗，受其啟發(fā)，我們也可以通過設計下面的試驗來估計的值，試驗步驟如下：①先請高二年級名同學每人在小卡片上隨機寫下一個實數對；②若卡片上的，能與構成銳角三角形，則將此卡片上交；③統(tǒng)計上交的卡片數，記為；④根據統(tǒng)計數，估計的值.那么可以估計的值約為A． B．C． D．1．在內任取一個實數，則的概率為A． B．C． D．2．在區(qū)間上任取一個實數，使得方程表示雙曲線的概率為A． B．C． D．3．在?5,5上隨機取一個實數m，能使函數fx=xA． B．C． D．4．在直角坐標系中,任取n個滿足x2+y2≤1的點(x,y),其中滿足|x|+|y|≤1的點有m個,則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為A． B．C． D．5．趙爽是三國時期吳國的數學家，他創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，也稱“趙爽弦圖”，如圖，若在大正方形內隨機取一點，這一點落在小正方形內的概率為，則勾與股的比為A． B．C． D．6．如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,以A為圓心、1為半徑作圓弧DE,點E在線段AB上,在圓弧DE上任取一點P,則直線AP與線段BC有公共點的概率是A． B．C． D．7．1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了勾股定理的一種證明方法，即在如圖的直角梯形中，利用“兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三角形的面積之和等于直角梯形面積”，可以簡潔明了地推證出勾股定理.1881年加菲爾德就任美國第二十任總統(tǒng).后來，人們?yōu)榱思o念他對勾股定理直觀、易懂的證明，就把這一證明方法稱為“總統(tǒng)證法”.如圖，設，在梯形中隨機取一點，則此點取自等腰直角中（陰影部分）的概率是A． B．C． D．8．已知函數為自然對數的底數)的圖象與直線軸圍成的區(qū)域為,直線與軸、軸圍成的區(qū)域為,在區(qū)域內任取一點,則該點落在區(qū)域內的概率為A． B．C． D．9．已知圓C的半徑為2，在圓內隨機取一點P，并以P為中點作弦AB，則弦長的概率為A． B．C． D．10．《九章算術》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊長分別為5步和12步，問其內切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內隨機投一粒豆子，則豆子落在其內切圓外的概率是A． B．C． D．11．已知實數x∈2,30，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x不小于103A． B．C． D．12．趙爽是我國古代的數學家、天文學家，大約在公元222年，趙爽為《周碑算經》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的）.類比“趙爽弦圖”，可類似地構造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設DF=2AF=2，若在大等邊三角形中隨機取一點，則此點取自小等邊三角形的概率是A． B．C． D．13．“割圓術”是劉徽最突出的數學成就之一，他在《九章算術注》中提出割圓術，并作為計算圓的周長、面積以及圓周率的基礎.劉徽把圓內接正多邊形的面積一直算到了正3072邊形，并由此而求得了圓周率為3.1415和3.1416這兩個近似數值，這個結果是當時世界上圓周率計算的最精確數據.如圖，當分割到圓內接正六邊形時，某同學利用計算機隨機模擬法向圓內隨機投擲點，計算得出該點落在正六邊形內的頻率為0.8269，那么通過該實驗計算出來的圓周率近似值為（參考數據：）A．3.1419 B．3.1417C．3.1415 D．3.141314．已知P是所在平面內一點，PB+PC+2PA=0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在A． B．C． D．15．有一根長為1米的細繩,將細繩隨機剪斷,則兩截的長度都大于

米的概率為__________.16．若在區(qū)間[0,4]上隨機選取一個數x,使x≥a的概率為,則a=__________.

17．如圖，在平面直角坐標系xOy內，以x軸的正半軸為始邊，射線OT落在420°角的終邊上，射線OT'落在?60°角的終邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在陰影部分內的概率為__________.18．一個正方體的外接球的表面積為48π,從這個正方體內任取一點,則該點取自正方體的內切球內的概率為__________.19．如圖，矩形的長為，寬為，在矩形內隨機地撒顆黃豆，數得落在陰影部分的黃豆為顆，則我們可以估計出陰影部分的面積約為__________．20．中國象棋是中華文化的瑰寶，中國象棋棋盤上的“米”字形方框叫做九宮，取意后天八卦中的九星方位圖.現(xiàn)有一張中國象棋棋盤如圖所示.若在該棋盤矩形區(qū)域內（其中楚河，漢界寬度等于每個小格的邊長）隨機地取一點，則該點落在九宮內的概率是__________．21．在區(qū)間內隨機地取出兩個實數，則這兩個實數之和小于的概率是__________．22．某班早晨7：30開始上早讀課，該班學生小陳和小李在早上7：10至7：30之間到班，且兩人在此時間段的任何時刻到班是等可能的.(1)在平面直角坐標系中畫出兩人到班的所有可能結果表示的區(qū)域；(2)求小陳比小李至少晚5分鐘到班的概率.23．執(zhí)行如圖所示的程序框圖后，記“輸出是好點”為事件A．（1）若為區(qū)間內的整數值隨機數，為區(qū)間內的整數值隨機數，求事件A發(fā)生的概率；（2）若為區(qū)間內的均勻隨機數，為區(qū)間內的均勻隨機數，求事件A發(fā)生的概率．24．已知圓C:(x?1)2(1)若a是從1,2,3三個數中任取的一個數,b是從0,1,2三個數中任取的一個數,求點(a,b)在圓C內的概率;(2)若a是從區(qū)間[1,3]任取的一個數,b是從區(qū)間[0,2]任取的一個數,求點(a,b)在圓C外的概率.25．已知函數

).(1)若從集合中任取一個元素從集合中任取一個元素,求方程有實根的概率;(2)若從區(qū)間中任取一個數從區(qū)間中任取一個數,求方程沒有實根的概率.1．（2018新課標全國Ⅰ理科）下圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ．在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則A．p1=p2 B．p1=p3C．p2=p3 D．p1=p2+p32．（2017新課標全國Ⅰ理科）如圖，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱.在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是A． B．C． D．3．（2016新課標全國Ⅰ理科）某公司的班車在7:30，8:00，8:30發(fā)車，小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是A． B．C． D．4．（2017江蘇）記函數的定義域為．在區(qū)間上隨機取一個數，則的概率是▲．5．（2016山東理科）在上隨機地取一個數k，則事件“直線y=kx與圓相交”發(fā)生的概率為.變式拓展變式拓展1．【答案】A【解析】設其中一段的長度為，可得出另一段的長度為，由于剪得的兩段繩有一段長度不小于，則或，可得或.由于，所以或.由幾何概型的概率公式可知，事件“剪得的兩段繩有一段長度不小于”的概率為，故選A．2．【答案】【解析】由題意：要使每天11:30—12:00播放紀錄片時，能播放一次4分鐘完整的有關中國夢的歌曲，則開始播放歌曲的時間應在11:30—11:56的任意時刻，共26分鐘，小張從11:43開始觀看，若他聽到完整的歌曲，則開始播放歌曲的時間應在11:43—11:56的任意時刻，共13分鐘，由幾何概型的概率公式可得所求的概率為．故答案為．3．【答案】C【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如下圖中陰影部分所示（及其內部），由題意可知所求概率，易得，，，，則，，所以，故選C．4．【答案】B【解析】在區(qū)間[?π,π]上隨機取兩個實數a,b，則點因為OA=(a,4b)，OB=(4a,b)，所以OA?因為OA?·?OB則點a,b在以原點為圓心、π為半徑的圓外，且在以2π為邊長的正方形內，所以的概率為.故選B．5．【答案】C【解析】根據題意，的長等于其外接球的直徑，∵，∴，∴，又平面，∴，∴該點位于陽馬內的概率為.故選C.6．【答案】C【解析】由題意，實數對，即面積為1，且卡片上的，能與構成銳角三角形，即滿足，且，所以面積為，所以，能與構成銳角三角形的概率為，由題意知.故選C.專題沖關專題沖關1．【答案】C【解析】若,則在內，所以所求概率為.選C．2．【答案】D【解析】若方程表示雙曲線，則，解得.在區(qū)間上任取一個實數，當時，題中方程表示雙曲線，由幾何概型，可得所求概率為.故選D．3．【答案】B【解析】因為函數fx=x2+2mx+2在上有零點，所以Δ=2m所以有零點的概率為.4．【答案】D【解析】畫出可行域,如圖所示,四邊形ABCD的面積為2,其中圓O的面積為π.由幾何概型的概率公式,可得,則π=,故選D．5．【答案】B【解析】由圖形可知，小正方形的邊長為，小正方形的面積為，又大正方形的面積為，，即，解得.故選B.6．【答案】B【解析】連接AC,交圓弧DE于點M.在中,AB=,BC=1,所以tan∠BAC=,即∠BAC=.要使直線AP與線段BC有公共點,則點P必須在圓弧EM上,于是所求概率為P=.故選B．7．【答案】C【解析】在中，，，則此點取自等腰直角中（陰影部分）的概率，故選C．8．【答案】A【解析】由題意，區(qū)域F的面積為e;區(qū)域E的面積S==,所以在區(qū)域內任取一點,則該點落在區(qū)域內的概率為.9．【答案】B【解析】如圖所示：當時，此時，若，則點P必須位于以點C為圓心，半徑為1和半徑為2的圓環(huán)內，所以弦長的概率為：.故選B．10．【答案】C【解析】如圖所示，直角三角形的斜邊長為，設內切圓的半徑為，則，解得.所以內切圓的面積為，所以豆子落在內切圓外部的概率.故選C.11．【答案】B【解析】已知實數x∈2,30經過第一次循環(huán)，得到x=2x+1,n=2；經過第二次循環(huán)，得到x=22x+1經過第三次循環(huán)，得到x=222x+1+1+1,n=4輸出的值為8x+7，令8x+7≥103，得x≥12，由幾何概型的概率計算公式，得到輸出的x不小于103的概率為，故選B．12．【答案】A【解析】在中，，，，由余弦定理，得，所以.故所求概率為.故選A．13．【答案】A【解析】設圓的半徑為，則圓的面積為，正六邊形的面積為，因而所求該實驗的概率為，則.故選A.14．【答案】B【解析】如圖，以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，則，∴，得，由此可得P是的邊BC上的中線AO的中點，則點P到BC的距離等于A到BC的距離的，∴．將一粒黃豆隨機撒在內，則黃豆落在內的概率為.故選B.15．【答案】【解析】將細繩八等分,如圖,C和D分別是第一個和最后一個等分點,則在線段CD(不包括端點)的任意位置剪斷得到的兩截細繩的長度都大于

米.由幾何概型的概率計算公式得,兩截的長度都大于

米的概率為.16．【答案】3【解析】由題意得[0,4]與[a,+∞)的交集在數軸上的長度為1，即x≥a的概率P=，解得a=3.17．【答案】【解析】由題可得∠yOT=90°?(420°?360°)=30°，∠xOT'=60°，根據幾何概型的概率計算公式，可得射線OA落在陰影部分內的概率為．18．【答案】【解析】因為一個正方體的外接球的表面積為48π,所以這個正方體的棱長為4,而棱長為4的正方體的體積為43,該正方體的內切球的半徑為2,體積為×23,所以所求概率P=.19．【答案】【解析】矩形的長為，寬為，則矩形的面積為，設陰影部分區(qū)域的面積為.由題意可得，解得.故答案為.20．【答案】【解析】總的基本事件構成整個棋盤，構成的面積為，而隨機取一點，該點落在九宮內這件事情構成的面積為，設為該點落在九宮內的概率，則.21．【答案】【解析】取，所在區(qū)域是邊長為的正方形區(qū)域，面積為，直線上方正方形區(qū)域的面積為，直線下方正方形區(qū)域的面積，由幾何概型的概率公式可得，這兩個實數之和小于的概率是，故答案為.22．【解析】（1）用分別表示小陳、小李到班的時間，則，所有可能結果對應坐標平面內一個正方形區(qū)域ABCD，如圖所示．（2）小陳比小李至少晚到5分鐘，即，對應區(qū)域為，則所求概率為．23．【解析】（1）由題意，若為區(qū)間內的整數值隨機數，為區(qū)間內的整數值隨機數，則可產生個點，事件A發(fā)生，則，好點為：，共12個點，∴.（2）由題意，試驗的全部結果構成的區(qū)域，其面積為10，構成事件A的區(qū)域，其面積為，∴．24．【解析】(1)用數對a,b表示基本事件,則其所有可能結果有(1,0),(1,1),(1,2),

3,1,(3,2)，共9設事件A={點(a,b)在圓C其結果為:(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)，共4個,所以P(A)=(2)所有可能的結果Ω={(a,b)|1≤a≤3設事件B={點(a,b)在圓C外}，其表示的區(qū)域為圖中陰影部分,所以P(B)=.25．【解析】(1)的取值情況是:,其中第一個數表示的取值,第二個數