第三章

空間向量與立體幾何

空間中的角（二）1.會(huì)用向量法求二面角的大小.2.能正確區(qū)分兩個(gè)平面的法向量所成的角與二面角的平面角的不同.探究1

兩平面相交，有幾個(gè)二面角？提示有4個(gè)二面角.探究2

二面角的平面角與兩平面的法向量的夾角有何關(guān)系？提示

二面角的平面角與兩平面的法向量的夾角相等或互補(bǔ).1.一般地，已知n1，n2分別為平面α，β的法向量，則二面角α－l－β的平面角與兩法向量所成角〈n1，n2〉______

(如圖(1))或______

(如圖(2)).相等互補(bǔ)例1以A為原點(diǎn)，AB，AD，AS所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).因?yàn)锳D⊥平面SAB，思維升華(鏈接教材P149復(fù)習(xí)題三A組T17)在正方體ABCD－A′B′C′D′中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱D′C′，B′C′的中點(diǎn).求平面EFC與底面ABCD夾角的正切值.訓(xùn)練1建系如圖，設(shè)AB＝1.例2如圖，在幾何體S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求二面角B－AS－D的平面角的余弦值.如圖，在平面SCD中，過(guò)點(diǎn)D作DC的垂線交SC于E，以D為原點(diǎn)，以DC，DE，DA所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.思維升華用向量法求二面角與用向量法求兩平面的夾角的方法和步驟類(lèi)似在求二面角的大小(或其余弦值)時(shí)，容易因分辨不清二面角的平面角是銳角還是鈍角致誤.確定方法有：①根據(jù)幾何圖形直觀判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，從而決定其余弦值的正負(fù)；②依據(jù)“同進(jìn)同出互補(bǔ)，一進(jìn)一出相等”求解.訓(xùn)練2以C為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C－xyz.例3A.30° B.45°

C.60°

D.90°√12(2)(鏈接教材P133例11)如圖所示，在120°的二面角α－l－β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，則線段CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______.因?yàn)锳C⊥AB，BD⊥AB，＝3×62＋2×62×cos60°＝144，所以CD＝12.思維升華(1)求解與二面角有關(guān)的距離問(wèn)題，涉及到的兩直線的方向向量所成的角是二面角的平面角或其補(bǔ)角，要結(jié)合實(shí)際圖形確定對(duì)應(yīng)的向量所成的角.(2)此類(lèi)問(wèn)題常利用基底思想及向量模的性質(zhì)求解.訓(xùn)練3√(2)在平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，則PC的長(zhǎng)為_(kāi)_______.71、背誦記憶求兩平面夾角的兩種向量方法2、背誦記憶求解二面角的步驟與方法√√建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.4.如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，AA1＝AB＝2AD，E為C1D1的中點(diǎn)，則二面角B1－A1B－E的平面角的余弦值為_(kāi)_______.取x＝1，則y＝z＝1，所以m＝(1，1，1).又因?yàn)镈A⊥平面A1B1B，1、把課堂檢測(cè)習(xí)題同桌互批，各組長(zhǎng)將檢測(cè)結(jié)果匯總交給老師2、