第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年北京171中學(xué)高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集U=R，集合M={x|x>2}，N={x|1<x<3}，那么陰影部分表示的集合為(

)A.{x|x>2} B.{x|x≤2} C.{x|x≥2} D.{x|x≤1}2.如果復(fù)數(shù)2+bii(b∈R)的實(shí)部與虛部相等，那么b=(

)A.?2 B.1 C.2 D.43.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a3=2，A.6 B.7 C.8 D.94.已知函數(shù)f(x)=2x?log2xA.(0,1) B.(?∞,2) C.(2,+∞) D.(0,2)5.已知拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段PF的垂直平分線(xiàn)與x=?1交于點(diǎn)Q，那么(

)A.|QF|≥|PF| B.|QF|>|PF| C.|QF|≤|PF| D.|QF|<|PF|6.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)在(π2,π)A.(13,2] B.(23,2]7.在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∠BAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D.若AD=λAB+μAC(λ,μ∈R)A.13 B.12 C.2 8.已知數(shù)列{an}為無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)的和，“S1>0，且S2>0A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不必要又不充分條件9.已知在三棱錐P?ABC中，PA=BC=234,PB=AC=10,PC=AB=241，則三棱錐A.40 B.80 C.160 D.24010.恩格斯曾經(jīng)把對(duì)數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始和微積分的建立稱(chēng)為十七世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.其中對(duì)數(shù)的發(fā)明，曾被十八世紀(jì)法國(guó)大數(shù)學(xué)家拉普拉斯評(píng)價(jià)為“用縮短計(jì)算時(shí)間延長(zhǎng)了天文學(xué)家的壽命”.已知正整數(shù)N的70次方是一個(gè)83位數(shù)，由下面表格中部分對(duì)數(shù)的近似值(精確到0.001)，可得N的值為(

)M2371113lgM0.3010.4770.8451.0411.114A.13 B.14 C.15 D.16二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數(shù)f(x)=4?x12.(x+ax)5(x∈R)的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為1013.已知直線(xiàn)y=2x與雙曲線(xiàn)C：x2a2?14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B為圓(x?2)2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(cosθ,sinθ)，其中θ為常數(shù)且0≤θ≤π.如果OA?OB的最大值為015.已知函數(shù)f(x)=|ax?1|,x≤1,(a?2)(x?1),x>1.其中a>0且a≠1.給出下列四個(gè)結(jié)論：

①若a≠2，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是0;

②若函數(shù)f(x)無(wú)最小值，則a的取值范圍為(0,1)；

③若a>2，則f(x)在區(qū)間(?∞,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增;

④若關(guān)于x的方程f(x)=a?2恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，x3，則a的取值范圍為(2,3)，且x1三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題13分)

已知在△ABC中，acosB+bcosA=2ccosA．

(1)求A的大小；

(2)若c=4，在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一，求△ABC的周長(zhǎng)．

①△ABC的面積為53；

②a=13；

③AB邊上的高線(xiàn)CD長(zhǎng)為17.(本小題14分)

如圖，矩形ACFE，AE=1，AE⊥平面ABCD，AB//CD，∠BAD=90°，AB=1，AD=CD=2，平面ADF與棱BE交于點(diǎn)G．

(1)求證：AG//DF；

(2)求直線(xiàn)CF與平面ADF夾角的正弦值；

(3)求BGBE的值．18.(本小題13分)

在2021年12月9日發(fā)布的《北京市義務(wù)教育體育與健康考核評(píng)價(jià)方案》中，義務(wù)教育體育與健康考核評(píng)價(jià)包括過(guò)程性考核與現(xiàn)場(chǎng)考試兩部分，總分值70分.其中過(guò)程性考核40分，現(xiàn)場(chǎng)考試30分.該評(píng)價(jià)方案從公布之日施行，分學(xué)段過(guò)渡、逐步推開(kāi).現(xiàn)場(chǎng)考試采取分類(lèi)限選的方式，把內(nèi)容劃分了四類(lèi)，必考、選考共設(shè)置22項(xiàng)考試內(nèi)容．

某區(qū)在九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1100名男生和1000名女生作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查，其中男生和女生選考乒乓球的比例分別為10%和5%，選考1分鐘跳繩的比例分別為40%和50%.假設(shè)選考項(xiàng)目中所有學(xué)生選擇每一項(xiàng)相互獨(dú)立．

(Ⅰ)從該區(qū)所有九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，估計(jì)該學(xué)生選考乒乓球的概率；

(Ⅱ)從該區(qū)九年級(jí)全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為這3人中選考1分鐘跳繩的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX；

(Ⅲ)已知乒乓球考試滿(mǎn)分8分.在該區(qū)一次九年級(jí)模擬考試中，樣本中選考乒乓球的男生有60人得8分，40人得7.5分，其余男生得7分；樣本中選考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.記這次模擬考試中，選考乒乓球的所有學(xué)生的乒乓球平均分的估計(jì)值為μ1，其中男生的乒乓球平均分的估計(jì)值為μ2，試比較μ1與μ219.(本小題15分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，且橢圓E的左頂點(diǎn)A，上頂點(diǎn)B，下頂點(diǎn)C圍成的三角形的面積為2．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)已知點(diǎn)D(0,2)，直線(xiàn)AD交橢圓E于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)交橢圓于M，N兩點(diǎn)，若直線(xiàn)CM與x軸交于P20.(本小題15分)

已知f(x)=ex?ax+12x2，其中a>?1．

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線(xiàn)方程；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；

(3)若f(x)≥21.(本小題15分)

已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第im項(xiàng)(i1<i2<…<im)，若ai1<ai2<…<aim，則稱(chēng)新數(shù)列ai1,ai2,…,aim為{an}的長(zhǎng)度為m的遞增子列，若ai1>ai2>…>aim，則稱(chēng)新數(shù)列ai1,ai2,…,aim為{an}的長(zhǎng)度為m的遞減子列，遞增子列和遞減子列統(tǒng)稱(chēng)為{an參考答案1.D

2.A

3.D

4.D

5.A

6.C

7.B

8.A

9.C

10.C

11.[?2,0)∪(0,2]

12.2

13.2(答案不唯一)

14.23π

15.①④

16.解：(1)由正弦定理asinA=bsinB=csinC，得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，

所以sin(A+B)=2sinCcosA，

因?yàn)锳+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC，所以sinC=2sinCcosA，

因?yàn)镃∈(0,π)，sinC≠0，所以2cosA=1，即cosA=12，

又因?yàn)锳∈(0,π)，所以A=π3；

(2)選擇①：

因?yàn)镾△ABC=53，即12bcsinA=53，

即12×b×4×32=53，所以b=5，

又因?yàn)閍2=b2+c2?2bccosA，即a2=25+16?2×5×4×12，

所以a=21，所以△ABC的周長(zhǎng)為9+21；

選擇②：

因?yàn)閍=13，17.(1)證明：由題知，∵矩形ACFE，∴AE//CF，

∵AB/?/CD，且AE?平面AEB，AB?平面AEB，AE∩AB=A，CF?平面CFD，CD?平面CFD，CF∩CD=C，∴平面AEB//平面CFD，

∵平面ADF與棱BE交于點(diǎn)G，且BE?平面AEB，∵平面ADF∩平面AEB=AG，平面ADF∩平面CFD=DF，平面AEB//平面CFD，

故AG//DF；

(2)解：矩形ACFE，AE=1，AE⊥平面ABCD，AB/?/CD，∠BAD=90°，AB=1，AD=CD=2，

由題知，AE⊥平面ABCD，且∠BAD=90°，∴AB，AD，AF兩兩垂直，

以A為原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸，AD方向?yàn)閥軸，AE方向?yàn)閦軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E(0,0,1)，F(xiàn)(2,2,1)，

∴AF=(2,2,1),AD=(0,2,0),CF=(0,0,1)，

設(shè)平面ADF的法向量為n=(x,y,z)，則有n?AF=0n?AD=0，

即2x+2y+z=02y=0，不妨令x=1，可得n=(1,0,?2)，

記直線(xiàn)CF與平面ADF夾角為α，∴sinα=|cos?n,CF?|=|n?CF|n|?|CF||=|?25|=255，

故直線(xiàn)CF與平面ADF夾角的正弦值為2518.解：(Ⅰ)樣本中選考乒乓球的男生的人數(shù)為1100×10%=110人，女生的人數(shù)為1000×5%=50人，

設(shè)從該區(qū)所有九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，該學(xué)生選考乒乓球?yàn)槭录嗀，

則該學(xué)生選考乒乓球的概率P(A)=110+501100+1000=8105；

(Ⅱ)設(shè)從該區(qū)九年級(jí)全體男生中隨機(jī)抽取1人，選考跳繩為事件B，

從該區(qū)九年級(jí)全體女生中隨機(jī)抽取1人，選考跳繩為事件C，

由題意P(B)=0.4，P(C)=0.5，

由題意可知，X的所有可能取值為0，1，2，3，

則P(X=0)=(1?0.4)2×(1?0.5)=0.18，P(X=1)=C21X0123P0.180.420.320.08所以E(X)=0×0.18+1×0.42+2×0.32+3×0.08=1.3；

(Ⅲ)由題意可知，μ1=100×8+40×7.5+20×7160=314，19.解：(Ⅰ)依題意：a2=b2+c2e=ca=3212×2b×a=2，解得a=2，b=1，c=3，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1；

(Ⅱ)如圖，

直線(xiàn)DA：y=x+2，y=x+2x2+4y2=4，

解得xE=?65，yE=45.若直線(xiàn)MN：x=0，

則|DQ||PQ|=32，若直線(xiàn)MN：y=kx+2，

設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，y=kx+2x220.解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=ex+12x2，函數(shù)定義域?yàn)镽，

可得f′(x)=ex+x，

此時(shí)f′(0)=1，

又f(0)=1，

所以曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線(xiàn)方程為y?1=1×(x?0)，

即y=x+1；

(2)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=ex?x+12x2，

可得f′(x)=ex?1+x，

令g(x)=ex?1+x，函數(shù)定義域?yàn)镽，

可得g′(x)=ex+1>0，g(x)單調(diào)遞增，

又f′(0)=0，

所以當(dāng)x≤0時(shí)，f′(x)≤f′(0)=0，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，

即函數(shù)f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)f(x)的極小值為f(0)=1，無(wú)極大值；

(3)若f(x)≥12x2+x+b對(duì)于x∈R恒成立，

即ex?(a+1)x?b≥0在x∈R恒成立．

設(shè)?(x)=ex?(a+1)x?b，函數(shù)定義域?yàn)镽，

可得?′(x)=ex?(a+1)，

因?yàn)閍>?1，

當(dāng)x<ln(a+1)時(shí)，?′(x)<0，?(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x>ln(a+1)時(shí)，?′(x)>0，?(x)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=ln(a+1)時(shí)，?(x)取得極小值，

極小值?(ln(a+1))=eln(a+1)?(a+1)ln(a+1)?b=(a+1)?(a+1)ln21.解：(Ⅰ)由題意知，數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的最長(zhǎng)單調(diào)子列為遞增子列，是1，3，5，6，9；

(Ⅱ)設(shè)長(zhǎng)度為q，末項(xiàng)為an0的遞增子列為ar1，ar2，…，arq?1，an0，

由P<q，可得arp≤arp?1≤an0，

因?yàn)閿?shù)列{an}的長(zhǎng)度為P的遞增子列的末項(xiàng)的