Page2025年菁優高考數學壓軸訓練22一．選擇題（共10小題）1．（2024?江西一模）中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯正式確認為世界足球運動的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺的中央，訴說中國傳統非遺故事．為弘揚中華傳統文化，某市四所高中各自組建了蹴鞠隊（分別記為“甲隊”“乙隊”“丙隊”“丁隊”進行單循環比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規則為每隊勝一場得3分，平場得1分，負一場得0分．若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率均為，則在比賽結束時丙隊在輸了第一場且其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為A． B． C． D．2．（2024?織金縣校級模擬）已知袋中有除顏色外形狀相同的紅、黑球共10個，設紅球的個數為，從中隨機取出3個球，取出2紅1黑的概率記為，當最大時，紅球個數為A．6 B．7 C．8 D．93．（2024?荊州模擬）已知隨機變量，且，則的最小值為A．9 B． C．4 D．64．（2024?蘇州三模）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號分別為0，1，2，，10，用表示小球最后落入格子的號碼，若，則A．4 B．5 C．6 D．75．（2024?菏澤二模）下列結論正確的是A．已知一組樣本數據，，，現有一組新的數據，，，，則與原樣本數據相比，新的數據平均數不變，方差變大 B．已知具有線性相關關系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數的值是4 C．50名學生在一模考試中的數學成績，已知，則，的人數為20人 D．已知隨機變量，若，則6．（2024?南開區一模）已知隨機變量，，且，則A． B． C． D．7．（2024?羅湖區校級模擬）設、、為互不相等的正實數，隨機變量和的分布列如表，若記，分別為，的方差，則下列說法正確的是A． B． C． D．與的大小關系與，，的取值有關8．（2024?遼寧一模）猜燈謎是中國元宵節特色活動之一．已知甲、乙、丙三人每人寫一個燈謎，分別放入三個完全相同的小球，三人約定每人隨機選一個球（不放回），猜出自己所選球內的燈謎者獲勝．若他們每人必能猜對自己寫的燈謎，并有的概率猜對其他人寫的燈謎，則甲獨自獲勝的概率為A． B． C． D．9．（2024?格爾木市模擬）小王、小張兩人進行象棋比賽，共比賽局，且每局小王獲勝的概率和小張獲勝的概率均為，如果某人獲勝的局數多于另一人，則此人贏得比賽．記小王贏得比賽的概率為，則下列結論錯誤的是A． B．（2）（1） C． D．隨著的增大而增大10．（2024?益陽模擬）秋冬季節是某呼吸道疾病的高發期，為了解該疾病的發病情況，疾控部門對該地區居民進行普查化驗，化驗結果陽性率為，但統計分析結果顯示患病率為．醫學研究表明化驗結果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗結果呈陽性的概率為0.01，則該地區患有該疾病的居民化驗結果呈陽性的概率為A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99二．多選題（共5小題）11．（2024?香坊區校級模擬）一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機取出2個球．事件“兩次取到的球顏色相同”；事件“第二次取到紅球”；事件“第一次取到紅球”．下列說法正確的是A． B．事件與事件是互斥事件 C． D．12．（2024?佛山一模）有一組樣本數據0，1，2，3，4，添加一個數形成一組新的數據，且，1，2，3，4，，則新的樣本數據A．極差不變的概率是 B．第25百分位數不變的概率是 C．平均值變大的概率是 D．方差變大的概率是13．（2024?越秀區校級一模）下列說法正確的是A．數據2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位數是4 B．若數據，，，，的標準差為，則數據，，，，的標準差為 C．隨機變量服從正態分布，若，則 D．隨機變量服從二項分布，若方差，則14．（2024?新鄭市校級一模）關于下列命題中，說法正確的是A．已知，若，，則 B．數據91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的分位數為78 C．已知，若，則 D．某校三個年級，高一有400人，高二有360人．現用分層抽樣的方法從全校抽取57人，已知從高一抽取了20人，則應從高三抽取19人15．（2024?袁州區校級三模）同時拋出兩枚質地均勻的骰子甲、乙，記事件：甲骰子點數為奇數，事件：乙骰子點數為偶數，事件：甲、乙骰子點數相同．下列說法正確的有A．事件與事件對立 B．事件與事件相互獨立 C．事件與事件相互獨立 D．（C）三．填空題（共5小題）16．（2024?江西一模）斐波那契數列，又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、，在數學上，斐波那契數列以如下遞推的方式定義：，，，，，，，且中，則中所有元素之和為奇數的概率為．17．（2024?廈門模擬）在維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標可表示為維坐標，，，，其中，，．則5維“立方體”的頂點個數是；定義：在維空間中兩點，，，與，，，的曼哈頓距離為．在5維“立方體”的頂點中任取兩個不同的頂點，記隨機變量為所取兩點間的曼哈頓距離，則．18．（2024?和平區二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強愛國主義情懷，某學校開展共青團知識競賽活動．在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關團史的問題，每個人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規定三名同學都回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率為；若規定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，，，則這個問題回答正確的概率為．19．（2024?魏都區校級三模）拋擲一枚不均勻的硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率為，記次拋擲后得到偶數次正面向上的概率為，則數列的通項公式．20．（2024?浙江模擬）甲、乙兩人玩游戲，規則如下：第局，甲贏的概率為；第局，乙贏的概率為．每一局沒有平局．規定：當其中一人贏的局數比另一人贏的局數多兩次時游戲結束．則游戲結束時，甲、乙兩人玩的局數的數學期望為．四．解答題（共5小題）21．（2024?香河縣校級模擬）人工智能（英語：，縮寫為亦稱智械、機器智能，指由人制造出來的可以表現出智能的機器．通常人工智能是指通過普通計算機程序來呈現人類智能的技術．人工智能的核心問題包括建構能夠跟人類似甚至超卓的推理、知識、規劃、學習、交流、感知、移物、使用工具和操控機械的能力等．當前有大共的工具應用了人工智能，其中包括搜索和數學優化、邏輯推演．而基于仿生學、認知心理學，以及基于概率論和經濟學的算法等等也在逐步探索當中．思維來源于大腦，而思維控制行為，行為需要意志去實現，而思維又是對所有數據采集的整理，相當于數據庫．某中學計劃在高一年級開設人工智能課程．為了解學生對人工筸能是否感興趣，隨機從該校高一年級學生中抽取了400人進行調查，整理得到如下列聯表：感興趣不感興趣合計男生18040220女生12060180合計300100400（1）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為對人工智能是否感興趣與性別有關聯？（2）從對人工智能感興趣的學生中按性別采用分層抽樣的方法隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人進行采訪，記隨機變量表示抽到的3人中女生的人數，求的分布列和數學期望．附：，其中．0.10.050.010.0050，0012.7063.8416.6357.87910.82822．（2024?江西一模）設是一個二維離散型隨機變量，它們的一切可能取的值為，，其中，，令，，稱是二維離散型隨機變量的聯合分布列．與一維的情形相似，我們也習慣于把二維離散型隨機變量的聯合分布列寫成下表形式：現有個相同的球等可能的放入編號為1，2，3的三個盒子中，記落下第1號盒子中的球的個數為，落入第2號盒子中的球的個數為．（1）當時，求的聯合分布列；（2）設，且，計算．23．（2024?黃山模擬）某校高三年級1000名學生的高考適應性演練數學成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間是，，，，，，，，，，，．（1）求圖中的值，并根據頻率分布直方圖，估計這1000名學生的這次考試數學成績的第85百分位數；（2）從這次數學成績位于，，，的學生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方．法抽取9人，再從這9人中隨機抽取3人，該3人中成績在區間，的人數記為，求的分布列及數學期望．24．（2024?河南模擬）某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發放節日紅包．在一個不透明的袋子中裝有個形狀大小相同的標有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機摸取個球，摸完后全部放回袋中，球上所標的面值之和為該員工所獲得的紅包數額．（1）若，，當袋中的球中有2個所標面值為40元，1個為50元，1個為60元時，在員工所獲得的紅包數額不低于90元的條件下，求取到面值為60元的球的概率；（2）若，，當袋中的球中有1個所標面值為10元，2個為20元，1個為30元，1個為40元時，求員工所獲得紅包數額的數學期望與方差．25．（2024?北京）某保險公司為了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同保險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：索賠次數01234保單份數800100603010假設：一份保單的保費為0.4萬元；前三次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元．假設不同保單的索賠次數相互獨立．用頻率估計概率．（1）估計一份保單索賠次數不少于2的概率；（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差．記為一份保單的毛利潤，估計的數學期望；如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與中估計值的大小，（結論不要求證明）

2025年菁優高考數學壓軸訓練22參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2024?江西一模）中國蹴鞠已有兩千三百多年的歷史，于2004年被國際足聯正式確認為世界足球運動的起源．蹴鞠在2022年卡塔爾世界杯上再次成為文化交流的媒介，走到世界舞臺的中央，訴說中國傳統非遺故事．為弘揚中華傳統文化，某市四所高中各自組建了蹴鞠隊（分別記為“甲隊”“乙隊”“丙隊”“丁隊”進行單循環比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規則為每隊勝一場得3分，平場得1分，負一場得0分．若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率均為，則在比賽結束時丙隊在輸了第一場且其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為A． B． C． D．【答案】【考點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率計算公式【專題】概率與統計；對應思想；定義法；數學運算【分析】根據丙是最高分可得丙余下兩場比賽全贏，再就甲乙、甲丁的輸贏（丙的第一場對手若為甲）分類討論后可得正確的選項．【解答】解：三隊中選一隊與丙比賽，丙輸，，例如是丙甲，若丙與乙、丁的兩場比賽一贏一平，則丙只得4分，這時，甲乙、甲丁兩場比賽中甲只能輸，否則甲的分數不小于4分，不合題意，在甲輸的情況下，乙、丁已有3分，那個它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意．若丙全贏（概率是時，丙得6分，其他3人分數最高為5分，這時甲乙，甲丁兩場比賽中甲不能贏，否則甲的分數不小于6分，（1）若甲乙，甲丁兩場比賽中甲一平一輸，則一平一輸的概率是，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時，丁不能贏，概率是，（2）若甲乙，甲丁兩場比賽中甲兩場均平，概率是，乙丁這場比賽無論結論如何均符合題意，（3）若甲乙，甲丁兩場比賽中甲都輸，概率是，乙丁這場比賽只能平，概率是．綜上，概率為，正確．故選：．【點評】本題考查相互獨立事件的應用，屬于中檔題．2．（2024?織金縣校級模擬）已知袋中有除顏色外形狀相同的紅、黑球共10個，設紅球的個數為，從中隨機取出3個球，取出2紅1黑的概率記為，當最大時，紅球個數為A．6 B．7 C．8 D．9【答案】【考點】概率的應用；排列組合的綜合應用；古典概型及其概率計算公式【專題】綜合法；概率與統計；計算題；數學運算；轉化思想；方程思想【分析】根據題意，由古典概型公式可得，根據求出，根據只能取正整數，得出，關系，即可求解．【解答】解：根據題意，10個球中，紅球個數為，從中隨機取出3個球，取出2紅1黑的概率記為，則，則，故，若，即，解可得，又由且，則有，，且，故．故選：．【點評】本題考查概率與不等式的綜合應用，涉及古典概型的計算，屬于中檔題．3．（2024?荊州模擬）已知隨機變量，且，則的最小值為A．9 B． C．4 D．6【答案】【考點】正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義【專題】數學運算；轉化法；概率與統計；方程思想；導數的綜合應用【分析】由已知結合正態分布曲線的對稱性求得，代入，再由導數求最值．【解答】解：，可得正態分布曲線的對稱軸為，又，，即．令，則，當時，，單調遞減，當，時，，單調遞增，則的最小值為．故選：．【點評】本題考查正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義，訓練了利用導數求最值，考查運算求解能力，是中檔題．4．（2024?蘇州三模）如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號分別為0，1，2，，10，用表示小球最后落入格子的號碼，若，則A．4 B．5 C．6 D．7【答案】【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）【專題】綜合法；數學運算；對應思想；概率與統計【分析】小球在下落過程中，共10次等可能向左或向右落下，則小球落入格子的號碼服從二項分布，且落入格子的號碼即向右次數，即，則，1，，，然后由二項式系數對稱性即可得解．【解答】解：小球在下落過程中，共10次等可能向左或向右落下，則小球落入格子的號碼服從二項分布，且落入格子的號碼即向右次數，即，所以，1，，，由二項式系數對稱性知，當時，最大，故．故選：．【點評】本題考查了二項分布及二項式系數的性質的應用，屬于中檔題．5．（2024?菏澤二模）下列結論正確的是A．已知一組樣本數據，，，現有一組新的數據，，，，則與原樣本數據相比，新的數據平均數不變，方差變大 B．已知具有線性相關關系的變量，，其線性回歸方程為，若樣本點的中心為，則實數的值是4 C．50名學生在一模考試中的數學成績，已知，則，的人數為20人 D．已知隨機變量，若，則【答案】【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）；重伯努利試驗與二項分布；正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義；用樣本估計總體的離散程度參數；經驗回歸方程與經驗回歸直線【專題】對應思想；綜合法；概率與統計；數學運算【分析】根據數據的數字特征即可判斷；根據線性回歸方程為過樣本點的中心即可判斷；根據正態分布的性質即可判斷；根據二項分布的性質即可判斷．【解答】解：對于，新數據的和為，故平均數不變，又，故原數據的極差為，新數據極差為，所以，所以極差變小了，由于平均數沒變，說明新數據相對于原數據更集中于平均數附近，故數據更穩定，所以方差應該變小，故錯誤；對于，因為線性回歸方程為過樣本點的中心，所以，解得，故錯誤；對于，因為，已知，所以，所以人數為人，故錯誤．對于，因為，所以，，解得，故正確．故選：．【點評】本題考查了概率統計的綜合應用，屬于中檔題．6．（2024?南開區一模）已知隨機變量，，且，則A． B． C． D．【答案】【考點】正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義；離散型隨機變量的均值（數學期望）【專題】數學運算；概率與統計；定義法；對應思想【分析】根據正態分布以及二項分布相關知識可解．【解答】解：因為隨機變量，，且，則，，根據正態分布性質可知，則，則．故選：．【點評】本題考查正態分布以及二項分布相關知識，屬于中檔題．7．（2024?羅湖區校級模擬）設、、為互不相等的正實數，隨機變量和的分布列如表，若記，分別為，的方差，則下列說法正確的是A． B． C． D．與的大小關系與，，的取值有關【答案】【考點】離散型隨機變量的方差與標準差【專題】綜合法；數學運算；概率與統計；對應思想【分析】根據離散型隨機變量的期望和方差的公式結合題中所給隨機變量和的分布列即可求解．【解答】解：由題，，故，，又，即，也即．故選：．【點評】本題考查了離散型隨機變量的期望和方差的有關計算，屬于中檔題．8．（2024?遼寧一模）猜燈謎是中國元宵節特色活動之一．已知甲、乙、丙三人每人寫一個燈謎，分別放入三個完全相同的小球，三人約定每人隨機選一個球（不放回），猜出自己所選球內的燈謎者獲勝．若他們每人必能猜對自己寫的燈謎，并有的概率猜對其他人寫的燈謎，則甲獨自獲勝的概率為A． B． C． D．【答案】【考點】古典概型及其概率計算公式；概率的應用【專題】綜合法；轉化思想；計算題；方程思想；概率與統計；數學運算【分析】根據題意，分2種情況討論甲獲勝的情況，由相互獨立事件的概率性質求出各自的概率，由互斥事件的概率公式計算可得答案．【解答】解：根據題意，若甲獨自獲勝，分2種情況討論：①甲抽到自己的燈謎，而乙、丙都沒有抽到自己的燈謎，甲乙丙三人每人隨機選一個球，有種抽取方法，若只有甲抽到自己的燈謎，有1種抽取方法，故只有甲抽到自己的燈謎的概率為，則此時甲獨自獲勝的概率，②甲乙丙都沒有抽到自己的燈謎，甲乙丙都沒有抽到自己的燈謎，甲有2種可能，乙、丙只有1種可能，則有種可能，故甲乙丙都沒有抽到自己的燈謎的概率為，則此時甲獨自獲勝的概率，故甲獨自獲勝的概率．故選：．【點評】本題考查互斥事件、相互獨立事件的概率計算，注意“甲獨自獲勝”的情形，屬于中檔題．9．（2024?格爾木市模擬）小王、小張兩人進行象棋比賽，共比賽局，且每局小王獲勝的概率和小張獲勝的概率均為，如果某人獲勝的局數多于另一人，則此人贏得比賽．記小王贏得比賽的概率為，則下列結論錯誤的是A． B．（2）（1） C． D．隨著的增大而增大【答案】【考點】相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式【專題】轉化思想；數學運算；邏輯推理；概率與統計；綜合法【分析】要使小王贏得比賽，則小王至少贏局，進而表達出，結合組合數公式求解得到，由此能求出結果．【解答】解：由題意知，要使小王贏得比賽，則小王至少贏局，則，，，，，，，（1），故正確；（2），（2）（1），故錯誤；，故正確；由，，，隨著的增大而增大，故正確，故選：．【點評】本題考查相互獨立事件概率乘法公式、組合數公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．10．（2024?益陽模擬）秋冬季節是某呼吸道疾病的高發期，為了解該疾病的發病情況，疾控部門對該地區居民進行普查化驗，化驗結果陽性率為，但統計分析結果顯示患病率為．醫學研究表明化驗結果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗結果呈陽性的概率為0.01，則該地區患有該疾病的居民化驗結果呈陽性的概率為A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.99【答案】【考點】條件概率【專題】數學運算；綜合法；計算題；轉化思想；概率與統計【分析】利用全概率公式和條件概率公式即可求得所求事件的概率．【解答】解：設“患有該疾病”，“化驗結果呈陽性”，由題意可知（A），（B），．（B）（A），，解得．患有該疾病的居民化驗結果呈陽性的概率為0.98．故選：．【點評】本題考查全概率公式的應用，考查運算求解能力，屬中檔題．二．多選題（共5小題）11．（2024?香坊區校級模擬）一個袋子中有4個紅球，6個綠球，采用不放回方式從中依次隨機取出2個球．事件“兩次取到的球顏色相同”；事件“第二次取到紅球”；事件“第一次取到紅球”．下列說法正確的是A． B．事件與事件是互斥事件 C． D．【答案】【考點】隨機事件；互斥事件與對立事件【專題】整體思想；綜合法；概率與統計；運算求解【分析】由已知先列舉出事件，，包含的基本事件，然后結合互斥事件的概念及古典概率公式檢驗各選項即可判斷．【解答】解：由題意可得，（紅，紅），（綠，綠），（紅，紅），（綠，紅），（紅，紅），（紅，綠），則，選項錯誤；，選項錯誤；，選項正確；，選項正確．故選：．【點評】本題主要考查了事件基本關系的判斷，還考查了古典概率公式的應用，屬于基礎題．12．（2024?佛山一模）有一組樣本數據0，1，2，3，4，添加一個數形成一組新的數據，且，1，2，3，4，，則新的樣本數據A．極差不變的概率是 B．第25百分位數不變的概率是 C．平均值變大的概率是 D．方差變大的概率是【答案】【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）；用樣本估計總體的離散程度參數【專題】對應思想；概率與統計；計算題；綜合法；數學運算【分析】根據題意得到取各個值的概率，結合極差、百分位數、平均數以及方差的概念與計算公式逐一判斷即可．【解答】解：由題意得，，，，，，對于，若極差不變，則，1，2，3，4，概率為，故正確；對于，由于，，所以原數據和新數據的第25百分位數均為第二個數，所以，2，3，4，5，第25百分位數不變的概率是，故錯誤；對于，原樣本平均值為，平均值變大，則，4，5，概率為，故正確；對于，原樣本的方差為，顯然，當時，新數據方差變小，當，4，5時，新數據方差變大，當時，新數據的平均數為，方差為，同理，當時，新數據的方差為，所以方差變大的概率為，故正確．故選：．【點評】本題主要考查離散型隨機變量的期望和方差，概率的求法，考查運算求解能力，屬于中檔題．13．（2024?越秀區校級一模）下列說法正確的是A．數據2，1，3，4，2，5，4，1的第45百分位數是4 B．若數據，，，，的標準差為，則數據，，，，的標準差為 C．隨機變量服從正態分布，若，則 D．隨機變量服從二項分布，若方差，則【答案】【考點】正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義；用樣本估計總體的離散程度參數；重伯努利試驗與二項分布；離散型隨機變量的均值（數學期望）【專題】概率與統計；轉化法；數學運算；轉化思想【分析】根據百分位數的計算方法，可判定錯誤；根據方差的性質，可判定正確；根據正態分布曲線的對稱性，可判定正確；根據二項分布性質和概率的計算公式，可判定正確．【解答】解：對于中，數據從小到大排列為1，1，2，2，3，4，4，5，共有8個數據，因為，所以數據的第45分位數為第4個數據，即為2，所以不正確；對于中，數據，，，，的標準差為，由數據方差的性質，可得數據，，，的標準差為，所以正確；對于中，隨機變量服從正態分布，且，根據正態分布曲線的對稱性，可得，所以正確；對于中，隨機變量服從二項分布，且，可得，解得或，當時，可得，當時，可得；綜上可得，，所以正確．故選：．【點評】本題主要考查概率與統計的知識，屬于中檔題．14．（2024?新鄭市校級一模）關于下列命題中，說法正確的是A．已知，若，，則 B．數據91，72，75，85，64，92，76，78，86，79的分位數為78 C．已知，若，則 D．某校三個年級，高一有400人，高二有360人．現用分層抽樣的方法從全校抽取57人，已知從高一抽取了20人，則應從高三抽取19人【答案】【考點】正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義；重伯努利試驗與二項分布；分層隨機抽樣；離散型隨機變量的均值（數學期望）【專題】轉化法；概率與統計；數學運算；轉化思想【分析】根據二項分布期望和方差公式可構造方程求得，知錯誤；將數據按照從小到大順序排序后，根據百分位數的估計方法直接求解知正確；由正態分布曲線的對稱性可求得正確；根據分層抽樣原則可計算得到高二應抽取學生數，由此可得高三數據，知正確．【解答】解：對于，，，，解得，故錯誤；對于，將數據從小到大排序為64，72，75，76，78，79，85，86，91，92，，分位數為第5個數，即78，故正確；對于，，，故正確；對于，抽樣比為，高二應抽取人，則高三應抽取人，故正確．故選：．【點評】本題主要考查離散型隨機變量期望與方差，考查轉化能力，屬于中檔題．15．（2024?袁州區校級三模）同時拋出兩枚質地均勻的骰子甲、乙，記事件：甲骰子點數為奇數，事件：乙骰子點數為偶數，事件：甲、乙骰子點數相同．下列說法正確的有A．事件與事件對立 B．事件與事件相互獨立 C．事件與事件相互獨立 D．（C）【答案】【考點】隨機事件；互斥事件與對立事件【專題】概率與統計；綜合法；數學抽象；整體思想【分析】對于，甲骰子點數為奇數，乙骰子點數為偶數，事件可以同時發生，由對立事件的概念可判斷；對于，計算出（A）（B），，根據（A）（B）可以判定兩個事件是否相互獨立；對于，計算出（A）（C），，根據（A）（C）可以判定兩個事件是否相互獨立；對于，由前面可知（C），，即可判斷是否相等．【解答】解：由題意，得，，，對于，當甲為奇數點，且乙為偶數點時，事件可以同時發生，所以事件與事件不互斥，故事件與事件不對立，故錯誤；對于，由題意知，又，故事件與事件相互獨立，故正確；對于，，又，故事件與事件相互獨立，故正確；對于，由上知，，故錯誤．故選：．【點評】本題主要考查了相互獨立，互斥及對立事件的判斷，屬于中檔題．三．填空題（共5小題）16．（2024?江西一模）斐波那契數列，又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、，在數學上，斐波那契數列以如下遞推的方式定義：，，，，，，，且中，則中所有元素之和為奇數的概率為．【答案】．【考點】古典概型及其概率計算公式【專題】數學運算；概率與統計；對應思想；定義法【分析】記中所有偶數組成的集合為，所有奇數組成的集合為，集合的子集為，集合中含有奇數個元素的子集為，則所有元素之和為奇數的集合可看成，然后可解．【解答】解：由斐波那契數列規律可知，集合，，，中的元素有674個偶數，1350個奇數，記中所有偶數組成的集合為，所有奇數組成的集合為，集合的子集為，集合中含有奇數個元素的子集為，則所有元素之和為奇數的集合可看成，顯然集合共有個，集合共有個，所以所有元素之和為奇數的集合共有個，又集合的非空子集共有個，所以中所有元素之和為奇數的概率為．故答案為：．【點評】本題考查集合、二項式系數的性質以及古典概型相關知識，屬于中檔題．17．（2024?廈門模擬）在維空間中，以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標可表示為維坐標，，，，其中，，．則5維“立方體”的頂點個數是32；定義：在維空間中兩點，，，與，，，的曼哈頓距離為．在5維“立方體”的頂點中任取兩個不同的頂點，記隨機變量為所取兩點間的曼哈頓距離，則．【答案】32；．【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）【專題】計算題；對應思想；綜合法；概率與統計；數學運算【分析】根據乘法原理，即可確定頂點個數；首先確定，1，2，，5，再結合組合數公式求概率，即可求解分布列和數學期望．【解答】解：對于5維坐標，，，，有，兩種選擇，故共有種選擇，即5維“立方體”的頂點個數是個頂點；對于的隨機變量，在坐標，，，，與，，，，中有個坐標值不同，即，剩下個坐標值滿足，此時所對應情況數為種，即，故分布列為：12345所以數學期望．故答案為：32；．【點評】本題主要考查離散型隨機變量的期望，考查運算求解能力，屬于中檔題．18．（2024?和平區二模）為銘記歷史、緬懷先烈，增強愛國主義情懷，某學校開展共青團知識競賽活動．在最后一輪晉級比賽中，甲、乙、丙三名同學回答一道有關團史的問題，每個人回答正確與否互不影響．已知甲回答正確的概率為，甲、丙兩人都回答正確的概率是，乙、丙兩人都回答正確的概率是．若規定三名同學都回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率為；若規定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，，，則這個問題回答正確的概率為．【答案】；．【考點】概率的應用；相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式【專題】綜合法；計算題；方程思想；轉化思想；數學運算；概率與統計【分析】根據題意，設甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，先由相互獨立事件的概率公式求出（B）、（C）的值，結合對立事件的性質求出第一空答案，結合全概率公式以及條件概率公式計算可得答案．【解答】解：根據題意，設甲回答正確為事件，乙回答正確為事件，丙回答正確為事件，則（A），（A）（C），（B）（C），則（C），（B），若規定三名同學都回答這個問題，則甲、乙、丙三名同學中至少有1人回答正確的概率，若規定三名同學搶答這個問題，已知甲、乙、丙搶到答題機會的概率分別為，，，則這個問題回答正確的概率．故答案為：；．【點評】本題考查條件概率的計算，涉及相互獨立事件的概率計算，屬于中檔題．19．（2024?魏都區校級三模）拋擲一枚不均勻的硬幣，正面向上的概率為，反面向上的概率為，記次拋擲后得到偶數次正面向上的概率為，則數列的通項公式．【答案】．【考點】數列遞推式；全概率公式【專題】整體思想；數學運算；概率與統計；綜合法【分析】根據題意可求出，第次拋擲后得到偶數次正面向上，包括兩種情況：①前次拋擲后得到偶數次正面向上，且第次拋擲得到反面向上；②前次拋擲后得到奇數次正面向上，且第次拋擲得到正面向上，由全概率公式得可，再構造等比數列，利用等比數列的通項公式求解即可．【解答】解：1次拋擲后得到偶數次正面向上的概率為，2次拋擲后得到偶數次正面向上的概率為，第次拋擲后得到偶數次正面向上，包括兩種情況：①前次拋擲后得到偶數次正面向上，且第次拋擲得到反面向上；②前次拋擲后得到奇數次正面向上，且第次拋擲得到正面向上，由全概率公式得，，即，所以，則數列是首項為，公比為的等比數列，所以，所以．故答案為：．【點評】本題主要考查了全概率公式，考查了數列的遞推式，屬于中檔題．20．（2024?浙江模擬）甲、乙兩人玩游戲，規則如下：第局，甲贏的概率為；第局，乙贏的概率為．每一局沒有平局．規定：當其中一人贏的局數比另一人贏的局數多兩次時游戲結束．則游戲結束時，甲、乙兩人玩的局數的數學期望為．【答案】．【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）【專題】概率與統計；定義法；對應思想；數學運算【分析】利用期望滿足的性質可求題設中的數學期望．【解答】解：設甲、乙兩人玩的局數為，其數學期望為，由題設，游戲至少進行兩局，若，則比分為，，否則前兩局的比分為，從此刻開始直到游戲結束，進行的局數的期望跟比分為時相同，總局數的期望為，故，故．故答案為：．【點評】本題考查離散型隨機變量的期望及性質，是中檔題．四．解答題（共5小題）21．（2024?香河縣校級模擬）人工智能（英語：，縮寫為亦稱智械、機器智能，指由人制造出來的可以表現出智能的機器．通常人工智能是指通過普通計算機程序來呈現人類智能的技術．人工智能的核心問題包括建構能夠跟人類似甚至超卓的推理、知識、規劃、學習、交流、感知、移物、使用工具和操控機械的能力等．當前有大共的工具應用了人工智能，其中包括搜索和數學優化、邏輯推演．而基于仿生學、認知心理學，以及基于概率論和經濟學的算法等等也在逐步探索當中．思維來源于大腦，而思維控制行為，行為需要意志去實現，而思維又是對所有數據采集的整理，相當于數據庫．某中學計劃在高一年級開設人工智能課程．為了解學生對人工筸能是否感興趣，隨機從該校高一年級學生中抽取了400人進行調查，整理得到如下列聯表：感興趣不感興趣合計男生18040220女生12060180合計300100400（1）依據小概率值的獨立性檢驗，能否認為對人工智能是否感興趣與性別有關聯？（2）從對人工智能感興趣的學生中按性別采用分層抽樣的方法隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人進行采訪，記隨機變量表示抽到的3人中女生的人數，求的分布列和數學期望．附：，其中．0.10.050.010.0050，0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）依據小概率值的獨立性檢驗，能認為對人工智能是否感興趣與性別有關聯；（2）的分布列為：0123．【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）【專題】數學運算；綜合法；概率與統計；整體思想【分析】（1）根據題目給出的列聯表，計算的值，再與臨界值比較，即可作出判斷；（2）由題意可知的可能取值為0，1，2，3，利用古典概型的概率公式求出相應的概率，得到的分布列，再結合期望公式求解．【解答】解：（1）由列聯表可得，，因為，所以依據小概率值的獨立性檢驗，能認為對人工智能是否感興趣與性別有關聯；（2）抽取的10人中男生人數為，女生人數為，則的可能取值有0，1，2，3，所以，，，，所以的分布列為：0123所以．【點評】本題主要考查了獨立性檢驗的應用，考查了離散型隨機變量的分布列和期望，屬于中檔題．22．（2024?江西一模）設是一個二維離散型隨機變量，它們的一切可能取的值為，，其中，，令，，稱是二維離散型隨機變量的聯合分布列．與一維的情形相似，我們也習慣于把二維離散型隨機變量的聯合分布列寫成下表形式：現有個相同的球等可能的放入編號為1，2，3的三個盒子中，記落下第1號盒子中的球的個數為，落入第2號盒子中的球的個數為．（1）當時，求的聯合分布列；（2）設，且，計算．【答案】（1）的聯合分布列為：012010200（2）．【考點】離散型隨機變量及其分布列【專題】轉化思想；綜合法；概率與統計；數學運算【分析】（1）由題意知可取0，1，2，可取0，1，2，直接計算概率，列出的聯系分布列即可；（2）直接計算，，結合二項分布的期望公式求出．【解答】解：（1）由題意知可取0，1，2，可取0，1，2，則，，，，，，，，，，的聯合分布列為：012010200（2）當時，，，，，設，則由二項分布的期望公式得．【點評】本題考查二維離散型隨機變量的聯合分布列、概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式、二項分布等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．23．（2024?黃山模擬）某校高三年級1000名學生的高考適應性演練數學成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間是，，，，，，，，，，，．（1）求圖中的值，并根據頻率分布直方圖，估計這1000名學生的這次考試數學成績的第85百分位數；（2）從這次數學成績位于，，，的學生中采用比例分配的分層隨機抽樣的方．法抽取9人，再從這9人中隨機抽取3人，該3人中成績在區間，的人數記為，求的分布列及數學期望．【答案】（1）0.005；120；（2）分布列見解析；期望為2．【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）【專題】綜合法；數學運算；方程思想；概率與統計；綜合題【分析】（1）利用頻率分布直方圖中頻率之和為1，列方程求解即可，根據第85百分位數公式計算即可；（2）求出的可能取值及對應的概率，完成分布列，即可求出期望．【解答】解：（1）由頻率分布直方圖可得，解得．前4個矩形面積之和為，前5個矩形面積之和為．設這1000名學生的這次考試數學成績的第85百分位數為，則，解得，，所以這1000名學生的這次考試數學成績的第85百分位數為120．（2）數學成績位于，，，的學生人數之比為：，所以所抽取的9人中，數學成績位于，的學生人數為人，數學成績位于，的學生人數為人，由題意可知，隨機變量的可能取值有0，1，2，3，則，，，．所以的分布列為：0123．【點評】本題考查頻率分布直方圖及離散型隨機變量分布列，屬中檔題．24．（2024?河南模擬）某公司擬通過摸球中獎的方式對員工發放節日紅包．在一個不透明的袋子中裝有個形狀大小相同的標有面值的球，每位員工從球袋中一次性隨機摸取個球，摸完后全部放回袋中，球上所標的面值之和為該員工所獲得的紅包數額．（1）若，，當袋中的球中有2個所標面值為40元，1個為50元，1個為60元時，在員工所獲得的紅包數額不低于90元的條件下，求取到面值為60元的球的概率；（2）若，，當袋中的球中有1個所標面值為10元，2個為20元，1個為30元，1個為40元時，求員工所獲得紅包數額的數學期望與方差．【答案】（1）；（2）期望為96；方差為104．【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）；離散型隨機變量的方差與標準差【專題】轉化法；轉化思想；概率與統計；數學運算【分析】（1）記事件：員工所獲得的紅包數額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，根據條件先求（A），，再利用條件概率公式，即可求解；（2）由題知可能取值為80，90，100，110，再求出對應的概率，利用期望和方差的計算公式，即可求解．【解答】解：（1）記事件：員工所獲得的紅包數額不低于90元，事件：取到面值為60元的球，因為球中有2個所標面值為40元，1個為50元，1個為60元，且，，，，，所以，又，所以．（2）設為員工取得的紅包數額，則可能取值為80，90，100，110，所以，，，，所以，．【點評】本題考查離散型隨機變量的方差與標準差，考查概率的計算，屬于中檔題．25．（2024?北京）某保險公司為了解該公司某種保險產品的索賠情況，從合同保險期限屆滿的保單中隨機抽取1000份，記錄并整理這些保單的索賠情況，獲得數據如下表：索賠次數01234保單份數800100603010假設：一份保單的保費為0.4萬元；前三次索賠時，保險公司每次賠償0.8萬元；第四次索賠時，保險公司賠償0.6萬元．假設不同保單的索賠次數相互獨立．用頻率估計概率．（1）估計一份保單索賠次數不少于2的概率；（2）一份保單的毛利潤定義為這份保單的保費與賠償總金額之差．記為一份保單的毛利潤，估計的數學期望；如果無索賠的保單的保費減少，有索賠的保單的保費增加，試比較這種情況下一份保單毛利潤的數學期望估計值與中估計值的大小，（結論不要求證明）【考點】離散型隨機變量的均值（數學期望）【專題】對應思想；數學模型法；概率與統計；數學運算【分析】（1）根據題設中的數據可求賠償次數不少2的概率；（2）設為賠付金額，則可取0，0.8，1.6，2.4，3，用頻率估計概率后可求得分布列及數學期望，從而可求；先算出下一期保費的變化情況，結合的結果可求．【解答】解：（1）設為“隨機抽取一單，賠償不少于2次”，由題設中的統計數據可得；（2）設為賠付金額，則可取0，0.8，1.6，2.4，3，由題可得，，，，，所以，因為毛利潤是保費與賠償金額之差，故（萬元）；由知未賠償的概率為，至少賠償一次的概率為，故保費的變化為，設為保單下一保險期的毛利潤，故（萬元）．所以．【點評】本題考查用概率的數學期望的知識解決實際應用問題，屬于中檔題．

考點卡片1．數列遞推式【知識點的認識】1、遞推公式定義：如果已知數列{an}的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an﹣1（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．2、數列前n項和Sn與通項an的關系式：an＝．在數列{an}中，前n項和Sn與通項公式an的關系，是本講內容一個重點，要認真掌握．注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求數列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（n≥2，當n＝1時，a1＝S1）；若a1適合由an的表達式，則an不必表達成分段形式，可化統一為一個式子．（2）一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先將已知條件轉化為只含an或Sn的關系式，然后再求解．【解題方法點撥】數列的通項的求法：（1）公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式．（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an＝．一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式，先將已知條件轉化為只含或的關系式，然后再求解．（3）已知a1?a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，＝．（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．（5）已知＝f（n）求an，用累乘法：an＝（n≥2）．（6）已知遞推關系求an，有時也可以用構造法（構造等差、等比數列）．特別地有，①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b為常數）的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為k的等比數列后，再求an．②形如an＝的遞推數列都可以用倒數法求通項．（7）求通項公式，也可以由數列的前幾項進行歸納猜想，再利用數學歸納法進行證明．2．隨機事件【知識點的認識】1．定義：在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件．（或“偶然性事件”）2．特點：（1）隨機事件可以在相同的條件下重復進行；（2）每個試驗的可能結果不止一個，并且能事先預測試驗的所有可能結果；（3）進行一次試驗之前不能確定哪一個結果會出現．3．注意：（1）隨機事件發生與否，事先是不能確定的；（2）必然事件發生的機會是1；不可能事件發生的機會是0；隨機事件發生的機會在0﹣1之間，0和1可以取到．（3）要判斷一個事件是必然事件、隨機事件、還是不可能事件，要從定義出發．3．互斥事件與對立事件【知識點的認識】1．互斥事件（1）定義：一次試驗中，事件A和事件B不能同時發生，則這兩個不能同時發生的事件叫做互斥事件．如果A1，A2，…，An中任何兩個都不可能同時發生，那么就說事件A1，A2，…An彼此互斥．（2）互斥事件的概率公式：在一個隨機試驗中，如果隨機事件A和B是互斥事件，則有：P（A+B）＝P（A）+P（B）注：上式使用前提是事件A與B互斥．推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件發生（即A1，A2，…，An中有一個發生）的概率等于這n個事件分別發生的概率之和，即：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）2．對立事件（1）定義：一次試驗中，兩個事件中必有一個發生的互斥事件叫做對立事件，事件A的對立事件記做．注：①兩個對立事件必是互斥事件，但兩個互斥事件不一定是對立事件；②在一次試驗中，事件A與只發生其中之一，并且必然發生其中之一．（2）對立事件的概率公式：P（）＝1﹣P（A）3．互斥事件與對立事件的區別和聯系互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有一個發生．因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要但不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分但不必要條件．【命題方向】1．考查對知識點概念的掌握例1：從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．“至少有一個紅球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“都是黑球”C．“至少有一個黑球”與“至少有1個紅球”D．“恰有1個黑球”與“恰有2個黑球”分析：列舉每個事件所包含的基本事件，結合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可解答：對于A：事件：“至少有一個紅球”與事件：“都是黑球”，這兩個事件是對立事件，∴A不正確對于B：事件：“至少有一個黑球”與事件：“都是黑球”可以同時發生，如：一個紅球一個黑球，∴B不正確對于C：事件：“至少有一個黑球”與事件：“至少有1個紅球”可以同時發生，如：一個紅球一個黑球，∴C不正確對于D：事件：“恰有一個黑球”與“恰有2個黑球”不能同時發生，∴這兩個事件是互斥事件，又由從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，得到所有事件為“恰有1個黑球”與“恰有2個黑球”以及“恰有2個紅球”三種情況，故這兩個事件是不是對立事件，∴D正確故選D點評：本題考查互斥事件與對立事件．首先要求理解互斥事件和對立事件的定義，理解互斥事件與對立事件的聯系與區別．同時要能夠準確列舉某一事件所包含的基本事件．屬簡單題．例2：下列說法正確的是（）A．互斥事件一定是對立事件，對立事件不一定是互斥事件B．互斥事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件C．事件A，B中至少有一個發生的概率一定比A，B中恰有一個發生的概率大D．事件A，B同時發生的概率一定比A，B中恰有一個發生的概率小．分析：根據對立事件和互斥事件的概率，得到對立事件一定是互斥事件，兩個事件是互斥事件不一定是對立事件，這兩者之間的關系是一個包含關系．解答：根據對立事件和互斥事件的概念，得到對立事件一定是互斥事件，兩個事件是互斥事件不一定是對立事件，故選B．點評：本題考查互斥事件與對立事件之間的關系，這是一個概念辨析問題，這種題目不用運算，只要理解兩個事件之間的關系就可以選出正確答案．2．互斥事件概率公式的應用例：甲乙兩人下棋比賽，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸的概率是分析：記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，且，，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．解答：甲乙兩人下棋比賽，記“兩人下成和棋”為事件A，“乙獲勝”為事件B，則A，B互斥，則，，則乙不輸即為事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）＝故答案為：點評：本題主要考查互斥事件的關系，不可能同時發生的兩個事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率計算中的應用．3．對立事件概率公式的應用例：若事件A與B是互為對立事件，且P（A）＝0.4，則P（B）＝（）A.0B.0.4C.0.6D.1分析：根據對立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A），解得即可．解答：因為對立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A）＝0.6，故選C．點評：本題主要考查對立事件的定義，屬于基礎題．4．古典概型及其概率計算公式【知識點的認識】1．定義：如果一個試驗具有下列特征：（1）有限性：每次試驗可能出現的結果（即基本事件）只有有限個；（2）等可能性：每次試驗中，各基本事件的發生都是等可能的．則稱這種隨機試驗的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發生的等可能性這兩個重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復試驗，而只要通過對一次試驗中可能出現的結果進行分析和計算即可．2．古典概率的計算公式如果一次試驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是；如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率為P（A）＝＝．【解題方法點撥】1．注意要點：解決古典概型的問題的關鍵是：分清基本事件個數n與事件A中所包含的基本事件數．因此要注意清楚以下三個方面：（1）本試驗是否具有等可能性；（2）本試驗的基本事件有多少個；（3）事件A是什么．2．解題實現步驟：（1）仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個數n與所求事件A中所包含的基本事件個數m；（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．5．概率的應用【知識點的認識】概率相關知識梳理：一、古典概型與互斥事件1．頻率與概率：頻率是事件發生的概率的估計值．2．古典概率計算公式：P（A）＝．集合的觀點：設試驗的基本事件總數構成集合I，事件A包含的事件數構成集合A，則．3．古典概型的特征：（1）每次試驗的結果只有一個基本事件出現；（2）試驗結果具有有限性；（3）試驗結果出現等可能性．4．互斥事件概率（1）互斥事件：在一個隨機試驗中，一次試驗中不可能同時發生的兩個事件A，B稱為互斥事件．（2）互為事件概率計算公式：若事件A，B互斥，則P（A+B）＝P（A）+P（B）．（3）對立事件：在一個隨機試驗中，一次試驗中兩個事件A，B不會同時發生，但必有一個事件發生，這樣的兩個事件稱為對立事件．記作：B＝，由對立事件定義知：P（A）＝1﹣P（）（4）互斥事件與對立事件的關系：對立必互斥，互斥未必對立．用集合的觀點分析對立事件與互斥事件：設兩個互斥事件A，B包含的所有結果構成集合A，B，則A∩B＝?（如圖所示）設兩個對立事件A，包含的所有結果構成的集合為A，，A∩＝?，A∪＝I，則注：若A1，A2，…，An任意兩個事件互斥，則：P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）二、幾何概型幾何概型定義：向平面有限區域（集合）G內投擲點M，若點M落在子區域G1?G的概率與G1的面積成正比，而與G的形狀、位置無關，我們就稱這種概型為幾何概型．幾何概型計算公式：幾何概型的特征：（1）試驗的結果有無限個（無限性）；（2）試驗的結果出現等可能性．注：幾何概型中的區域可以是長度、面積、體積等．三、條件概率與獨立事件1．條件概率的定義：對于任何兩個事件A，B，在已知事件B發生的條件下事件A發生的概率稱為事件B發生時事件A發生的條件概率，記為P（A|B）．類似的還可定義為事件A發生時事件B發生的條件概率，記為P（B|A）．2．把事件A，B同時發生所構成的事件D，稱為事件A，B的交（或積），記為：A∩B＝D或D＝AB．3．條件概率計算公式：P（A|B）＝（P（B）＞0），P（B|A）＝（P（A）＞0），注：（1）事件A在“事件B發生的條件下”的概率與沒有事件B發生時的概率是不同的．（2）對于兩個事件A，B，如果P（A|B）＝P（A）則表明事件B的發生不影響事件A發生的概率．此時事件A，B是相互獨立的兩個事件，即有P（A|B）＝P（A）＝（P（B）＞0?P（AB）＝P（A）P（B）．故當兩個事件A，B，若P（AB）＝P（A）P（B），則事件A，B相互獨立，同時A與，與B，與也相互獨立．四、二項分布、超幾何分布、正態分布1．二項分布：（1）n次獨立重復試驗的概念：在相同的條件下，重復做n次試驗，各次試驗的結果相互獨立．n次獨立重復試驗的特征：①每次試驗的條件相同，某一事件發生的概率不變；②各次試驗的結果互不影響，且每次試驗只有兩個結果發生或不發生．（2）二項分步概率計算公式：一般地，在一次試驗中某事件發生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率為，若隨機變量由此式確定，則X服從參數n，p的二項分布，記作：X～B（n，p）．2．超幾何分布超幾何分布定義：一般地，設有N件產品，其中含有M件次品（M≤N），從N件產品中任取n件產品，用X表示取出的n件產品中含有的次品的個數，則，（k為非負整數），若隨機變量由此式確定，則X服從參數N，M，k的超幾何分布，記作X～H（N，M，n）注：超幾何分布是概率分布的另一種形式，要注意公式中N，M，k的含義．隨機變量X取某一個值的概率就是求這一事件發生的次數與總次數的商．3．正態分布：（1）正態曲線：函數f（x）＝，x∈（﹣∞，+∞）圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線．（2）若隨機變量X～N（μ，σ2），則E（X）＝μ，D（X）＝σ2．五、離散型隨機變量的分布列，期望，方差．1、概念：（1）隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．若ξ是隨機變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數，則η也是隨機變量．（3）連續型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量（4）離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系：離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續性隨機變量的結果不可以一一列出．2、離散型隨機變量（1）隨機變量：在隨機試驗中，試驗可能出現的結果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗結果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機變量：如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量．3、離散型隨機變量的分布列．（1）定義：一般地，設離散型隨機變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個對應值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列．（2）性質：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．4、離散型隨機變量的期望數學期望：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數學期望，簡稱期望．數學期望的意義：數學期望離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．平均數與均值：一般地，在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的數學期望又稱為平均數、均值．期望的一個性質：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．5、離散型隨機變量的方差；方差：對于離散型隨機變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的Eξ是隨機變量ξ的期望．標準差：Dξ的算術平方根叫做隨機變量ξ的標準差，記作．方差的性質：．方差的意義：（1）隨機變量的方差的定義與一組數據的方差的定義式是相同的；（2）隨機變量的方差、標準差也是隨機變量的特征數，它們都反映了隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度；（3）標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應用更廣泛．【解題方法點撥】概率和離散型隨機變量知識是新課標高考的重點內容之一，重點考查古典概率、幾何概率、離散型隨機變量的分布列及性質等內容，對于基礎知識考查以選擇題、填空題為主．考查的內容相對簡單，即掌握住基礎知識就能解決此類問題．對于綜合性知識的考查主要是把概率、隨機變量的分布列性質、離散型隨機變量的均值、方差等內容綜合在一起解決實際問題，多以大題的形式出現．題目的難度在中等以上水平，解決此類問題的關鍵是正確理解離散型隨機變量的取值及其特征（即是否符合特殊的一些分布，如二項分布、超幾何分布等），便于求出分布列，進而求出均值與方差．利用均值、方差的含義去分析問題，這也是新課標高考命題的方向．【命題方向】題型一：概率的計算典例1：已知函數y＝（0≤x≤4）的值域為A，不等式x2﹣x≤0的解集為B，若a是從集合A中任取的一個數，b是從集合B中任取一個數，則a＞b的概率是（）A．B．C．D．解：由題意，A＝[0，2]，B＝[0，1]，以a為橫坐標，b為縱坐標，建立平面直角坐標系，則圍成的區域面積為2，使得a＞b的區域面積為2﹣，故所求概率為．故選D題型二：離散型隨機變量的分布列、均值、方差典例2：在汶川大地震后對唐家山堰塞湖的搶險過程中，武警官兵準備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個巨大的汽油罐．已知只有5發子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆．每次射擊是相互獨立的，且命中的概率都是．（Ⅰ）求油罐被引爆的概率；（Ⅱ）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設射擊次數為ξ．求ξ的分布列及數學期望E（ξ）．（結果用分數表示）解：（I）設命中油罐的次數為X，則當X＝0或X＝1時，油罐不能被引爆．，，∴（II）射擊次數ξ的取值為2，3，4，5．，，，P（ξ＝5）＝1﹣P（ξ＝2）﹣P（ξ＝3）﹣P（ξ＝4）＝．因此，ξ的分布列為：ξ2345P∴6．相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式【知識點的認識】1．相互獨立事件：事件A（或B）是否發生，對事件B（或A）發生的概率沒有影響，這樣兩個事件叫做相互獨立事件．2．相互獨立事件同時發生的概率公式：將事件A和事件B同時發生的事件即為A?B，若兩個相互獨立事件A、B同時發生，則事件A?B發生的概率為：P（A?B）＝P（A）?P（B）推廣：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互獨立，那么這n個事件同時發生的概率等于每個事件發生的概率之積，即：P（A1?A2…An）＝P（A1）?P（A2）…P（An）3．區分互斥事件和相互獨立事件是兩個不同的概念：（1）互斥事件：兩個事件不可能同時發生；（2）相互獨立事件：一個事件的發生與否對另一個事件發生的概率沒有影響．7．條件概率【知識點的認識】1、條件概率的定義：對于任何兩個事件A和B，在已知事件A發生的條件下，事件B發生的概率叫做條件概率，用符號P（B|A）來表示．（2）條件概率公式：稱為事件A與B的交（或積）．（3）條件概率的求法：①利用條件概率公式，分別求出P（A）和P（AB），得P（B|A）＝，其中P（A）＞0；②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件數n（A），再在事件A發生的條件下求出事件B包含的基本事件數，即n（A∩B），得P（B|A）＝【解題方法點撥】典例1：利用計算機產生1到6之間取整數值的隨機數a和b，在a+b為偶數的條件下，|a﹣b|＞2發生的概率是．解：由題意得，利用計算機產生1到6之間取整數值的隨機數a和b，基本事件的總個數是6×6＝36，即（a，b）的情況有36種，事件“a+b為偶數”包含基本事件：（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18個，“在a+b為偶數的條件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4個，故在a+b為偶數的條件下，|a﹣b|＞2發生的概率是P＝＝故答案為：典例2：甲乙兩班進行消防安全知識競賽，每班出3人組成甲乙兩支代表隊，首輪比賽每人一道必答題，答對則為本隊得1分，答錯不答都得0分，已知甲隊3人每人答對的概率分別為，，，乙隊每人答對的概率都是．設每人回答正確與否相互之間沒有影響，用ξ表示甲隊總得分．（Ⅰ）求隨機變量ξ的分布列及其數學期望E（ξ）；（Ⅱ）求在甲隊和乙隊得分之和為4的條件下，甲隊比乙隊得分高的概率．分析：（Ⅰ）由題設知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出隨機變量ξ的分布列和數學期望E（ξ）．（Ⅱ）設“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B，分別求出P（A），P（AB），再由P（B/A）＝，能求出結果．解答：（Ⅰ）由題設知ξ的可能取值為0，1，2，3，P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）（1﹣）×＝，P（ξ＝2）＝++＝，P（ξ＝3）＝＝，∴隨機變量ξ的分布列為：ξ0123P數學期望E（ξ）＝0×+1×+2×+3×＝．（Ⅱ）設“甲隊和乙隊得分之和為4”為事件A，“甲隊比乙隊得分高”為事件B，則P（A）＝++＝，P（AB）＝＝，P（B|A）＝＝＝．8．全概率公式【知識點的認識】全概率公式一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有P（B）＝．9．離散型隨機變量及其分布列【知識點的認識】1、相關概念；（1）隨機變量：如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量隨機變量常用希臘字母ξ、η等表示．（2）離散型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．若ξ是隨機變量，η＝aξ+b，其中a、b是常數，則η也是隨機變量．（3）連續型隨機變量：對于隨機變量可能取的值，可以取某一區間內的一切值，這樣的變量就叫做連續型隨機變量（4）離散型隨機變量與連續型隨機變量的區別與聯系：離散型隨機變量與連續型隨機變量都是用變量表示隨機試驗的結果；但是離散型隨機變量的結果可以按一定次序一一列出，而連續性隨機變量的結果不可以一一列出．2、離散型隨機變量（1）隨機變量：在隨機試驗中，試驗可能出現的結果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗結果的不同而變化的，這樣的變量X叫做一個隨機變量．隨機變量常用大寫字母X，Y，…表示，也可以用希臘字母ξ，η，…表示．（2）離散型隨機變量：如果隨機變量X的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱X為離散型隨機變量．3、離散型隨機變量的分布列．（1）定義：一般地，設離散型隨機變量X的所有可能值為x1，x2，…，xn；X取每一個對應值的概率分別為p1，p2，…，pn，則得下表：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn該表為隨機變量X的概率分布，或稱為離散型隨機變量X的分布列．（2）性質：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．10．離散型隨機變量的均值（數學期望）【知識點的認識】1、離散型隨機變量的期望數學期望：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數學期望，簡稱期望．數學期望的意義：數學期望離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．平均數與均值：一般地，在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的數學期望又稱為平均數、均值．期望的一個性質：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．11．離散型隨機變量的方差與標準差【知識點的認識】1、離散型隨機變量的期望數學期望：一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為x1x2…xn…Pp1p2…pn…則稱Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…為ξ的數學期望，簡稱期望．數學期望的意義：數學期望離散型隨機變量的一個特征數，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平．平均數與均值：一般地，在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，則有p1＝p2＝…＝pn＝，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×，所以ξ的數學期望又稱為平均數、均值．期望的一個性質：若η＝aξ+b，則E（aξ+b）＝aEξ+b．2、離散型隨機變量的方差；方差：對于離散型隨機變量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取這些值的概率分別是p1，p2，…，pn…，那么，稱為隨機變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的Eξ是隨機變量ξ的期望．標準差：Dξ的算術平方根叫做隨機變量ξ的標準差，記作．方差的性質：．方差的意義：（1）隨機變量的方差的定義與一組數據的方差的定義式是相同的；（2）隨機變量的方差、標準差也是隨機變量的特征數，它們都反映了隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度；（3）標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應用更廣泛．12．n重伯努利試驗與二