第5章大數定律和中心極限定理第一節知識梳理

第二節重點解析

第三節典型例題第四節習題全解第一節知識梳理

第二節重點解析

1.大數定律

1)切比雪夫不等式

定理：設隨機變量X的均值E(X)及方差D(X)都存在，則對于任意給定的ε>0，有不等式

成立，稱上式為切比雪夫不等式。或

2)切比雪夫大數定律

定理：設相互獨立的隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…分別具有均值E(X1)，E(X2)，…，E(Xn)，…及方

差D(X1)，D(X2)，…，D(Xn)，…，若存在常數C，使D(Xk)≤C(k=1，2，…)，則對于任意給定的ε>0，有

3)伯努利大數定律與辛欽大數定律

定理1：設m是n次獨立重復伯努利試驗中事件A發生的次數，p是事件A在每次試驗中發生的概率，則對于任意給定的ε>0，有定理2：（辛欽大數定律）設相互獨立的隨機變量序

列X1，X2，…，Xn，…有相同的分布，且E(Xk)=μ(k=1，2，…)存在，則對于任意給定的ε>0，有

2.中心極限定理

定理1：（林德貝格—勒維中心極限定理）設相互獨立

的隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…服從同一分布，且

E(Xk)=μ，D(Xk)=σ2≠0(k=1，2，…)，，則對于任意x，

隨機變量序列的分布函數Fn(x)在n→∞時

趨于標準正態分布函數，即有定理2：（棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理）設mA表示

n次獨立重復伯努利試驗中事件A發生的次數，p是事件A在每次試驗中發生的概率,則對于任意區間(a，b］，恒有第三節典型例題

【例5.1】設隨機變量X與Y的數學期望分別為－2和2，方差分別為1和4，而相關系數為－0.5，根據切比雪夫不等式估計P{|X+Y|≥6}。

解由題意知

E(X)=－2，E(Y)=2，D(X)=1，D(Y)=4，ρXY=－0.5所以

E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0故

【例5.2】設在n次伯努利試驗中，每次試驗事件A出現的概率均為0.7，要使事件A出現的頻率在0.68~0.72之間的概率不少于0.90，問至少要進行多少次試驗？

（1）用切比雪夫不等式估計；

（2）用中心極限定理計算。解（1）因為所以n≥5250。（2）因為所以n≥1412.04。

【例5.3】抽樣檢查產品質量時，如果發現有多于10

個的次品，則拒絕接受這批產品。設某批產品的次品率為10%，問至少應抽取多少個產品檢查，才能保證拒絕接受該產品的概率達到0.9？

解令X={發現的次品數}，則X~b(n，0.1),所以P{X>10}=0.9,即亦即查表得解以上方程得

n≈147

【例5.4】計算器在進行加法時，將每一加數舍入最靠近它的整數,設所有舍入誤差是獨立的，且在(－0.5，0.5)上服從均勻分布。

（1）若將1500個數相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？

（2）最多可有幾個數相加使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于0.90？解設每個加數的舍入誤差為Xi，由題設知Xi獨立同分布，且Xi~U(－0.5，0.5)，因此，可利用獨立同分布的中心極限定理，即林德貝格—勒維中心極限定理，來進行近似計算。令Xi同上所設，由于Xi~U(－0.5，0.5),從而，（1）記X為將1500個數相加的誤差總和，則有

，從而由林德貝格—勒維中心極限定理知

近似地服從N(0，1)，故即誤差總和的絕對值超過15的概率約為0.1802。

【例5.5】有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m，現在從這批木柱中隨機地取100根，求其中至少有30根短于3m的概率。

解記X為被抽取的100根木柱長度短于3m的根數，則X~b(100，0.2)。于是由棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理得

【例5.6】設某種器件使用壽命（單位：小時）服從指數分布，平均使用壽命為20小時，具體使用時是當一器件損壞后立即更換一新器件，如此繼續，已知每一器件的進價為

a元，試求在年計中應為此器件作多少元預算，才可以有95%的把握保證一年夠用（假定一年的工作時間為2000小時）。解設第i個器件的使用壽命為Xi，由于Xi服從參數為

λ的指數分布，且E(Xi)=20，所以，從而，由林德貝格—勒維中心極限定理知故查表得即

n≈118因此每年應為此器件至少作出118a元的預算，才能有95％的把握保證一年夠用。第四節習題全解

5.1（1）設隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…是相互獨立的，對于每一個固定的n，Xn的分布律為試證明隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…服從大數定律。（2）設隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…獨立同分布，且

E(Xk)=μ，D(Xk)=σ2≠0(k=1，2，…)，

試證明隨機變量序列Yn依概率收斂。證明（1）因為所以由于該隨機變量序列相互獨立，且期望與方差均存

在，滿足切比雪夫大數定律的條件。由切比雪夫大數定律知,

對于任意ε>0有取常數列an=0，則有（2）因為由切比雪夫不等式得而，同時P{|Yn－μ|≥ε}≥0,所以

即

5.2設隨機變量服從參數為2的泊松分布，用切比雪夫不等式估計P{|X－2|≤4}。

解由隨機變量服從參數為2的泊松分布可知E(X)=2，D(X)=2，所以

5.3設隨機變量X1，X2，…，X100獨立同分布，E(Xk)=μ，D(Xk)=16，求P{|X－μ|≤1}。解由林德貝格—勒維中心極限定理可得

5.4K.皮爾遜擲均勻硬幣12000次，求出現正面的頻率與0.5的差不超過0.01的概率。

解設在12000次中正面的次數為X，則X~b(12000，)。由棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理可得

5.5假設生男孩的概率為0.515，某醫院今年共出生500個新生嬰兒，求該醫院今年出生的新生嬰兒中男嬰人數多于女嬰人數的概率。

解設新生嬰兒中男嬰人數為X，則

X~b(500，0.515)，E(X)=257.5，D(X)=124.8875

P{男嬰人數多于女嬰人數}=P{X>250}=1－P{X≤250}由棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理可得

5.6某車間有同型車床200臺，假設每臺開動的概率為0.7，且開關是相互獨立的，開動每臺的耗電量為15kW，試問最少需耗多少電力，才能以95%的把握滿足該車間生產？解設同時開動的機器數為X，則

X~b(200，0.7)，E(X)=140，D(X)=42設至少需電力為YkW，則根據題目要求有

P{15X≤Y}=0.95

即由棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理可得而Φ(1.65)=0.95,

所以由得

Y=2260.4kW

5.7根據經驗，某一門課程考試中學生的得分的期望值為75分，方差為25。

（1）從試卷中任取一份，其成績超過80分的概率為多少？

（2）從試卷中任取一份，其成績為65~85分的概率為多少？

解設學生得分為X，由題意知X近似服從N(75，25)分布。（1）（2）

5.8某保險公司多年的統計資料表明，在索賠戶中被盜索賠戶占20%，以X表示在隨機抽查的100個索賠戶中因盜竊而向保險公司索賠的戶數。

（1）寫出X的概率分布；

（2）求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值。

解（1）由題意知X~b(100，0.2)，故

P{X=k}=Ck100(0.2)k(0.8)100－k

（k=0，1，2，…，100）（2）由棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理可得

5.9獨立地測量一個物理量，每次測量所產生的隨機誤差都服從(－1，1)上的均勻分布。

（1）如果將n次測量的算術平均值作為測量結果，求它與真值的絕對誤差小于一個小的正數ε的概率；

（2）計算當n=36，ε=1/6時的概率近似值；

（3）要使（1）中的概率不小于0.95，且誤差不超過1/6應至少進行多少次測量？解設該物理量真值為μ，第i次測量的隨機誤差為

Xi，則Xi~U(－1，1)，且第i次測量結果為μ+Xi，E(Xi)=0，

。

（1）由林德貝格—勒維中心極限定理可得（2）當n=36，時，有