第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市豐臺區第十二中學高二上學期12月月考數學試題一、單選題：本大題共12小題，共60分。1.在四面體PABC中，PB?AB?CA=A.PC B.AP C.AB D.AC2.圓C:x2+2x+y2?1=0A.(1,0) B.(?1,0) C.(2,0) D.(?2,0)3.設P是橢圓x25+y23A.22 B.23 C.4.設直線l的方向向量為a，兩個不同的平面α,β的法向量分別為n,m，則下列說法中錯誤的是(

)A.若n⊥m，則α⊥β B.若n//m，則α//β

C.若a//n，則l⊥α5.若直線l與橢圓x26+y23=1交于點A，B，線段AB的中點為A.12 B.?12 C.26.已知Q為直線l:x+2y+1=0上的動點，點P滿足QP=1,?3，記P的軌跡為E，則(

)A.E是一個半徑為5的圓 B.E是一條與l相交的直線

C.E上的點到l的距離均為5 D.7.已知空間向量a,b,c滿足a+b+A.12 B.22 C.8.設點F1,F2分別是雙曲線C:x2a2?y22=1(a>0)的左、右焦點，過點F1且與x軸垂直的直線l與雙曲線CA.y=±3x B.y=±339.由直線y=x+1上的點向圓(x?3)2+(y+2)A.17 B.32 C.10.已知直線l1:mx?y=0m∈R過定點A，直線l2:x+my+4?2m=0過定點B,l1與l2A.10 B.25 C.511.如圖1所示，雙曲線具有光學性質；從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2，從F2發出的光線經過圖2中的A，A.52 B.173 C.12.如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，且∠A=60°,E,F分別為棱AB,DC中點.將?BCF和?ADE分別沿BF,DE折疊，若滿足AC//平面DEBF，則線段AC的取值范圍為(

)

A.[3,23) B.[1,2二、填空題：本大題共6小題，共30分。13.已知直線l的一個方向向量為?1,3，則直線l的斜率為

．14.已知雙曲線C的一個焦點F1(2,0)，漸近線為y=±3x，則C15.已知a=(1,2,2),b=(3,1,?1),c=(?1,3,n)，且a,b16.若方程x2m+2+y24?m=1表示的曲線為雙曲線，則實數m的取值范圍是

17.在通用技術教室里有一個三棱錐木塊如圖所示，VA，VB，VC兩兩垂直，VA=VB=VC=1(單位：dm)，小明同學計劃通過側面VAC內任意一點P將木塊鋸開，使截面平行于直線VB和AC，則該截面面積(單位：dm2)的最大值是

．

18.橢圓E:x24+y23=1，左焦點是F，過F的直線與橢圓交于A,B兩點(不同于長軸的端點)①直線PA與直線PB的斜率的和為0；②△PAF與?PBF的面積之比為|PA|③點A到直線x=?4的距離等于12|AF|；④三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。19.已知空間向量a=x,4,1，b=?2,y,?1，c=3,?2,z(1)求向量a，b，c的坐標;(2)求a+c與b20.如圖，在四棱錐P?OABC中，PO⊥平面OABC，AB//OC，AC=5，OP=OC=2，OA=AB=1，E為PC中點，F在棱PB上(1)求證：平面OPC⊥平面OPA；(2)求B到平面OAE的距離；(3)F在平面OAE內，求線段PF的長．21.已知圓C的半徑為3，圓心C在射線y=?2xx≥0上，直線x+y?1=0被圓C截得的弦長為3(1)求圓C方程;(2)過點P(2,0)的直線l與圓C交于M、N兩點，且?OMN的面積是6(O為坐標原點)，求直線l的方程．22.已知橢圓E:x2a2+y2b(1)求橢圓E的方程和離心率；(2)過點(1,0)且斜率不為零的直線交橢圓于C,D兩點，設直線CD,BC,BD的斜率分別為k,k1,k2，若23.已知集合A中至少有三個元素，如果?x,y,z∈A，同時滿足①x<y<z；②x+y>z;③x+y+z為偶數，那么稱集合A具有性質P.已知集合Sn={1,2,3,?,2n}(n∈N?,n≥4)，對于集合Sn的非空子集B，若Sn中存在三個互不相同的元素a,b,c，使得a+b,b+c,c+a均屬于(1)若集合A1={2,4,6,8},A2={1,2,3,5}(2)若集合B={3,4,a}具有性質P，證明：集合B是集合S4(3)證明：集合M具有性質P的充要條件是集合M是集合Sn的“期待子集”．

參考答案1.A

2.B

3.C

4.D

5.B

6.C

7.D

8.D

9.A

10.C

11.B

12.A

13.?3

14.x215.5

16.?∞,?2∪4,+∞

17.218.①②④

19.(1)因為a=x,4,1，b=所以x?2=4y=所以a=2,4,1，因為c=3,?2,z，所以?2×3+?4×?2所以z=2，所以c=(2)a+c所以a+c?b+設a+c與b+所以cosθ=所以a+c與b+

20.(1)因為PO⊥平面OABC，OC?平面OABC，所以PO⊥OC，因為OC=2，OA=1，AC=所以OC2+O又PO∩OA=O，PO?平面OPA，OA?平面OPA，所以OC⊥平面OPA，又OC?平面OPC，所以平面OPC⊥平面OPA；(2)因為PO⊥平面OABC，OA⊥OC，所以以O為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系，O(0,0,0)，A(1,0,0)，B1,1,0，EOA=1,0,0，OE=設平面OAE的法向量為n=所以n?OA=x=0n?OE=y+z=0，令y=1所以B到平面OAE的距離d=n(3)設PF=λP0,0,2，OP=0,0,2所以OF=因為平面OAE的法向量為n=0,1,?1，F在平面所以n⊥OF，所以n?OF=0所以PF=23所以線段PF的長為2

21.解：(Ⅰ)設圓心C(a,?2a)(a≥0)，則圓的方程為(x?a)2∴32=2∴圓的方程為(x?2)(Ⅱ)①當斜率不存在時，此時直線l方程為x=2，原點到直線的距離為d=2，令x=2代入圓方程得y=?1或?7，∴|EF|=6，∴S△OMN=12②當斜率存在時，設直線l的方程為y=k(x?2)，圓心C(2,?4)到直線l的距離d=4|MN|=2原點O到直線l的距離d=|2k|整理，得25k2+9=0綜上所述，所求的直線的方程為x=2．

22.(1)由題可知，{所以橢圓E的方程為x24+(2)由(1)可知B0,1

設直線CD:x=my+1,Cx聯立x24+顯然Δ>0，得y1易知k=1所以k=2m因為k1+k所以k=3．

23.(1)集合A1={2,4,6,8}具有性質取x=4,y=6,z=8，滿足x<y<z，x+y=10>8=z，x+y+z=18是偶數，因此集合A1={2,4,6,8}具有性質集合A2={1,2,3,5}不具有性質若取x=1,y=3,z=5，x+y+z=9為奇數，不滿足條件③；若取x=1,y=2,z=3或x=1,y=2,z=5或x=2,y=3,z=5，均有x+y≤z，不滿足條件②，所以A2={1,2,3,5}不具有性質(2)由3+4+a是偶數，得實數a是奇數，當a<3<4時，由a+3>4，得1<a<3，即a=2，因為2+3+4=9不是偶數，所以a=2不合題意．當3<4<a時，由3+4>a，得4<a<7，即a=5，或a=6，因為3+4+5=12是偶數，3+4+6=13不是偶數，所以a=6不合題意．所以集合B={3,4,5}，令a+b=3,b+c=4,c+a=5，解得a=2,b=1,c=3，顯然a,b,c∈S4={1,2,3,4,5,6,7,8}，所以集合B(3)先證充分性：當集合M是集合Sn的“期待子集”時，存在三個互不相同的a,b,c使得a+b,b+c,c+a均屬于M，不妨設a<b<c，令x=a+b，y=a+c，z=b+c，則x<y<z，即滿足條件①，因為x+y?z=(a+b)+(a+c)?(b+c)=2a>0，所以x+y>z，即滿足條件②，因為x+y+z=2(a+b+c)，所以x+y+z為偶數，即滿足條件③，所以當集合M是集合Sn的“期待子集”時，集合M具有性質P.再證必要性：當集合M具有性質P，則M中存在x,y,z，同時滿足①x<y<z；②x+y>z；③x+y+z為偶數，令a=x+y+