與勾股定理有關(guān)的常見(jiàn)幾何模型（熱考+壓軸必刷50題13種題型專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練）構(gòu)造直角三角形螞蟻爬行模型直角三角形翻折模型【擴(kuò)展】特殊四邊形的翻折模型構(gòu)造直角三角形求代數(shù)式的最值利用勾股定理解決將軍飲馬問(wèn)題勾股樹(shù)模型面積法求高趙爽弦圖梯子模型勾股差模型垂美四邊形見(jiàn)特殊角，作垂線一．構(gòu)造直角三角形（共4小題）1．（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，某小區(qū)在相鄰兩樓之間修建了一個(gè)上方是以AB為直徑的半圓，下方是長(zhǎng)方形的仿古通道，其中AD=2.1米，CD=2米，現(xiàn)有一輛裝滿家具的卡車(chē)高2.5米，寬1.6米，請(qǐng)問(wèn)這輛送家具的卡車(chē)能否順利通過(guò)這個(gè)通道？請(qǐng)說(shuō)明你的理由．2．（2022八年級(jí)·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊長(zhǎng)，向外作四個(gè)正方形，面積分別為S1，S2，S3和S4．若S1=4，3．（22-23八年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知：如圖，在△ABC中，CD是△ABC的中線，CD=5，AC=8，BC=6．(1)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；(2)點(diǎn)E在CD上，且AE=BC，求證：∠AED=∠B．4．（24-25八年級(jí)上·山西運(yùn)城·期中）閱讀與思考：下面是小亮同學(xué)寫(xiě)的一篇數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)任務(wù)．××年××月××日星期三巧用方程解決三角形求高問(wèn)題法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾在《指導(dǎo)思維的法則》一書(shū)中寫(xiě)道：“一切問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，一切數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)學(xué)問(wèn)題，而一切代數(shù)學(xué)問(wèn)題又都可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題”．可見(jiàn)方程思想對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性．今天數(shù)學(xué)課上，老師提出問(wèn)題：在△ABC中，已知邊AB,AC,BC的長(zhǎng)，求點(diǎn)A到BC邊的距離．小亮畫(huà)出的圖形如圖①所示：在△ABC中，已知：AB=13,AC=5,BC=12，小亮的同桌小明思索片刻就得出：點(diǎn)A到BC邊的距離為5；小明畫(huà)出的圖形如圖②所示：在△ABC中，已知：AB=15,BC=14,AC=13，經(jīng)過(guò)小組討論，大家得出了如下的解題思路：請(qǐng)你根據(jù)小亮的日記內(nèi)容完成下列各題：(1)寫(xiě)出小明得出圖①中點(diǎn)A到BC距離為5的理由；(2)根據(jù)小亮小組討論的思路，寫(xiě)出圖②中點(diǎn)A到BC的距離為；(3)根據(jù)（2）的解題思路解決下面的問(wèn)題：如圖③，某商場(chǎng)樓梯長(zhǎng)4m(AB=4m)，商場(chǎng)準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能，將樓梯長(zhǎng)度加長(zhǎng)2m二．螞蟻爬行模型（共5小題）5．（23-24八年級(jí)上·廣東佛山·期中）如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A'B'C'D'中，

(1)請(qǐng)你在所給的網(wǎng)格中，畫(huà)出螞蟻爬行的所有不同的直線路徑；(2)分別求出這幾種路徑的距離；(3)求螞蟻爬行的最短路程是多少？6．（24-25八年級(jí)上·廣東佛山·期中）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐活動(dòng)課上，老師提出如下問(wèn)題：一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為5、3、1，A和B是一個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)．【探究實(shí)踐】老師讓同學(xué)們探究：如圖①，若A點(diǎn)處有一只螞蟻要到B點(diǎn)去吃可口的食物，那么螞蟻沿著臺(tái)階爬到B點(diǎn)的最短路程是多少？（1）同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考得到如下解題方法：如圖②，將三級(jí)臺(tái)階展開(kāi)成平面圖形，連接AB，經(jīng)過(guò)計(jì)算得到AB長(zhǎng)度即為最短路程，則AB=；（直接寫(xiě)出答案）【變式探究】（2）如圖③，一只圓柱體玻璃杯，若該玻璃杯的底面周長(zhǎng)是48厘米，高是7厘米，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿著玻璃杯的側(cè)面到點(diǎn)B，求該螞蟻爬行的最短路程是多少厘米？【拓展應(yīng)用】（3）如圖④，若圓柱體玻璃杯的高10厘米，底面周長(zhǎng)為24厘米，在杯內(nèi)壁離杯底2厘米的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜．此時(shí)，一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿1厘米，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁B處到內(nèi)壁A處所爬行的最短路程是多少厘米？（杯壁厚度不計(jì)）7．（23-24七年級(jí)上·山東威海·期中）一只螞蟻在立方體的表面積爬行．(1)如圖1，當(dāng)螞蟻從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A沿表面爬行到頂點(diǎn)B，怎樣爬行路線最短？說(shuō)出你的理由．(2)如圖1，如果螞蟻要從邊長(zhǎng)為1cm的正方體的頂點(diǎn)A沿最短路線爬行到頂點(diǎn)C，那么爬行的最短距離d的長(zhǎng)度應(yīng)是下面選項(xiàng)中的（A）1cm（B）2cm（C）3cm（D）這樣的最短路徑有條．(3)如果將正方體換成長(zhǎng)AD=3cm，寬DF=3cm，高AB=1cm的長(zhǎng)方體（如圖2所示），螞蟻仍需從頂點(diǎn)A8．（24-25八年級(jí)上·廣東深圳·期中）【項(xiàng)目式學(xué)習(xí)】在圓柱表面，螞蟻怎么爬行路徑最短？（π取3）素材1：如圖1，圓柱體的高AC為12cm，底面直徑BC為6cm，在圓柱下底圓周上的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面圓周上與A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的B若螞蟻沿圖1中的折線A→C→B爬行的最短路徑記為“路線一”，此時(shí)最短路程是12+6=18cm．將圓柱沿著AC將側(cè)面展開(kāi)得到圖2，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出螞蟻爬行的最短路徑記為“路線二”，此時(shí)最短路程是cm；比較可知：螞蟻爬行的最短路徑是路線（用“一”或“二”素材2：如圖3所示的實(shí)踐活動(dòng)器材包括：底面直徑為6cm，高為10（1）兩種路線路程的長(zhǎng)度如表所示（單位：cm）：圓柱高度沿路線一路程x沿路線二路程y比較x與y的大小511106x>y41097x>y3a3b（2）填空：表格中a的值是；表格中b表示的大小關(guān)系是；（3）經(jīng)歷上述探究后，請(qǐng)你思考：若圓柱的半徑為r，圓柱的高為h．在r不變的情況下，當(dāng)圓柱半徑為r與圓柱的高度h存在怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，螞蟻在圓柱表面的兩種爬行路線的路程相等？9．（24-25八年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為12，圓柱的高為8，在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)A，C嵌有一圈長(zhǎng)度最短的金屬絲．(1)現(xiàn)將圓柱側(cè)面沿AB剪開(kāi)，所得的圓柱側(cè)面展開(kāi)圖是______．(2)如圖①，求該長(zhǎng)度最短的金屬絲的長(zhǎng)．(3)如圖②，若將金屬絲從點(diǎn)B繞四圈到達(dá)點(diǎn)A，則所需金屬絲最短長(zhǎng)度是多少？(4)如圖③，圓柱形玻璃杯的高9cm，底面周長(zhǎng)為16cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)A處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在外壁上，離杯上沿1cm，且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)B處，則螞蟻從外壁三．直角三角形翻折模型（共4小題）10．（24-25八年級(jí)上·山西晉中·期中）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分別是斜邊AB和直角邊CB上的點(diǎn)，把△ABC沿著直線DE折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B'(1)如圖1，如果點(diǎn)B'和頂點(diǎn)A重合，求CE(2)如圖2，如果點(diǎn)B'落在AC的中點(diǎn)上，求CE11．（20-21八年級(jí)下·福建南平·階段練習(xí)）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，將△BDE沿直線DE折疊，使B落在AC12．（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)H為AB邊上的一點(diǎn)，AH=15，CH=8，AC=17，BH=6．(1)求BC的長(zhǎng)；(2)已知點(diǎn)E為線段AB上一點(diǎn)，△BCE為等腰三角形，求線段HE的長(zhǎng)度；(3)點(diǎn)P是直線AB上任意一點(diǎn)，把△ACH沿著直線CP翻折，直接寫(xiě)出當(dāng)AP為何值時(shí)，點(diǎn)H翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H'恰好落在直線AC13．（24-25八年級(jí)上·福建三明·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°(1)如圖1，把△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E．求證：D是AB的中點(diǎn)；(2)如圖2，把△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕交AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)F．求BF的長(zhǎng)；(3)如圖3，M為BC邊上一點(diǎn)，△ABM沿著AM折疊，得到△AB1M，邊AB1交BC于點(diǎn)N四．【擴(kuò)展】特殊四邊形的翻折模型（共4小題）14．（24-25八年級(jí)上·江蘇常州·期中）如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)D'處，折痕為EF(1)求證：△ABE≌△AD(2)若AB=4cm，EF=5cm，求15．（24-25八年級(jí)上·江西景德鎮(zhèn)·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線AE折疊（點(diǎn)E在邊DC上），折疊后頂點(diǎn)D恰好落在邊OC上的點(diǎn)F處，若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(10,8)．(1)寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)．(2)求EF的長(zhǎng)．16．（24-25八年級(jí)上·江蘇淮安·期中）如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，AB=CD=10，AD=BC=4，AB∥CD，AD∥BC．N是邊CD上一點(diǎn)，CN=2．若M為AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將四邊形BCNM沿MN折疊，點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)B'、C'，若線段MB'與邊(1)如圖1，證明：△EMN為等腰三角形；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)；(3)點(diǎn)M從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，①線段DE的最大值為_(kāi)________；②請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為_(kāi)________．17．（24-25八年級(jí)上·四川成都·期中）在矩形紙片ABCD中，AB=12，BC=16．(1)如圖①，將矩形紙片沿AN折疊，點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)E處，求BN的長(zhǎng)：(2)如圖②，點(diǎn)M為AB上一點(diǎn)，將△BCM沿CM翻折至△ECM，ME與AD相交于點(diǎn)G，CE與AD相交于點(diǎn)F、且MG=GF，求BM的長(zhǎng)：(3)如圖③，將矩形紙片ABCD折疊，使頂點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)E處，折痕所在直線同時(shí)經(jīng)過(guò)AB、BC(包括端點(diǎn))，請(qǐng)直接寫(xiě)出DE的最大值和最小值．五．構(gòu)造直角三角形求代數(shù)式的最值（共4小題）18．（21-22八年級(jí)下·廣西桂林·期中）如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC，(1)求當(dāng)x等于何值時(shí)，AC=CE?(2)當(dāng)x=4時(shí)，求AC+CE的長(zhǎng)．(3)利用圖形求代數(shù)式x219．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）[探究]已知a，b均為正實(shí)數(shù)，且a+b=3，求a2+4+b2+9的最小值，通過(guò)分析，小文想到了構(gòu)造圖形解決此問(wèn)題：如圖，AB=3,AC=2,BD=3,AC⊥AB,BD⊥AB，且C,D兩點(diǎn)在直線AB的異側(cè)．點(diǎn)E是線段①用含a的代數(shù)式表示CE=_______，用含b的代數(shù)式表示DE=________；②據(jù)此求出a220．（23-24八年級(jí)上·福建泉州·期末）我們知道，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法．【知識(shí)應(yīng)用】如圖1，點(diǎn)G為線段AD上的一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、D作AE⊥AD于A，DF⊥AD于D，連結(jié)（1）若AE=1，DF=5，AD=8，設(shè)AG=x，用含x的代數(shù)式表示GE+GF的長(zhǎng)；（2）參照（1）的思想方法，構(gòu)圖求代數(shù)式x2【能力遷移】（3）如圖2，正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC邊上，點(diǎn)G在AD邊上，且AF⊥EG．已知DF=3,AB=8，求AE+FG的最小值．21．（24-25八年級(jí)上·江蘇淮安·期中）勾股定理具有豐富的文化內(nèi)涵，它揭示了直角三角形的三邊關(guān)系，搭建起幾何與代數(shù)之間的橋梁，為解決幾何問(wèn)題拓寬了思路．請(qǐng)完成下面問(wèn)題：(1)如圖，請(qǐng)你用兩種不同方法表示梯形ABCD的面積，從而驗(yàn)證勾股定理．(2)如圖，在直線l的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)C、D，已知點(diǎn)C和點(diǎn)D到直線l的距離分別為2和5，且CD=73．現(xiàn)要在直線l上取點(diǎn)P，使得PD+PC①請(qǐng)用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在圖2中確定點(diǎn)P的位置（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）②直接寫(xiě)出PC+PD的最小值為_(kāi)________；(3)借助上面的思考過(guò)程，直接寫(xiě)出9+x2+22．（24-25八年級(jí)上·陜西安康·階段練習(xí)）閱讀并回答下列問(wèn)題【幾何模型】如圖①，A、B是直線l同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)，問(wèn)題：在直線l上找一點(diǎn)P，使PA+PB值最小．方法：如圖②，作B點(diǎn)關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB'交l于P

【模型應(yīng)用】如圖③，若A、E兩點(diǎn)在直線l同側(cè)，分別過(guò)點(diǎn)A、E作AB⊥BD，ED⊥BD，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、EC．已知AB=5，DE=3，BD=15，設(shè)CD=x．

（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（2）①請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，AC+CE的值最小，并求出最小值；②根據(jù)①中的規(guī)律和結(jié)論，直接寫(xiě)出代數(shù)式x2+36+【拓展應(yīng)用】由x2+1+x-32+4=x-02+1+x-32+22可得代數(shù)式的幾何意義：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)Px,0是x軸上一點(diǎn)，則x-0

（3）求代數(shù)式x+12六．利用勾股定理解決將軍飲馬問(wèn)題（共4小題）23．（23-24八年級(jí)下·廣西南寧·期中）2024年“廣西三月三·八桂嘉年華”文化旅游品牌活動(dòng)在南寧青秀山風(fēng)景區(qū)拉開(kāi)帷幕．大家身著民族服飾共赴一場(chǎng)民俗文化盛宴．如圖，在地圖上A、B兩站直線距離為25km，C、D為青秀山和園博園民俗文化活動(dòng)場(chǎng)地，且DA⊥AB于A，CB⊥AB于B．已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在小明要在直線AB上找到地點(diǎn)(1)若要使得C、D兩活動(dòng)點(diǎn)到地點(diǎn)E的距離相等，則小明所在的E站應(yīng)在離A站多少km處？(2)若要使得地點(diǎn)E到C、D兩地的距離之和最短，則小明所在的E站應(yīng)在離A站多少km處？并求出DE+CE的最短距離．24．（24-25八年級(jí)上·江蘇常州·期中）（1）如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、BF．交于點(diǎn)P．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AE與BF之間的關(guān)系；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接PC，試說(shuō)明PC平分∠EPF；（3）如圖3，若點(diǎn)E、F分別是BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且AB=1，BE=DF，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE+BF的最小值．

25．（23-24八年級(jí)上·山西晉中·階段練習(xí)）“最短路徑問(wèn)題”是數(shù)學(xué)中一類(lèi)具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題．其實(shí)，數(shù)學(xué)史上也有不少相關(guān)的故事．如下即為其中較為經(jīng)典的一則：古希臘有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．他精通數(shù)學(xué)，物理，聰慧過(guò)人．有一天，一位將軍向他請(qǐng)教一個(gè)問(wèn)題：如圖①，將軍從A地騎馬出發(fā)，要到河邊讓馬飲水，然后再回到B地的馬棚，為使馬走的路程最短，應(yīng)該讓馬在什么地方飲水？

大數(shù)學(xué)家海倫曾用軸對(duì)稱(chēng)的方法巧妙地解決了這個(gè)問(wèn)題．如圖②，作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B'，連接AB'與直線l交于點(diǎn)P，連接PB請(qǐng)你在下列的閱讀、理解、應(yīng)用的過(guò)程中，完成解答．理由：如圖③，在直線l上另取任一點(diǎn)P'，連接AP'，B∵直線l是點(diǎn)B，B'的對(duì)稱(chēng)軸，點(diǎn)P，P'在∴PB=______，P'B=______，（依據(jù)∴AP+PB=AP+PB'在△AP'B'中，∵∴AP+PB<AP+P'B【歸納總結(jié)】在解決上述問(wèn)題的過(guò)程中，我們利用軸對(duì)稱(chēng)變換，把點(diǎn)A，B在直線同側(cè)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在直線的兩側(cè)，從而可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，即轉(zhuǎn)化為“三角形兩邊之和大于第三邊”的問(wèn)題加以解決（其中點(diǎn)P為AB'與l的交點(diǎn)，即由此，可拓展為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線同側(cè)兩定點(diǎn)的距離和的最小值”問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型．【模型應(yīng)用】如圖④，圓柱形玻璃杯，高為14cm，底面周長(zhǎng)為16cm．在杯內(nèi)離杯底3cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短路程為26．（24-25八年級(jí)上·廣東茂名·階段練習(xí)）如圖1，A村和B村在一條大河CD的同側(cè)，它們到河岸的距離AC、BD分別為1千米和4千米，又知道CD的長(zhǎng)為現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向兩村輸送自來(lái)水．有兩種方案?jìng)溥x方案1：水廠建在C點(diǎn)，修自來(lái)水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如圖2）方案2：作A點(diǎn)關(guān)于直線CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B交CD于M點(diǎn)，水廠建在M點(diǎn)處，分別向兩村修管道AM和BM．（即AM+BM從節(jié)約建設(shè)資金方面考慮，將選擇管道總長(zhǎng)度較短的方案進(jìn)行施工，請(qǐng)利用已有條件分別進(jìn)行計(jì)算，判斷哪種方案更合適．七．勾股樹(shù)模型（共4小題）27．（22-23八年級(jí)下·湖南永州·階段練習(xí)）如圖②，它可以看作是由邊長(zhǎng)為a、b、c的兩個(gè)直角三角形（如圖①c為斜邊）拼成的，其中A、C、D三點(diǎn)在同一條直線上，

(1)請(qǐng)從面積出發(fā)寫(xiě)出一個(gè)表示a、b、c的關(guān)系的等式；（要求寫(xiě)出過(guò)程）(2)如圖③④⑤，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1＋S(3)如圖⑥所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S28．（23-24八年級(jí)上·浙江溫州·期中）項(xiàng)目背景我校八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組成員自主開(kāi)展數(shù)學(xué)微項(xiàng)目研究，結(jié)合本階段學(xué)習(xí)內(nèi)容知識(shí)點(diǎn)，他們對(duì)“勾股樹(shù)”產(chǎn)生了濃厚的興趣．素材一畢達(dá)哥拉斯樹(shù)，也叫“勾股樹(shù)”．是由畢達(dá)哥拉斯根據(jù)勾股定理畫(huà)出來(lái)的一個(gè)可以無(wú)限重復(fù)的樹(shù)形圖形，因?yàn)橹貜?fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹(shù)，被稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯樹(shù)．素材二經(jīng)過(guò)小組討論，制定了如下規(guī)則：1．畫(huà)出不同類(lèi)型三角形形成的樹(shù)形圖；2．所畫(huà)的基礎(chǔ)三角形周長(zhǎng)為8cm，其中一條邊長(zhǎng)固定為2素材三

解決問(wèn)題任務(wù)一小明畫(huà)出了銳角△ABC，AB=AC，BC=2，則S3S任務(wù)二小金畫(huà)出了直角△DEF，∠DFE=90°，EF=2，計(jì)算S2任務(wù)三小山畫(huà)出了鈍角△GHI，∠GIH=120°，HI=2，則S2+項(xiàng)目總結(jié)綜合以上三位同學(xué)的圖形以及計(jì)算結(jié)果，小組成員大膽猜想結(jié)論：周長(zhǎng)一定的情況下，由______三角形形成的S329．（23-24八年級(jí)上·山西運(yùn)城·期中）綜合與實(shí)踐勾股定理是人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，流傳至今．如圖2，直角三角形的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c．

(1)如圖3，以直角三角形的三邊a，b，c為邊，分別向外部作正方形，直接寫(xiě)出S1，S2，S3(2)如圖4，以Rt△ABC的三邊為直徑，分別向外部作半圓，請(qǐng)判斷S1，S2(3)如圖5，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（實(shí)線）的周長(zhǎng)為80，OC=5，直接寫(xiě)出該飛鏢狀圖案的面積．30．（22-23八年級(jí)下·江西南昌·期中）勾股定理是人類(lèi)最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱(chēng)之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書(shū)《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱(chēng)之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①如圖2，3，4，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，面積分別為S1，S2，S3，利用勾股定理，判斷這3個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1②如圖5，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月牙形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1，S2，直角三角形面積為S3，也滿足S1+S2(2)如果以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過(guò)程就可以得到如圖6所示的“勾股樹(shù)”．在如圖7所示的“勾股樹(shù)”的某部分圖形中，設(shè)大正方形M的邊長(zhǎng)為定值m，四個(gè)小正方形A，B，C，D的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，d，則a2+八．面積法求高（共3小題）31．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上．若AD⊥BC于點(diǎn)D，則線段AD的長(zhǎng)為32．（23-24八年級(jí)下·云南楚雄·期末）如圖在2×2的方格中，小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，則邊AC上的高為．

33．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·期中）已知在正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1）中，格點(diǎn)△ABC（即△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處）的三條邊AB，AC，BC的長(zhǎng)分別為5，22，17．(1)在網(wǎng)格中畫(huà)出△ABC．(2)求邊AC上的高．九．趙爽弦圖（共4小題）34．（24-25八年級(jí)上·浙江·期中）勾股定理的證明方法多種多樣，我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽構(gòu)造“弦圖”證明了勾股定理，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形拼成．如圖1為趙爽弦圖，其中∠AGB=∠DFA=∠CED=∠BHC=90°，連接AE交BG于點(diǎn)P，連接BE，得到圖2，若∠ABE=∠AEB．(1)求證：EF=DF；(2)若EF=2，求PE的長(zhǎng)．35．（22-23八年級(jí)下·山東濰坊·期中）閱讀材料，解決問(wèn)題：三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)建了一幅“弦圖”，利用面積法給出了勾股定理的證明．實(shí)際上，該“弦圖”與完全平方公式有著密切的關(guān)系．如圖1，這是由8個(gè)全等的直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c的三角形拼成的“弦圖”．(1)在圖1中，正方形ABCD的面積可表示為_(kāi)_____，正方形PQMN的面積可表示為_(kāi)_____（用含a，b的式子表示）；(2)請(qǐng)結(jié)合圖1用面積法說(shuō)明a+b2，ab，a-b(3)已知a+b=7，ab=5，求正方形EFGH的面積．36．（23-24八年級(jí)下·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）中國(guó)數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家是公元3世紀(jì)三國(guó)時(shí)期的趙爽，他為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，圖中正方形MNKT的邊長(zhǎng)為2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10，求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．37．（23-24八年級(jí)下·安徽阜陽(yáng)·期中）如圖①，美麗的弦圖，蘊(yùn)含著四個(gè)全等的直角三角形．(1)弦圖中包含了一大，一小兩個(gè)正方形，已知每個(gè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為a．較短的直角邊為b，斜邊長(zhǎng)為c，結(jié)合圖①，試驗(yàn)證勾股定理；(2)如圖②，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓線的周長(zhǎng)為24，OC=3，求該飛鏢狀圖案的面積；(3)如圖③，將八個(gè)全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，若S一十．梯子模型（共4小題）38．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，∠MON=90°，已知△ABC中，AC=BC=10，AB=12，△ABC的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)點(diǎn)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，△ABC的形狀保持不變，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最大距離為（

）A．12.5 B．13 C．14 D．1539．（20-21八年級(jí)下·貴州安順·期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°,AC=4,BC=2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是（

）A．22+2 B．26+2 C．40．（21-22八年級(jí)上·江蘇鹽城·期中）如圖，射線OA⊥射線OB于點(diǎn)O，線段CD=6，CE=4，且CE⊥CD