~2025學年九年級12月質量檢測數學試卷注意事項：1．你拿到的試卷滿分150分，考試時間為120分鐘．2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分．“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁．3．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．4．考試結束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．1.的值等于（）A B. C. D.2.拋物線的對稱軸是（）A.y軸 B.x軸 C.直線 D.直線3.若反比例函數的圖象經過點，則k的值是（）A.3 B.2 C.1 D.4.如圖，沿著斜坡前進10米，實際上升高度為6米，則該斜坡的坡度（）A. B. C. D.5.如圖，拋物線（，，是常數且）的部分圖象與軸交于點，則方程的解為（）A. B.C. D.6.如圖，四邊形是平行四邊形，是的延長線上一點，分別與交于點，，下列結論錯誤的是（）A. B.C. D.7.如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1．若點A，B，C都在格點上，則的值為（）A. B. C. D.8.拋物線（k是常數且）與雙曲線在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（）A. B. C. D.9.如圖，直線分別與x軸、y軸交于點B，A，直線分別與x軸、y軸交于點C，A，則下列結論正確是（）A. B.C. D.10.如圖，與是四邊形的對角線，，已知，則的最大值為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.若銳角α滿足，則___________．12.如圖，A，B是雙曲線（k是常數且）上兩點，線段經過原點，軸，于點C，若的面積為20，則k的值為__________．13.如圖，為了測量河寬，從處測得對岸的夾角，從處測得對岸C的夾角，點和點位于點的兩側，測得米，則點到的距離為__________米．14.已知拋物線（m，n是實數且）經過．（1）若，則該拋物線的頂點坐標為__________；（2）若該二次函數滿足當時，總有y隨x增大而減小，則代數式的最小值為__________．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.計算：．16.在中，分別是的對邊，，解這個直角三角形．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，在平面直角坐標系中，已知的頂點都在網格點上，按要求完成下列任務．（1）和關于y軸對稱，畫出；（2）若與（1）中的是關于原點為位似中心的位似圖形，位似比為，且位于第四象限．①畫出；②__________．18.如圖，已知一次函數（k，b是常數且）圖象與雙曲線（n是常數且）交于兩點，與x軸交于點C．（1）求m，n，k，b的值；（2）求的面積；（3）直接寫出不等式組的解集：__________．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.如圖，是的高線，是上一點，，若，．（1）求的長；（2）若，求的值．20.某數學興趣小組測量兩幢教學樓樓頂之間的距離，實踐報告如下，請你幫助興趣小組解決問題．活動課題測量兩幢教學樓樓頂之間的距離活動工具測角儀、皮尺等測量過程①如圖，在樓和樓之間豎直放置測角儀；②利用測角儀測出樓頂A的仰角，樓頂B的仰角；③利用皮尺測出米，米．測量圖示解決問題根據以上測量數據，利用三角函數知識求兩幢樓樓頂A，B之間的距離備注說明其中測角儀的底端H與樓的底部D，F在同一條水平直線上，圖中所有點均在同一平面內參考數據六、（本題滿分12分）21.如圖，某一海域有4個小島，其中小島位于同一條直線上，經測量，小島A位于小島B北偏東且小島A位于小島C北偏東，小島B和小島C之間的距離為海里．（1）求小島A和小島C之間的距離的長；（結果保留根號）（2）若小島D位于小島A東偏南方向，求小島A與小島D之間距離的長．（參考數據：；結果精確到海里）七、（本題滿分12分）22.在正方形中，P是邊上的一個動點，已知，且，連接．（1）如圖1，證明：；（2）連接交于點和分別交于點F，G．①如圖2，若P是的中點，證明：；②如圖3，連接，判斷與之間的位置關系并加以證明．八、（本題滿分14分）23.如圖，已知拋物線（b，c是常數）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點，已知．（1）如圖1，求該拋物線的表達式；（2）如圖2，P是直線上方拋物線上一點，與y軸、分別交于D，E．①若，求點P的坐標；②求的最大值．

2024~2025學年九年級12月質量檢測數學試卷注意事項：1．你拿到的試卷滿分150分，考試時間為120分鐘．2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”兩部分．“試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁．3．請務必在“答題卷”上答題，在“試題卷”上答題是無效的．4．考試結束后，請將“試題卷”和“答題卷”一并交回．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）每小題都給出A、B、C、D四個選項，其中只有一個是正確的．1.的值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了特殊角的三角函數值，熟練掌握特殊角的函數值是解題的關鍵．利用特殊角三角函數值代入計算即可．【詳解】解：，故選：C．2.拋物線的對稱軸是（）A.y軸 B.x軸 C.直線 D.直線【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了二次函數的性質，依據題意，由解析式，直接代入對稱軸公式“直線”，從而可以判斷得解．【詳解】解：∵拋物線，∴，，，∴對稱軸為直線．∴對稱軸為y軸．故選：A．3.若反比例函數的圖象經過點，則k的值是（）A.3 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】此題考查的是用待定系數法求反比例函數的解析式，根據反比例函數圖象上點的坐標特征，將代入已知反比例函數的解析式，列出關于系數k的方程，通過解方程即可求得k的值．【詳解】解：∵反比例函數的圖象經過點，∴，解得，．故選：B．4.如圖，沿著斜坡前進10米，實際上升高度為6米，則該斜坡的坡度（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題主要考查學生對坡度的理解．根據題意，利用勾股定理可先求出水平距離，再求出這個斜坡的坡度即可．【詳解】解：根據題意，水平距離為：，∴坡度；故選：B．5.如圖，拋物線（，，是常數且）的部分圖象與軸交于點，則方程的解為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了拋物線與軸的交點與一元二次方程的關系，掌握拋物線與軸的交點是對應一元二次方程的解是關鍵．根據拋物線與軸的兩個交點到對稱軸的距離相等，則可得另一個交點的坐標，關于的方程的解就是拋物線與軸交點的橫坐標，據此即可求解．【詳解】解：拋物線的對稱軸是，圖象與軸的一個交點為，拋物線與軸的另一個交點為，方程的解為，故選：C．6.如圖，四邊形是平行四邊形，是的延長線上一點，分別與交于點，，下列結論錯誤的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質．根據平行四邊形性質得到平行是關鍵．根據平行四邊形性質得，，可得，，．【詳解】解：A、四邊形是平行四邊形，，，不符合題意；B、四邊形是平行四邊形，，，不符合題意；C、四邊形是平行四邊形，，，不符合題意；D、無法證明，符合題意；故選：D．7.如圖，在的網格中，每個小正方形的邊長均為1．若點A，B，C都在格點上，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，銳角三角函數，正確添加輔助線是解題的關鍵．連接，先證明為直角三角形，即可求解．【詳解】解：連接，∵，，，∴，∴，即為直角三角形，∴，故選：D．8.拋物線（k是常數且）與雙曲線在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了反比例函數與二次函數的綜合，分兩種情況討論：①當時，②當時，分別判斷反比例函數圖象與拋物線的位置，即可求解，熟練掌握反比例函數與二次函數的圖象與性質是解題的關鍵．【詳解】解：分兩種情況討論：當時，反比例函數在第一、三象限，而二次函數開口向上，頂點在軸上，且與軸交點為，故四個選項都不符合題意；當時，反比例函數在第二、四象限，而二次函數開口向下，頂點在軸上，且與軸交點為，故A選項符合題意，故選：A．9.如圖，直線分別與x軸、y軸交于點B，A，直線分別與x軸、y軸交于點C，A，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】令，則，于是可求得直線、與軸的交點，進而可求得的長，令，則，解方程即可求出直線與軸的交點B4,0，進而可求得的長，令，則，解方程即可求出直線與軸的交點，進而可求得與的長，然后利用勾股定理可求得與的長，進而可求得，過點作于點，由三角形的面積公式可得，即，據此可求得的長，然后利用勾股定理可求得的長，進而可求得，據此即可判斷選項；又可求得，，據此即可判斷選項；又可求得，，據此即可判斷選項；又可求得，，據此即可判斷選項；綜上，于是可得答案．【詳解】解：令，則，，，令，則，解得：，，，令，則，解得：，，，，，，，如圖，過點作于點，，，，，，故選項不符合題意；，，，故選項不符合題意；，，，故選項不符合題意；，，，故選項符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查了一次函數圖象與坐標軸的交點問題，求一次函數的函數值，解一元一次方程，已知兩點坐標求兩點距離，線段的和與差，勾股定理，求角的正弦值，三角形的面積公式，等式的性質，求角的余弦值，求角的正切值等知識點，熟練掌握相關知識點并能加以綜合運用是解題的關鍵．10.如圖，與是四邊形的對角線，，已知，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質，勾股定理，三角形三邊關系，過點C作，使，連接，證明得，進而得，再由勾股定理得，再根據三角形三邊關系得（當點E位于上時，等號成立），即可得出結論．【詳解】解：如圖，過點C作，使，連接，∴，∴，即，又∵，，，∴，在中，，在中，由三邊關系，得（當點E位于上時，等號成立），故的最大值．故選：A．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.若銳角α滿足，則___________．【答案】【解析】【分析】本題考查特殊角三角函數值，根據特殊角的三角函數值可得，從而得到，進而即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴．故答案為：12.如圖，A，B是雙曲線（k是常數且）上兩點，線段經過原點，軸，于點C，若的面積為20，則k的值為__________．【答案】10【解析】【分析】設點坐標為，由于線段經過原點，由雙曲線的對稱性可知，點坐標為，進而可得，，由已知條件及三角形的面積公式可得，即，據此即可求出的值．【詳解】解：設點坐標為，線段經過原點，由雙曲線的對稱性可知，點坐標為，，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了反比例函數與幾何綜合，由反比例函數圖象的對稱性求點的坐標，已知兩點坐標求兩點距離，三角形的面積公式，等式的性質等知識點，熟練掌握反比例函數與幾何綜合是解題的關鍵．13.如圖，為了測量河寬，從處測得對岸的夾角，從處測得對岸C的夾角，點和點位于點的兩側，測得米，則點到的距離為__________米．【答案】【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用，首先過點作，設米，把AD、BD用含的代數式表示出來，可得方程，解方程求出點到的距離.【詳解】解：如下圖所示，過點作，設米，，米，在中，，，，，，解得：，點到的距離為米．故答案為：

．14.已知拋物線（m，n是實數且）經過．（1）若，則該拋物線的頂點坐標為__________；（2）若該二次函數滿足當時，總有y隨x的增大而減小，則代數式的最小值為__________．【答案】①.②.5【解析】【分析】本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到解不等式、函數的圖象和性質．（1）將代入得，再將2,1代入得，再將拋物線解析式變形為頂點式即可得頂點坐標；（2）當時，總有y隨x的增大而減小，則，，由拋物線過點得，代入得，再根據二次函數的性質求解即可．【詳解】解：（1）∵拋物線過點2,1，，∴拋物線，，解得，，∴頂點坐標為，故答案為：；（2）∵拋物線過點，，，當時，總有y隨x的增大而減小，，，∴，，∴，，∴函數的對稱軸為直線，∴當時，隨增大而減小，∴當時，函數取得最小值為5，即的最小值是5．故答案為：5．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.計算：．【答案】0【解析】【分析】本題考查特殊角的三角函數值的混合運算，將特殊角的三角函數值代入進行計算即可．【詳解】解：原式．16.在中，分別是的對邊，，解這個直角三角形．【答案】，，【解析】【分析】先利用直角三角形銳角互余求，再用含30度角的直角三角形的性質求出，再用的正切求出．【詳解】解：在中，，，．【點睛】本題考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形，熟練掌握直角三角形的邊角關系是解題的關鍵．詳解片段四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，在平面直角坐標系中，已知的頂點都在網格點上，按要求完成下列任務．（1）和關于y軸對稱，畫出；（2）若與（1）中的是關于原點為位似中心的位似圖形，位似比為，且位于第四象限．①畫出；②__________．【答案】（1）見解析（2）①圖見解析；②【解析】【分析】本題考查了作圖-位似變換、作圖-軸對稱變換．（1）分別得出點A、B、C關于y軸的對稱點，然后連線即可；（2）①由（1）及位似性質進行作圖即可；②由（1）得，進而得．【小問1詳解】解：如圖，即為所求；【小問2詳解】解：①如圖，即為所求；②∵和關于y軸對稱，∴，∵與的位似比為，∴，即，故答案為：．18.如圖，已知一次函數（k，b是常數且）的圖象與雙曲線（n是常數且）交于兩點，與x軸交于點C．（1）求m，n，k，b的值；（2）求的面積；（3）直接寫出不等式組解集：__________．【答案】（1），，，（2）2（3）【解析】【分析】本題考查一次函數與反比例函數的交點問題，（1）先由點、在雙曲線上求出m，n的值，即可得，再由、在一次函數上，求出k，b的值即可；（2）過點A作于點D，分別求出、的長，再由即可得的面積；（3）觀察函數圖象可得不等式組的解集是x軸上方，雙曲線下方的圖象對應的x的取值范圍．【小問1詳解】解：∵點、在雙曲線上，∴，解得：，∴，∵點、在一次函數上，∴，解得：；【小問2詳解】解：如圖，過點A作于點D，∵點∴，由（1）得在一次函數，令，則，∴，，∴；【小問3詳解】解：∵點，，結合函數圖象可得不等式組的解集為．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19.如圖，是的高線，是上一點，，若，．（1）求的長；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】首先過點作于點，可證，根據相似三角形對應邊成比例可得，可得，根據正弦的定義可得，可以求出的長度；根據可得：，，利用勾股定理可以求出的長度，根據等腰三角形的性質可以求出的長度，根據平行線分線段成比例定理可以求出BD的長度，從而可求AD的長度，根據正切的定義可求的值．小問1詳解】解：如下圖所示，過點作于點，是高線，，，，又，，可得：，解得：，在中，，，解得：；【小問2詳解】解：由可得：，，，，是的垂直平分線，，，，，，，．【點睛】本題考查平行線的判定，平行線分線段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質，解決本題的關鍵是利用相似三角形的性質得出相應線段的比例關系．20.某數學興趣小組測量兩幢教學樓樓頂之間的距離，實踐報告如下，請你幫助興趣小組解決問題．活動課題測量兩幢教學樓樓頂之間的距離活動工具測角儀、皮尺等測量過程①如圖，在樓和樓之間豎直放置測角儀；②利用測角儀測出樓頂A的仰角，樓頂B的仰角；③利用皮尺測出米，米．測量圖示解決問題根據以上測量數據，利用三角函數知識求兩幢樓樓頂A，B之間的距離備注說明其中測角儀的底端H與樓的底部D，F在同一條水平直線上，圖中所有點均在同一平面內參考數據【答案】兩幢樓樓頂A、B之間的距離約為91.2米【解析】【分析】過點B作于M，由正切三角函數可求出相應邊的長度，最后由勾股定理即可求解．【詳解】解：過點B作，垂足為M，如圖：由題意可知四邊形和都是矩形，米，米，米，在中，米，在中，米，米米米，在中，（米），∴兩幢樓樓頂A、B之間的距離約為91.2米．【點睛】本題考查了解直角三角的應用，勾股定理，能根據題意作出輔助線構造直角三角形求解是解題的關鍵．六、（本題滿分12分）21.如圖，某一海域有4個小島，其中小島位于同一條直線上，經測量，小島A位于小島B北偏東且小島A位于小島C北偏東，小島B和小島C之間的距離為海里．（1）求小島A和小島C之間的距離的長；（結果保留根號）（2）若小島D位于小島A東偏南方向，求小島A與小島D之間的距離的長．（參考數據：；結果精確到海里）【答案】（1）小島A和小島C之間的距離的長為海里（2）小島A與小島D之間的距離的長約為海里【解析】【分析】本題主要考查了方向角的定義，解直角三角形，等腰三角形，三角形所對的直角邊為斜邊的一半，求三角形的邊或高的問題一般可以轉化為解直角三角形的問題，解題的關鍵就是作高線．（1）過點C作于點E，由題意可知是等腰直角三角形，通過三角函數可得的值，通過角的和差可得的值，進而得出的值，再根據所對的直角邊為斜邊的一半可得的值，從而得解．（2）過點C作于點F．由題意可知，，的值，再根據三角函數可得，，從而根據求解即可．【小問1詳解】解：如圖，過點C作于點E．由題意可知，是等腰直角三角形，（海里）．由題意可知，．在中，，則（海里）．答：小島A和小島C之間的距離的長為海里．【小問2詳解】如圖，過點C作于點F．由題意可知，則，，（海里），在中，，（海里）．答：小島A與小島D之間的距離的長約為海里．七、（本題滿分