2024-2025學年安徽省六安市高二上學期12月月考數學檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．若平面α//β，且平面的一個法向量為，則平面的法向量可以是（）A． B． C． D．2．我國古代數學名著《九章算術》有一衰分問題：“今有北鄉八千一百人，西鄉九千人，南鄉五千四百人，凡三鄉，發役五百人.”若要用分層抽樣從這三個鄉中抽出500人服役，則北鄉比南鄉多抽出人數為（）A．60 B．70 C．80 D．903．已知正方體，點是上底面的中心，若，則等于（

）A．2 B． C． D．4．2023年“中華情·中國夢”中秋展演系列活動在廈門舉辦，包含美術、書法、攝影民間文藝作品展覽，書畫筆會，中秋文藝晚會等內容．假如在美術、書法、攝影民間文藝作品展覽中，某區域有3幅不同的美術作品、3幅不同的書法作品，若從這6幅作品中隨機挑選2幅作品掛在同一面墻上，則選出的2幅作品為1幅美術作品和1幅書法作品的概率為（

）A． B． C． D．5．設、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；上述命題中，所有真命題的序號是（

）A．①② B．③④ C．①③ D．②④6．一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中，下列結論：①；②；③MN與AB是異面直線；④BF與CD成角，其中正確的是（

）A．①③ B．②③ C．②④ D．③④7．在四面體中，平面，，則該四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．8．某校200名學生參加環保知識競賽，隨機抽取了20名學生的考試成組（單位：分），成績的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．頻率分布直方圖中a的值為0.006B．估計某校成績落在內的學生人數為50人C．估計這20名學生考試成績的眾數為80分D．估計這20名學生考試成績的第60百分位數為80分二、多選題（本大題共3小題）9．若是空間的一個基底，則下列各組中能構成空間一個基底的是（）A． B．C． D．10．下列說法正確的是（

）A．一組樣本數據的方差，則這組樣本數據的總和為60B．數據13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數是23C．若一個樣本容量為8的樣本的平均數是5，方差為2.現樣本中又加入一個新數據5，此時樣本的平均數不變，方差變大D．若樣本數據的標準差為8，則數據的標準差為1611．柜子里有雙不同的鞋子，從中隨機地取出只，下列計算結果正確的是（

）A．“取出的鞋成雙”的概率等于B．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C．“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于D．“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成雙”的概率等于三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，，滿足，則．13．在四棱錐中，底面為平行四邊形，與交于點，為上一點，，，，，則．（用，，表示向量）14．如圖，邊長為的正的中線與中位線相交于，已知是繞旋轉過程中的一個圖形，現給出下列命題，其中正確的命題有（只需填上正確命題的序號）．①動點在平面上的射影在線段上；②三棱錐的體積有最大值；③恒有平面平面；④異面直線與不可能互相垂直；⑤異面直線與所成角的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在空間直角坐標系中有長方體，，，．求：(1)向量，，的坐標；(2)，的坐標．16．甲、乙兩人每下一盤棋，甲獲勝的概率是0.4，甲不輸的概率為0.9．(1)若甲、乙兩人下一盤棋，求他們下成和棋的概率；(2)若甲、乙兩人連下兩盤棋，假設兩盤棋之間的勝負互不影響，求甲至少獲勝一盤的概率．17．如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，為的中點．

(1)求證：平面；(2)求證：平面.18．某校為選拔參加數學聯賽的同學，先進行校內數學競賽，為了解校內競賽成績，從所有學生中隨機抽取200名學生，記錄他們的首輪競賽成績，并作出頻率分布直方圖，根據圖形，請回答下列問題：(1)求頻率分布直方圖中a的值．若從成績不低于70分的同學中，按分層抽樣方法抽取12人的成績，求12人中成績不低于90分的人數.(2)用樣本估計總體，估計該校學生首輪數學競賽成績的平均數以及中位數.(3)若甲、乙兩位同學均進入第二輪的復賽，已知甲復賽獲一等獎的概率為，乙復賽獲一等獎的概率為，甲、乙是否獲一等獎互不影響，求至少有一位同學復賽獲一等獎的概率．19．如圖，在直三棱柱中，，，P為上的動點，Q為棱的中點．(1)設平面平面，若P為的中點，求證：；(2)設，問線段上是否存在點P，使得平面？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

答案1．【正確答案】A【詳解】若平面α//β，則兩個平面的法向量互相平行，所以平面的法向量為，所以當時，向量為，故選：A.2．【正確答案】A【分析】根據分層抽樣原理建立比例關系，即可得到結論．【詳解】由題意知，抽樣比為；所以北鄉應抽，南鄉應抽，所以，即北鄉比南鄉多抽60人．故選：A3．【正確答案】C【詳解】正方體，點是上底面的中心，如圖，則，不共面，又，于是得，所以.故選：C4．【正確答案】B【分析】由題意，根據列舉法，結合古典概型概率的計算公式即可求解.【詳解】記3幅美術作品分別為，3幅書法作品分別為，從中隨機挑選2幅作品，不同的選法有，共15種，其中選出的2幅作品恰好為1幅美術作品和1幅書法作品的不同選法有，共9種，故所求概率為．故選B.5．【正確答案】D【詳解】對于①，平面與平面也可能相交，故錯誤；對于②，根據垂直同一條的直線的兩個平面平行得正確；對于③，直線與直線可能相交，可能異面，故錯誤；對于④根據垂直同一平面的兩條直線平行正確；故D．6．【正確答案】B【詳解】將正方體還原，如圖所示：由圖可知，①不正確；②正確；③正確；④BF與CD平行，不正確．故選：B．7．【正確答案】C根據題目條件先確定出外接球的球心，得出外接球半徑，然后計算表面積.【詳解】因為平面，平面，所以，又，，且平面，平面，所以平面，所以.因為，所以，，，根據該幾何體的特點可知，該四面體的外接球球心位于的中點，則外接球半徑，故該四面體的外接球的表面積為.故選：C.,8．【正確答案】D【詳解】由頻率分布直方圖，得：，解得，故A錯誤；總體中成績落在,內的學生人數為，故B錯誤．這20名學生數學考試成績的眾數為75，故C錯誤；前三個矩形的面積和為，這20名學生數學考試成績的第60百分數為80，故D正確；故選：D9．【正確答案】ABD【詳解】由于是空間的一個基底，所以不共面，對于A，向量分別與共線，所以不共面，能構成空間一個基底；對于B，不存在實數滿足，因此不共面，能構成空間一個基底；對于C，由于，因此這三個向量是共面的，不能構成基底.對于D，不存在實數滿足，因此不共面，能構成空間一個基底.故選：ABD10．【正確答案】AD【詳解】對于A，由方差的公式可知，該組數據的平均數是3，這組樣本數據的總和為，A正確；對于B，數據13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10個數，從小到大排列為12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，由于，故選擇第7和第8個數的平均數作為第70百分位數，即，所以第70百分位數是23.5，故B錯誤；對于C，某8個數的平均數為5，方差為2，現又加入一個新數據5，設此時這9個數的平均數為，方差為，則，故C錯誤．對于D，樣本數據，，，的標準差為8，故數據，，，的標準差為，故D正確；故選：AD．11．【正確答案】BC【詳解】記雙不同的鞋子按左右為，隨機取只的樣本空間為，共種，則“取出的鞋成雙”的概率等于，A錯；“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，B正確；“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于，C正確；“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成雙”的概率等于，D錯.故選：BC12．【正確答案】6【詳解】，∵，則，解得．故6．13．【正確答案】【詳解】．故．14．【正確答案】①②③⑤．【詳解】過作面，垂足為為正三角形且中線與中位線相交，.又面面∴面面且面面.在上，故①對③對．底面面積是個定值，當為時，三棱錐的面積最大，故②正確.由異面直線所成的角的定義知：異面直線與所成角的取值范圍是，故⑤正確.在是繞旋轉的過程中異面直線與可能互相垂直，故④不正確.故答案為①②③⑤15．【正確答案】(1)，，(2)，【詳解】（1）由已知，則，，；（2），.16．【正確答案】(1)0.5(2)0.64【分析】（1）用互斥事件概率的加法公式解決.（2）分析至少有一次獲勝的事件包括兩次都獲勝，第一次獲勝第二次未獲勝和第一次未獲勝第二次獲勝三種情況，又因為三種情況之間互斥和兩盤棋之間的勝負互不影響，利用互斥事件的概率加法公式和獨立事件同時發生的概率乘法公式和對立事件概率的知識求解.【詳解】（1）設事件A表示甲獲勝，事件表示和棋，事件表示甲不輸，則，因為和棋與獲勝是互斥的，由概率的可加性，得，因為，所以（2）設事件A表示甲獲勝，則表示甲未獲勝.設下兩次棋至少有一次獲勝的事件為，則，因為兩盤棋之間的勝負互不影響，且至少有一次獲勝包括的三種情況是互斥的，所以.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）依題意可以D為原點建立空間直角坐標系，利用空間向量共面定理可證明共面，即可證明平面；（2）由空間向量數量積為零可證明，，再由線面垂直的判定定理即可證明平面.【詳解】（1）根據題意可知平面平面，平面平面，又是正方形，所以，平面，

所以平面，即，，兩兩垂直；以D為原點，分別以，，的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系．則，又為的中點，所以，則，所以，故共面．又平面，所以平面；（2）易知，所以；又，可得；又，平面，所以平面.18．【正確答案】(1)，12人中成績不低于90分的人數為1；(2)平均數約為分，中位數約為分；(3).【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，解得.的頻率為，的頻率為，的頻率為，按分層抽樣方法抽取12人的成績，則12人中成績不低于90分的人數為.（2）該校學生首輪數學競賽成績的平均數為：.的頻率為，的頻率為，設中位數為,則，則，解得，故該校學生首輪數學競賽成績的平均數約為分，中位數約為分.（3）設“至少有一位同學復賽獲一