20242025學年度第一學期期中考試高一數(shù)學2024.11本試卷共4頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，請將答題卡上交.一、單項選擇題：本大題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合交集的運算定義即可得結果.【詳解】故選：D2.下列各組函數(shù)與表示同一函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的定義逐項判斷.【詳解】解：的定義域為R，，解析式不同，故不是同一函數(shù)，故A錯誤；B.的定義域為，兩函數(shù)定義域不同，故B錯誤；的定義域為R，故C正確；的定義域為，故D錯誤.故選：C3.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】B【解析】【分析】通過舉反例排除A,C兩項，利用不等式的性質(zhì)進行推理，可以排除D項，證得B項.【詳解】對于A,當時，顯然不成立，故A錯誤；對于B，由，利用不等式的性質(zhì)易得，故B正確；對于C，當時，取，則，故C錯誤；對于D，當時，，由不等式的性質(zhì)，可得，故D錯誤.故選：B.4.在周長為定值的扇形中，面積最大時扇形的半徑為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】用半徑表示出面積，結合函數(shù)知識得結論.【詳解】設扇形半徑為，則扇形面積為，所以時，取得最大值.故選：C5.命題，，則命題的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得到結論．【詳解】命題，，為全稱量詞命題，則該命題的否定為：，.故選：C．6.某中學的學生積極參加美育活動，其中有的學生喜歡美術或音樂，的學生喜歡美術，的學生喜歡音樂，則該中學既喜歡美術又喜歡音樂的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集的定義求解.【詳解】由題意既喜歡美術又喜歡音樂的學生數(shù)占該校學生總數(shù)的比例為：，故選：A7.“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“”（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用冪函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性結合充分、必要條件的定義判定即可.【詳解】先判定充分性，若在上單調(diào)遞減，由冪函數(shù)及復合函數(shù)的單調(diào)性可知，則，滿足充分性；再判定必要性，可舉反例，若，則單調(diào)遞減，此時的定義域為，此時在上單調(diào)遞減，不滿足必要性，綜上“函數(shù)在上單調(diào)遞減”是“”的充分不必要條件.故選：B8.用表示，中的最大者，用表示，中的最小者，若函數(shù)在上有最大值，則（）A.是奇函數(shù) B.在上最大值是2C.的值域是 D.的取值范圍是【答案】D【解析】【分析】在同一坐標系中作出函數(shù)的圖象，進而得到函數(shù)hx的圖象，利用圖象分別判斷四個選項即可.【詳解】hx定義域，在同一坐標系中分別作出函數(shù)的圖象，取與的圖象中較高的曲線段，再與的圖象對比取較低的曲線段，得到函數(shù)hx的圖象，如圖所示，因為圖象不關于坐標原點對稱，所以hx不是奇函數(shù)，故A因為hx在上有最大值，所以，故D正確，且hx在上最大值是1，故B錯誤；由圖象知hx的值域是，故C錯誤；故選：D.【點睛】方法點睛：在研究函數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)時，通常先畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結合分析函數(shù)性質(zhì).二、多項選擇題：本大題共3小題.每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，選錯的得0分.9.下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)定義和單調(diào)性概念判斷即可.【詳解】因為函數(shù)的定義域是，所以函數(shù)無奇偶性；函數(shù)的定義域是，又，所以函數(shù)為奇函數(shù)；函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又因為時，在上單調(diào)遞增；函數(shù)的定義域為，且，所以函數(shù)為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增.故選：BC.10.定義，則（）A.B.C.D.若，都是正數(shù)，，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)新定義進行去體驗判斷AC，用新定義轉化為結合二次函數(shù)性質(zhì)判斷B，用新定義轉化后，利用基本不等式判斷D.詳解】選項A，，只有時，兩者才相等，A錯；選項B，，當且僅當時等號成立，B正確；選項C，，，C錯；選項D，，則，又，所以，當且僅當，即時等號成立，D正確.故選：BD【點睛】關鍵點點睛：本題考查新定義，解題關鍵是利用新定義把問題進行轉化，一是直接利用新定義進行運算，二是進行轉化轉化為函數(shù)知識求解，轉化為基本不等式問題求解等.11.定義域為R的函數(shù)，同時滿足：①當時，；②，當時，；③.則（）A.是奇函數(shù)B.在1,2上單調(diào)遞減C.函數(shù)y=fx的圖像關于點1,0D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，結合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性，依次分析選項是否正確，即可得答案．【詳解】對于A，因為的定義域為R，且當時有，即，所以是奇函數(shù)，故A正確；對于B、C，因為，所以關于對稱，故C錯誤，因為對，當即時，，即，結合奇函數(shù)的性質(zhì)可得，所以當時，為增函數(shù)，結合關于對稱的條件可知，當時，為減函數(shù)，故B正確；對于D，結合①，令可得，所以，因為關于對稱，所以，結合③，因為，令可得結合奇偶性可得，所以，所以，解得，所以，即，故D正確，故選：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，則實數(shù)的取值集合為______.【答案】【解析】【分析】利用集合間基本關系及集合元素的互異性計算即可.【詳解】因為，所以，則，所以實數(shù)的取值集合為.故答案為：13.已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當時，.則當時，函數(shù)的解析式為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求解.【詳解】時，，，所以.故答案為：.14.已知，，，，，，，是在集合中的不同數(shù)，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】記，根據(jù)條件將所求式子表示為，先分析的可行性，然后確定出最小值即可.【詳解】不妨設，因為，所以，所以，若要值最小，則，下面分析的可能性：當時，則四個數(shù)全為偶數(shù)，或全為奇數(shù)，或兩奇兩偶，若四個數(shù)全為偶數(shù)，則和的結果為，不滿足要求；若四個數(shù)全為奇數(shù)，則和的結果為，不滿足要求；若四個數(shù)兩奇兩偶，其中兩個奇數(shù)之和可能，兩個偶數(shù)之和可能為，此時兩奇兩偶的四個數(shù)之和不可能等于，所以不成立，所以當時，此時取值最小，最小值為，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：解答本題的關鍵點有兩個，一方面是對所給表達式能利用已知關系進行化簡變形，將雙變量轉化為單變量；另一方面是對于二次函數(shù)取最小值的可行性分析，此處無法直接確定成立.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）確定集合，由交集、補集運算即可；（2）由條件確定，構造不等式組求解即可.【小問1詳解】由可得：A=x2≤x≤3所以或，又，所以或.【小問2詳解】因為“”是“”的充分不必要條件，所以，所以解得：，所以實數(shù)的取值范圍是16.若關于的不等式的解集是.（1）求，；（2）求不等式的解集.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）由題意可知，為方程的兩根，且，由根與系數(shù)的關系即可求出答案.（2）將的值代入不等式，解不等式即可.【小問1詳解】由題意可知，為方程的兩根，且，所以，解得：.【小問2詳解】由（1）可得不等式為，所以，因為，所以，解得：.所以不等式的解集為：.17.如圖，居民小區(qū)要建一座八邊形休閑場所，它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形和構成的面積為的十字形地域.計劃在正方形上建一座花壇，造價為；在四個相同的矩形（圖中陰影部分）上鋪花崗巖地坪，造價為；再在四個空角（圖中四個三角形）上鋪草坪，造價為.設總造價為（單位：元），長為（單位：m）（1）請用表示的長；（2）請寫出關于的函數(shù)關系式；（3）若總造價不超過138000元，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）設，根據(jù)十字形地域的面積得出的關系式，即可求解；（2）由（1）可求得，從而可求出各個圖形的的面積，將花壇、地坪、草坪的各個區(qū)域造價相加，求得總造價，即可求解；.（3）根據(jù)不等式求解可求得的取值范圍.【小問1詳解】設，因為兩個相同的矩形和構成的面積為，所以可得，解之可得，且所以【小問2詳解】由（1）知，所以矩形的面積為正方形為，所以.【小問3詳解】由（2）知，若總造價不超過138000元，即化簡可得，即，解之可得，所以的取值范圍.18.已知函數(shù)，.（1）若，試判斷的單調(diào)性并用定義法證明；（2）若，求函數(shù)的最大值的表達式.【答案】（1）在區(qū)間上單調(diào)遞增；（2）【解析】【分析】（1）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性；（2）先化簡函數(shù)，再利用單調(diào)性分別求在區(qū)間和上的最大值，取較大者即可.由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，需對區(qū)間中的分類討論.【小問1詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：若，因為，所以，，且，有.因為，且，所以，.于是，即.故在區(qū)間上單調(diào)遞增；【小問2詳解】若，則，先判斷在上的單調(diào)性，由于，當，且時，，，所以，即，故在區(qū)間上單調(diào)遞增；當，且時，，，所以，即，故在區(qū)間上單調(diào)遞減；綜上，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.①當時，由（1）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；②當時，（i）若，則在上單調(diào)遞增，所以，所以函數(shù)的最大值；（ii）若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以函數(shù)的最大值；（iii）若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以函數(shù)的最大值；綜上.19.定義：表示實數(shù)到與它最近整數(shù)的距離.（1）求，，的值；（2）求證：；（3）給定正整數(shù)，函數(shù)，用表示，中的最小者.（ⅰ）若為奇數(shù)，求證：的最大值為；（ⅱ）若為偶數(shù)，求的最大值.【答案】（1）;;.（2）證明見解析（3）（ⅰ）證明見解析（ⅱ）.【解析】【分析】（1）對于第一問，根據(jù)的定義，直接計算實數(shù)到與其最近整數(shù)的距離.（2）第二問要證明，需要根據(jù)整數(shù)與的關系，結合定義來證明.（3）第三問中，對于為奇數(shù)和偶數(shù)的情況分別討論的最大值.需要分析和的取值情況，根據(jù)的定義來求解.【小問1詳解】對于，到最近整數(shù)的距離為，所以.對于，到最近整數(shù)的距離為，所以.對于，到最近整數(shù)的距離為，所以.【小問2詳解】設，其