/2024-2025學年度第二學期高二年級期末調(diào)研測試數(shù)學試題注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，只要將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合中元素的個數(shù)為（）A.18 B.12 C.8 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合定義結(jié)合分步計數(shù)原理即可求解.【詳解】集合中元素的個數(shù)為.故選：A.2.下列求導運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式計算可得.【詳解】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確；故選：D．3.已知空間向量，，，若向量，，共面，則實數(shù)為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知：，結(jié)合向量的坐標運算求解.詳解】若向量，，共面，則，可得，解得，所以實數(shù)為.故選：B.4.已知隨機變量，若，則（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合二項分布的概率公式列式求解即可.【詳解】因為，則，且，整理可得，解得或.故選：D.5.正方體中，為中點，則直線，所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設正方體的棱長為2，建系標點，利用空間向量求線線夾角.【詳解】如圖，以D為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則，可得，則，所以直線，所成角的余弦值為.故選：B.6.隨機變量的概率分布為，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求，再結(jié)合方差的性質(zhì)運算求解.【詳解】由題意可得：，，所以.故選：D.7.三棱錐中，，均為邊長為2的等邊三角形，平面平面，則三棱錐的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取中點，連接，利用面面垂直的性質(zhì)及球的截面小圓性質(zhì)，確定球心并求出球半徑，即可得三棱錐外接球的表面積.【詳解】如圖，取中點，連接，則，，由平面平面，平面平面，平面，平面，得平面，平面，取的外心，的外心，分別過作平面、平面的垂線交于點，即為球心，連接，于是，四邊形為平行四邊形，，，因此三棱錐的外接球半徑，有，所以三棱錐外接球表面積.故選：C8.函數(shù)，，若存在正數(shù)，，使得，則最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】分析可知，結(jié)合的單調(diào)性可得，，構建，利用導數(shù)求其單調(diào)性和最值，即可得結(jié)果.【詳解】因為，則，由題意可得：，整理可得，即，又因為在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，則，構建，可得，當時，；當時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以的最小值為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了探討學生的物理成績與數(shù)學成績之間的關系，從某批學生中隨機抽取10名學生的成績，并已計算出，物理成績關于數(shù)學成績的線性回歸方程為，下列說法正確的有（）A.B.相關系數(shù)C.樣本數(shù)據(jù)的殘差為D.當某學生數(shù)學成績?yōu)?00時，物理成績一定為92.5【答案】ABC【解析】【分析】對于A：根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點運算求解；對于B：根據(jù)正相關的定義分析判斷；對于C：代入，結(jié)合殘差的定義運算求解；對于D：代入，結(jié)合回歸方程的意義分析判斷.【詳解】對于選項A：因為線性回歸方程必過樣本中心點，由題意可得：，故A正確；對于選項B：因為，即線性回歸方程為的圖象是上升的，可知與滿足正相關，所以相關系數(shù)，故B正確；對于選項C：令，可得，所以樣本數(shù)據(jù)的殘差為，故C正確；對于選項D：令，可得，但回歸方程只能用于預測結(jié)果，并不一定與實際結(jié)果完全相等，所以預測物理成績?yōu)?2.5，故D錯誤；故選：ABC.10.已知的展開式第6項和第8項的二項式系數(shù)相等，下列說法正確的有（）A. B.第3項的系數(shù)為66C.展開式中有理項共有3項 D.奇數(shù)項系數(shù)和為【答案】AC【解析】【分析】先根據(jù)二項式系數(shù)相等求出n判斷A選項，再根據(jù)展開式系數(shù)和系數(shù)判斷B,D選項，最后應用通項公式判斷C選項.【詳解】因為展開式第6項和第8項的二項式系數(shù)相等，可得,所以,A選項正確；第3項的系數(shù)為,B選項錯誤；展開式的通項公式為,當時，展開式中有理項共有3項，C選項正確；展開式的奇數(shù)項系數(shù)和設為展開式的偶數(shù)項系數(shù)和設為,則令,,展開式的奇數(shù)項系數(shù)和為展開式的偶數(shù)項系數(shù)和為,則令,,所以奇數(shù)項系數(shù)和為,D選項錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，的定義域均為，若存在函數(shù)，使得函數(shù)，在上有，，，恒成立，則稱，為一組“雙向奔赴”函數(shù).下列各組函數(shù)中，符合“雙向奔赴”函數(shù)的有（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】BD【解析】【分析】分析可知，，，.對于A：分析可知在內(nèi)的值域為，即可得出矛盾，進而分析判斷；對于B：利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合題意分析判斷；對于C：整理可得，舉反例說明即可；對于D：求導，根據(jù)題意分析說明即可.【詳解】由題意可知：，，等價于，；且，，等價于，.對于選項A：因為，，則在內(nèi)的值域為，可知不存在，使得恒成立，不符合“雙向奔赴”函數(shù)，故A錯誤；對于選項B：因為，對于，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且當趨近于時，趨近于0，可知；對于，則且，可知當，滿足題意，所以符合“雙向奔赴”函數(shù)，故B正確；對于選項C：因，，則，對于，，，取特值，可知，不合題意，即不符合“雙向奔赴”函數(shù)，故C錯誤；對于選項D：因為，，，對于，此時，可得，且；對于，此時，可得，，可知當，滿足題意，所以符合“雙向奔赴”函數(shù)，故D正確；故選：BD.【點睛】關鍵點點睛：本題的解題關鍵在意對題意進行重組，題意等價于，，，，進而分析求解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.隨機變量，，若，則___________.【答案】##【解析】【分析】分析可知，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性運算求解.【詳解】因為，可知，若，可得，所以.故答案為：.13.已知，過點作的切線，若切線斜率為1，則___________.【答案】3【解析】【分析】求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義分析可得，，構建，結(jié)合單調(diào)性可得，進而可求切線方程，即可得的值.【詳解】因為，則，設切點坐標為，切線斜率，由題意可知，顯然當時，則，可得，不合題意，可知，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以關于的方程的根為，即切點坐標為，切線斜率，則切線方程為，所以.故答案為：3.14.已知甲?乙兩袋中裝有除顏色外其它完全相同的小球，甲袋中有1只白球和3只紅球，乙袋中有2只白球和3只紅球，先從甲袋中取2只球放入乙袋，再從乙袋中取2只球，則從乙取出的2只球都是紅球的概率為______.【答案】【解析】【分析】設從甲袋中取出2個球有（）個紅球為事件，從乙取出的2只球都是紅球為事件，然后根據(jù)全概率公式求解即可.【詳解】設從甲袋中取出2個球有（）個紅球為事件，從乙取出的2只球都是紅球為事件，則，，，，所以.故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知，為常數(shù).（1）若，求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若，在上的最小值為，求的值.【答案】（1）答案見詳解（2）【解析】【分析】（1）求導，利用導數(shù)分析的單調(diào)區(qū)間；（2）求導，分析可知，則在上單調(diào)遞減，進而可得最值，列式求解即可.【小問1詳解】若，則，可得，且，令，可得；令，可得；所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.【小問2詳解】由題意可得：，若，，則，可得，可知在上單調(diào)遞減，則在上的最小值為，解得.16.我國探月工程亦稱“嫦娥工程”，2024年6月3日，嫦娥六號完成了人類首次月球背面智能采樣工作，并于6月下旬攜帶月球樣品返回地球，為人類進一步研究和利用月球資源提供了保證.為了解不同性別的學生對探月工程的關注程度（“十分關注”與“比較關注”），某校隨機抽取男生和女生各50名進行調(diào)查，數(shù)據(jù)表明：男生中有的同學“十分關注”，女生中有的同學“十分關注”，其他學生都是“比較關注”.（1）根據(jù)條件，列出列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為對探月工程的關注程度與性別有關；（2）在以上“十分關注”的學生中運用分層抽樣的方法抽取10人組成科技興趣小組，再在這10人中隨機抽取3人進行重點培訓，求這3人中至少有2名男生的概率.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見詳解；有的把握認為對探月工程的關注程度與性別有關（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對比分析；（2）根據(jù)分層抽樣可得男、女生人數(shù)，結(jié)合超幾何分別求概率.【小問1詳解】由題意可知：“十分關注”的男、女生人數(shù)分別為、；據(jù)此可得列聯(lián)表，

十分關注比較關注總計男生45550女生302050總計7525100可得，所以有把握認為對探月工程的關注程度與性別有關.【小問2詳解】因為抽取的男、女生人數(shù)分別為、，這3人中至少有2名男生的概率.17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，，，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可證平面，結(jié)合面面垂直的判定定理分析證明；（2）建系標點，分別為求平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角；（3）求平面的法向量，利用空間向量求點到面的距離.【小問1詳解】因為平面，平面，則，又因為為矩形，則，且，平面，可得平面，且平面，所以平面平面.【小問2詳解】由題意可知：平面，且，如圖，以A為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，設，由題意可得，解得，則，可得，設平面的法向量為，則，令，則，可得；設平面的法向量為，則，令，則，可得；則，由題意可知：二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.【小問3詳解】設平面的法向量為，則，令，則，可得，所以點到平面的距離.18.一只不透明的口袋中放有形狀?大小完全相同的4個黑球和2個白球，若每次摸一個球后，觀察其顏色，再放回袋中，摸到黑球得1分，摸到白球得分，用隨機變量表示k次摸球后得1分的總次數(shù)，用隨機變量X表示k次摸球后總得分.（1）若摸球100次.①求的數(shù)學期望；②求X的數(shù)學期望；（2）當摸球次數(shù)k為何值時，的概率取得最大值.【答案】（1）①；②（2）當摸球次數(shù)時，的概率取得最大值【解析】【分析】（1）①分析可知，結(jié)合二項分布的期望公式運算求解；②分析可知，結(jié)合期望的性質(zhì)運算求解；（2）設摸到白球的次數(shù)為，可得，，列式求最值即可.【小問1詳解】①由題意可知：每次摸到黑球的概率均為，即得1分的概率均為，則，所以的數(shù)學期望；②因為，所以X的數(shù)學期望.【小問2詳解】設摸到白球的次數(shù)為，則摸到黑球的次數(shù)為，則，則，由題意可得：，解得，且，可得，所以當摸球次數(shù)時，的概率取得最大值.19.已知函數(shù).（1）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若.①是否存在實數(shù)使得的圖象為軸對稱圖形，若存在，求的值，若不存在，說明理由；②函數(shù)在上有且僅有一個極值點，求正實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）①存在，；②.【解析】【分析】（1）求導得，轉(zhuǎn)化為對恒成立，再分離參數(shù)求出右邊的最大值即可；（2）①猜測時，對稱軸為，再根據(jù)函數(shù)對稱性的證明方法證明即可；②對求導再因式分解出，再次求導，然后對進行合理的分類討論，最后結(jié)合零點存在性定理即可得到答案.【小問1詳