立體包含基本立體和組合體：1.基本立體：柱、錐、球、圓環等幾何體是組成機件的基本體；2.組合體：基本體的組合。立體由表面圍成，分為：1.平面立體：由若干個平面圍成的實體；2.曲面立體：表面是曲面或曲面和平面的立體。§6-1立體及其表面上的點與線

第六章立體的投影立體的投影

常見的基本幾何體平面立體曲面立體立體的投影基本體：組合體：(a)棱柱(b)棱錐(c)圓柱(d)圓錐(e)圓球(f)圓環立體的投影一、平面立體1.平面立體的繪圖原則繪制平面立體上各平面間的交線和各頂點的投影。輪廓線的投影為可見時—畫粗實線；輪廓線的投影為不可見時—畫虛線；粗實線與虛線重合時—畫粗實線。2.平面體的投影特征⑴立體的三面投影圖之間保持三等關系（長對正，高平齊，寬相等），適應整體和每一局部；⑵立體上各組成平面的投影，一般表現為一個封閉的線框，特殊積聚為一直線；⑶投影圖上各線框的分界線，表示物體表面發生變化立體的投影3.棱柱直棱柱---頂面和底面是兩個全等且相互平行的多邊形（特征面），各側面為矩形。正棱柱----頂面和底面為正多邊形的直棱柱。立體的投影

由兩個底面和幾個側棱面組成。側棱面與側棱面的交線叫側棱線，側棱線相互平行。a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影

如圖,為一正六棱柱，其頂面、底面均為水平面，它們的水平投影反映實形，正面及側面投影積聚為一直線。立體的投影a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影

棱柱有六個側棱面，前后棱面為正平面，它們的正面投影反映實形，水平投影及側面投影積聚為一條直線。立體的投影a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影

棱柱的其它四個側棱面均為鉛垂面，其水平投影均積聚為直線。正面投影和側面投影均為類似形。立體的投影a'd'e'b'c'abdcee"c"d"a"b"ADCEBXZY正六棱柱的投影圖a(b)d(c)ea’b’d’c’e’a”b”d”c”XZYHYW2、棱柱的三視圖

作投影圖時，先畫出正六棱柱的水平投影正六邊形，再根據其它投影規律畫出其它的兩個投影。如圖3-2所示。

棱柱具有這樣的投影特點：一個投影反映底面實形，而其余兩投影則為矩形或復合矩形。立體的投影由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取點與在平面上取點的方法相同。棱柱表面上點的投影(a)直觀圖MABDC立體的投影點的可見性判別：

若點所在平面的投影可見，點的投影可見；若平面的投影積聚成直線，點的投影也可見。

已知六棱柱ABCD側表面上點M的V面投影m’，求該點的H面投影m和W面投影m”。

(b)投影圖mm

m

(a)直觀圖MABDCa(d)b(c)a’d’b’c’立體的投影4棱錐棱錐---底面是多邊形，各側面為若干具有公共頂點的三角形。正棱錐----底面為正多邊形,各側面是全等的等腰三角形的棱錐。ASBC立體的投影SABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ正三棱錐的投影

左圖所示為一正三棱錐，錐頂為S，其底面為△ABC，是水平面，水平投影△abc反映實形。

棱面△SAB、△SBC是一般位置平面，它們的各個投影均為類似形。

棱面△SAC為側垂面，其側面投影s”a”c”為一直線。棱錐的三視圖投影立體的投影

作三視圖時，先畫出底面△ABC的各個投影，再作出錐頂S的各個投影，然后連接各棱線，即得正三棱錐的三面投影。s’sabca’c’b’a”(b”)c”s”正三棱錐的三面投影圖XYHZYWOSABCWVa's'b's"abcb"a"c"sXYZ立體的投影方法一：

連接s’m’并延長，與a’c’交于2’，2’m2

在投影ac上求出Ⅱ點的水平投影2。

連接s2，即求出直線SⅡ的水平投影。

根據在直線上的點的投影規律，求出M點的水平投影m。

再根據知二求三的方法，求出m”。m”a’sbc正三棱錐的三面投影圖s’ac’b’a”(b”)c”s”m’XYHZYW三棱錐表面上取點M立體的投影方法二：1’1m

過m’作m’1’∥a’c’，交s’a’于1’。

求出Ⅰ點的水平投影1。

過1作1m∥ac，再根據點在直線上的幾何條件，求出m。

再根據知二求三的方法，求出m”。（具體步驟略)sc’b’正三棱錐的三面投影圖s’abca’a”(b”)c”s”m’立體的投影二、曲面立體(a)軸線母線(b)1.概念：⑴轉向輪廓線：切于曲面的諸投射線與投影面的交點的集合；⑵母線：按一定規律運動形成曲面的線；⑶素線：曲面上任一位置的母線。立體的投影工程上常見的曲面立體有圓柱、圓錐、球、圓環等。繪制回轉體的投影，即是繪制回轉體的回轉面和平面的投影，也就是繪制回轉體的輪廓線、尖頂的投影以及轉向輪廓線。(a)圓柱(b)圓錐(c)圓球(d)圓環立體的投影2圓柱-----由圓柱面、頂面、底面圍成圓柱面---一直線繞與它平行的軸線回轉而成。圓柱立體分析:當圓柱的軸線是鉛垂線時,圓柱面上的所有素線都是鉛垂線,頂面和底面為水平面。立體的投影（1）圓柱的投影圓柱的投影分析:頂面、底面的水平投影重合為一圓，正面投影和側面投影分別重影為兩直線；圓柱面的水平投影積聚為一圓，正面投影和側面投影分別畫出轉向輪廓素線的投影。轉向輪廓素線立體的投影作圓柱投影圖圓柱的投影特性:回轉軸線用點劃線表示；水平投影積聚為一圓；正面投影和側面投影均為矩形。立體的投影（2）圓柱面上取點

已知圓柱面上M點和N點的正面投影，求水平投影和側面投影。mm”分析：點在圓柱面上，利用水平投影積聚性，可以求出點M和點N的水平投影。作圖：()nn’(n”)立體的投影3圓錐----由圓錐面、底面圍成圓錐面---一直線繞與它相交的軸線回轉而成。圓錐立體分析:當圓錐的軸線是鉛垂線時,底面為水平面，圓錐面上的所有素線都是通過錐頂的直線。立體的投影（1）圓錐的投影轉向輪廓素線圓錐的投影分析:底面的水平投影反映實形為一圓，正面投影和側面投影分別重影為一直線；圓錐面的水平投影為一圓，正面投影和側面投影分別畫出轉向輪廓素線的投影。立體的投影作圓錐投影圖圓錐的投影特性:回轉軸線用點劃線表示；水平投影為一圓（底面輪廓線），無積聚性；正面投影和側面投影為相同的等腰三角形。立體的投影（2）圓錐面上取點

已知圓錐面上點A的正面投影，求水平投影和側面投影。

作圖方法一：輔助緯圓法aa”A輔助緯圓(a)(b)立體的投影作圖方法二：輔助素線法a”s輔助素線Aba(c)(d)立體的投影

球的表面是球面。球面是一條圓母線繞過圓心且在同一平面上的軸線回轉而形成的。回車繼續4

圓球圓球的形成立體的投影

球的三個投影均為圓，其直徑與球直徑相等，但三個投影面上的圓是不同的轉向輪廓線。回車繼續圓球的投影立體的投影圓球的畫法及投影特點立體的投影4、圓球表面上取點立體的投影§6-2平面與平面立體兩面相交

一、截交線和斷面的概念切割體——基本體被平面截切后的部分截平面——截切立體的平面截斷面——立體被截切后的斷面截交線——截平面與立體表面的交線截交線性質：

1.截交線是截平面與立體表面的共有線。

2.截交線是封閉的線條。

3.截交線的形狀取決于:①立體表面的幾何形狀②截平面與立體的相對位置立體的投影截平面截交線截斷面立體的投影二、平面立體的截交線和斷面

例1：試求正四棱錐被一正垂面P截切后的投影(a)題圖分析：形體分析與投影分析；立體的投影1231”3”2”(4’)44”1’2’3’(b)求正垂面與立體的交線作圖:①求正垂面與立體的交線立體的投影(c)整理、加深1231”3”2”(4’)44”1’2’3’作圖:②整理、加深立體的投影(d)檢查、完成作圖:

③檢查、完成立體的投影§6-3平面與回轉體表面相交一、平面與圓柱相交立體的投影例3作出斜切圓柱體的截交線。

分析：空間分析與投影分析；作圖步驟：

①作圓柱體的三視圖1’2’(4’)3’12341”2”3”4”(6’)5’566”5”（b)②找特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的投影

③作一般點Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ的投影7’(8’)787”8”(a)題圖④光滑連線ⅠⅡⅢⅣⅥⅤⅦⅧ立體的投影例4在圓柱體上開出一方槽。已知其正面投影和側面投影，求作水平投影。1’2’(3’)(4’)1231”(2”)3”(4”)（b）5’6’5”6”4

分析：形體分析與投影分析；作圖步驟：

①作圓柱的水平投影②找點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ的投影5⑹(a)題圖ⅣⅠⅡⅢⅤⅥ立體的投影③判斷可見性，連線、加深(c)1’2’(3’)(4’)1231”(2”)3”(4”)5’6’5”6”45⑹立體的投影④檢查、完成(d)立體的投影二、平面與圓錐相交立體的投影例5求圓錐切割后的投影②找一般點Ⅳ

、Ⅴ的側面投影和正面投影

分析：空間分析與投影分析；作圖步驟：

①找特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的側面投影和正面投影1’3’1”2”4”4’3”5’2’5”(a)題圖(b)作圖③光滑連線ⅠⅡⅢⅣⅤ立體的投影平面與球面的交線總是圓三、圓球切割體

立體的投影例6畫出立體的投影

解：分析:形體與投影分析;

QP作圖:①完成平面P的投影②完成平面Q的投影（a）（b）立體的投影四、求截交線的投影小結一般步驟：

1.分析被截立體和截平面之間的相對位置，再由它們對投影面的相對位置，預見截交線的投影特征。

2.確定作圖方法表面取點法；輔助素線法；輔助緯圓法

3.作圖特殊點：

轉向輪廓線上的共有點；極限點；對稱軸上的頂點。

作圖步驟：求特殊點作中間點判斷可見性光滑連線立體的投影§6-4兩回轉體表面相交一、相貫體及相貫線1.概念

相貫體—兩相交的立體

相貫線—相交立體表面的交線2.立體相貫三種情況（1）平面體與平面體相貫（2）平面體與曲面體相貫（3）曲面體與曲面體相貫立體的投影平面立體與平面立體相交立體的投影平面立體與曲面立體相交立體的投影相切無交線立體的投影曲面立體與曲面立體相交立體的投影內表面相貫線外表面相貫線立體的投影相貫體相貫線立體的投影相貫線為封閉的空間曲線(b)相貫線為不封閉的空間曲線(d)相貫線為直線(c)相貫線為平面曲線3.相貫線性質（1）相貫線為相交體的表面所共有；（2）相貫線一般為封閉光滑的空間曲線，特殊情況可能為不封閉的空間曲線,也可能為平面曲線或直線。立體的投影求畫相貫線

相貫線上的點為兩相交立體體表面上的共有點，求畫相貫線的實質就是要求出兩立體表面一系列的共有點。作圖方法：①在立體表面上找點的方法；②利用輔助平面法作圖。作圖步驟：求特殊點

作中間點

判斷可見性光滑連線立體的投影二、利用表面上取點法作圖1.兩圓柱相交ⅠⅡⅢⅣ13’2’1’⑶21”2”3”4”⑵作圖：①先找特殊點：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的投影;4(4’)(a)題圖(b)形體分析，找特殊點⑴形體分析與投影分析；立體的投影(6’)②再求一般點Ⅴ

、Ⅵ的投影；ⅤⅥ6”5”5⑹5’(c)求一般點(d)光滑連線③判斷可見性，光滑連線,完成作圖。立體的投影⑶相貫線的簡化畫法

立體的投影2.兩圓柱相對大小的變化對相貫線的影響立體的投影3.兩圓柱相貫的三種形式立體的投影三、利用輔助平面法作圖1.輔助平面法

根據三面共點的原理，用一假想平面(即輔助平面)截切兩回轉面.得到兩條截交線,求兩截交線的共有點即為相貫線上的點，從而畫出相貫線投影的方法。選擇輔助平面原則：

⑴選在兩回轉面的相交范圍內；⑵它與回轉面的截交線應是圓或直線。2.作圖舉例

圓柱面與圓錐面相交立體的投影例7求圓柱與圓錐的相貫線投影解:⑴形體分析與投影分析；題圖ⅠⅢⅡⅣ立體的投影(b)形體與投影分析，找特殊點ⅠⅢⅡⅣ立體的投影⑵作圖：

①先找特殊點：