第1頁/共1頁2023-2024學年第一學期深圳市坪山區九年級數學期末模擬試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出4個選項，其中只有一個是正確的）1.如圖所示的物體，其主視圖是（

）A．B．C．D．2.在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．3.關于的一元二次方程的一個根為，則的值為（

）A.1B.-1C.2D.-24.菱形，矩形，正方形都具有的性質是（

）A.四條邊相等，四個角相等 B.對角線相等C.對角線互相垂直 D.對角線互相平分5.寒假即將來臨，小明和小亮每人要從甲、乙、丙三個社區中隨機選取一個社區參加綜合實踐活動，那么小明和小亮選到同一社區參加實踐活動的概率為（

）A． B． C． D．6.如圖是小明設計用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發經平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么該古城墻的高度是（

）A．6米 B．8米 C．18米 D．24米7.反比例函數與在同一坐標系的圖象可能為（

）A. B. C. D.8.如圖，小強從熱氣球上的A點測量一棟高樓頂部的仰角，測量這棟高樓底部的俯角，熱氣球與高樓的水平距離為米，則這棟高樓的高BC為（

）米．A．45 B．60 C．75 D．90如圖，在中，，，動點P從點A開始沿邊運動，速度為；動點Q從點B開始沿邊運動，速度為；如果P、Q兩動點同時運動，那么經過（

）秒時與相似．A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒10.二次函數的部分圖象如圖所示，圖象過點，對稱軸為直線x＝1，下列結論：①；②；③；④當時，.其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．若，則．12.在一個不透明的袋子中有除顏色外均相同的6個白球和若干黑球，通過多次摸球試驗后，發現摸到白球的頻率約為30%，估計袋中黑球有________個．13.如圖，小明在打網球時，使球恰好能打過網（網高0.8m），而且落在離網4m的位置上，則根據圖中的數據可知，球拍擊球的高度為________m．如圖是某商場自動扶梯的示意圖，自動扶梯AB的傾斜角為30°，在自動扶梯下方地面C處測得扶梯頂端B的仰角為60°，A、C之間的距離為6m，則自動扶梯的垂直高度BD=m．（結果保留根號）．15.如圖所示是一塊含30°，60°，90°的直角三角板，直角頂點O位于坐標原點，斜邊AB垂直于x軸，頂點A在函數的圖象上，頂點B在函數的圖象上，∠ABO＝30°，則_____．三、解答題（本大題共8小題，共55分）16.計算：．17.解下列方程：(1)；(2)．18.某中學決定增設“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程以提升課后服務質量，促進學生全面健康發展．學校面向七年級參與課后服務的部分學生開展了“你選修哪門課程？（要求必須選修一門且只能選修一門）”的隨機問卷調查，并根據調查數據繪制了如下兩幅不完整的統計圖：請結合上述信息，解答下列問題：(1)共有_______名學生參與了本次問卷調查；(2)“陶藝”在扇形統計圖中所對應的圓心角是_______度；(3)小剛和小強分別從“禮儀”“陶藝”“編程”這三門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選到同一門課程的概率．19.如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE，（1）求證：△ABE≌△DFA．（2）如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．20.脫貧攻堅的收官之年，老李在駐村干部的幫助下，利用網絡平臺進行“直播帶貨”，銷售一批成本為每件30元的商品，按單價不低于成本價，且不高于60元銷售，經調查發現，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系，部分數據如表所示．銷售單價x（元）304045銷售數量y（件）1008070(1)求該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式．(2)銷售單價定為多少元時，才能使銷售該商品每天獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少元？21．如圖1，是一款手機支架圖片，由底座、支撐板和托板構成．圖2是其側面結構示意圖，量得托板長，支撐板長，底座長，托板AB連接在支撐板頂端點C處，且，托板可繞點C轉動，支撐板可繞D點轉動．如圖2，若．(參考數值，，)(1)求點C到直線的距離(精確到0.1cm)；(2)求點A到直線的距離(精確到0.1cm)．22.【發現問題】如圖1，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數量關系是______．（2）將圖1中的繞點旋轉到圖2的位置，直線和直線交于點．①判斷線段和的數量關系，并證明你的結論；②圖2中的度數是______．（3）【探究拓展】如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點，分別寫出的度數，線段、間的數量關系，并說明理由．如圖，拋物線與x軸的兩個交點分別為A（3，0），D（﹣1，0），與y軸交于點C，點B在y軸正半軸上，且OB=OD．求拋物線的解析式；如圖1，拋物線的頂點為點E，對稱軸交x軸于點M，連接BE，AB，請在拋物線的對稱軸上找一點Q，使，求出點Q的坐標；（3）如圖2，過點C作軸，交拋物線于點F，連接BF，點G是x軸上一點，在拋物線上是否存在點N，使以點B，F，G，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．2023-2024學年第一學期廣東省深圳市坪山區九年級數學期末模擬試卷參考答案一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題給出4個選項，其中只有一個是正確的）1.如圖所示的物體，其主視圖是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】把從正面看到的平面圖形畫出來即可.【詳解】解：從正面可以看到的平面圖形是故選A2.在中，，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意知的正弦為，計算求解即可．【詳解】解：∵∴的正弦值為故選D．3.關于的一元二次方程的一個根為，則的值為（

）A.1B.-1C.2D.-2【答案】A【解析】【分析】把方程根代入方程可以求出字母系數的值．【詳解】由題意，把=1代入方程有：1+k-2=0，解得：k=1，故選：A．4.菱形，矩形，正方形都具有的性質是（

）A.四條邊相等，四個角相等 B.對角線相等C.對角線互相垂直 D.對角線互相平分【答案】D【解析】【分析】根據菱形、矩形及正方形的性質可直接進行排除選項．【詳解】解：A、不正確，矩形的四邊不相等，菱形的四個角不相等；B、不正確，菱形的對角線不相等；C、不正確，矩形的對角線不垂直；D、正確，三者均具有此性質；故選D．寒假即將來臨，小明和小亮每人要從甲、乙、丙三個社區中隨機選取一個社區參加綜合實踐活動，那么小明和小亮選到同一社區參加實踐活動的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：畫樹狀圖得：∵共有9種等可能的結果，小明和小亮選到同一社區參加實踐活動的有3種情況，∴小明和小亮選到同一社區參加實踐活動的概率為：故選B6.如圖是小明設計用手電來測量某古城墻高度的示意圖，點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發經平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么該古城墻的高度是（

）A．6米 B．8米 C．18米 D．24米【答案】B【分析】由鏡面反射的知識可得∠APB=∠CPD，結合∠ABP=∠CDP即可得到△ABP∽△CDP，接下來，由相似三角形的三邊對應成比例可得，至此，本題不難求解.【詳解】解：由鏡面反射原理知∠APB=∠CPD.∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP.∵∠ABP=∠CDP，∠APB=∠CPD，∴△ABP∽△CDP，∴AB∶BP=CD∶DP.∵AB=1.2米，BP=1.8米，DP=12米，，∴CD==8（米）.故該古城墻的高度是8米.故選B.7.反比例函數與在同一坐標系的圖象可能為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】比例系數相同，兩個函數必有交點，然后根據比例系數的符號確定正確選項即可．【詳解】解：k＞0時，一次函數y＝﹣kx+1的圖象經過第一、二、四象限，反比例函數的兩個分支分別位于第一、三象限，選項B符合；k＜0時，一次函數y＝﹣kx+1的圖象經過第一、二、三象限，反比例函數的兩個分支分別位于第二、四象限，無選項符合．故選：B．8.如圖，小強從熱氣球上的A點測量一棟高樓頂部的仰角，測量這棟高樓底部的俯角，熱氣球與高樓的水平距離為米，則這棟高樓的高BC為（

）米．A．45 B．60 C．75 D．90【答案】B【分析】由求出的值，由求出的值，對計算求解即可．【詳解】解：∵∴米∵∴米∴米故選B．如圖，在中，，，動點P從點A開始沿邊運動，速度為；動點Q從點B開始沿邊運動，速度為；如果P、Q兩動點同時運動，那么經過（

）秒時與相似．A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒【答案】C【分析】設經過秒時,與相似,則,利用兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似進行分類討論：當時,,即當時,,即然后解方程即可求出答案．【詳解】解：設經過秒時,與相似,則,當時,,即解得：當時,,即解得：綜上所述：經過或秒時,與相似故選：C10.二次函數的部分圖象如圖所示，圖象過點，對稱軸為直線x＝1，下列結論：①；②；③；④當時，.其中正確的結論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．【詳解】解：①對稱軸位于x軸的右側，則a，b異號，即．拋物線與y軸交于正半軸，則．．故①正確；②∵拋物線開口向下，．∵拋物線的對稱軸為直線，時，，而，即，故②正確；③時，，而故③正確；④由拋物線的對稱性質得到：拋物線與x軸的另一交點坐標是（3，0）．∴當時，故④正確．綜上所述，正確的結論有4個．故選D．二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11．若，則．【答案】【分析】根據等式性質，在兩邊都加上1，則問題可解．【詳解】解：根據等式的性質，兩邊都加上1，即可得，通分得．故答案為：．在一個不透明的袋子中有除顏色外均相同的6個白球和若干黑球，通過多次摸球試驗后，發現摸到白球的頻率約為30%，估計袋中黑球有________個．【答案】14【分析】根據摸到白球的頻率約為30%，用6除以30%得到總球數，再計算求解即可．【詳解】解：∵摸到白球的頻率約為30%，∴不透明的袋子中一共有球為：6÷30%=20（個），黑球有20-6=14（個），故答案為：14．13.如圖，小明在打網球時，使球恰好能打過網（網高0.8m），而且落在離網4m的位置上，則根據圖中的數據可知，球拍擊球的高度為________m．【答案】【解析】【分析】根據球網和擊球時球拍的垂直線段平行即可知，根據其相似比即可求解．【詳解】解：，，，，（米，故答案為：1.6．14.如圖是某商場自動扶梯的示意圖，自動扶梯AB的傾斜角為30°，在自動扶梯下方地面C處測得扶梯頂端B的仰角為60°，A、C之間的距離為6m，則自動扶梯的垂直高度BD=m．（結果保留根號）．【答案】【分析】根據等腰三角形的性質和三角形外角的性質得到BC＝AC＝6cm，根據三角函數定義即可求解．【詳解】解：∵∠BAC＋∠ABC＝∠BCD＝60°，又∠BAC＝30°，∴∠ABC＝30°，∴BC＝AC＝6cm，在Rt△BCD中，cm故答案為：．15.如圖所示是一塊含30°，60°，90°的直角三角板，直角頂點O位于坐標原點，斜邊AB垂直于x軸，頂點A在函數的圖象上，頂點B在函數的圖象上，∠ABO＝30°，則_____．【答案】﹣3【解析】【分析】設AC＝a，則OA＝2a，可得OC＝a，根據直角三角形30°角的性質和勾股定理分別計算點A和B的坐標，寫出A和B兩點的坐標，代入解析式求出和的值，相比即可．【詳解】解：如圖，Rt△AOB中，∠B＝30°，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝60°，∵AB⊥x軸，∴∠ACO＝90°，∴∠AOC＝30°，設AC＝a，則OA＝2a，∴OC＝a，∴A（a，a），∵頂點A在函數（x＞0）的圖象上，∴a×a＝a2，在Rt△BOC中，OB＝2OC＝2a，∴BC＝＝3a，∴B（a，﹣3a），∵頂點B在函數（x＞0）的圖象上，∴﹣3a×a＝﹣3，∴＝﹣3，故答案為：﹣3．三、解答題（本大題共8小題，共55分）16.計算：．【答案】【解析】【分析】先進行冪的運算、去絕對值、及零次冪的運算，同時將特殊角的三角函數值代入，然后化簡求值即可．【詳解】解：原式．【點睛】題目主要考察計算能力，主要有冪的運算、去絕對值、及零次冪和特殊三角函數值，解題關鍵是對這些運算的熟練及對特殊三角函數值的記憶．17.解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）原方程根據公式法求解即可；（2）原方程利用分解因式法求解．【詳解】（1）方程中，，∴，∴，∴；（2）原方程可變形為，∴或，解得．18.某中學決定增設“禮儀”“陶藝”“園藝”“廚藝”及“編程”等五門校本課程以提升課后服務質量，促進學生全面健康發展．學校面向七年級參與課后服務的部分學生開展了“你選修哪門課程？（要求必須選修一門且只能選修一門）”的隨機問卷調查，并根據調查數據繪制了如下兩幅不完整的統計圖：請結合上述信息，解答下列問題：(1)共有_______名學生參與了本次問卷調查；(2)“陶藝”在扇形統計圖中所對應的圓心角是_______度；(3)小剛和小強分別從“禮儀”“陶藝”“編程”這三門校本課程中任選一門，請用列表法或畫樹狀圖法求出兩人恰好選到同一門課程的概率．【答案】(1)(2)(3)小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的概率為【分析】（1）用“禮儀”的人數除以占比得到總人數；（2）用“陶藝”的人數除以總人數再乘以即可求解；（3）用畫樹狀圖法求得概率即可求解．【詳解】（1）解：（人）故答案為：．（2）“陶藝”在扇形統計圖中所對應的圓心角是，故答案為：．（3）把“禮儀”“陶藝”“編程”三門校本課程分別記為A、B、C共有9種等可能的結果，其中小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的結果有3種，∴小剛和小強兩人恰好選到同一門課程的概率為．19.如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點，AE=BC，DF⊥AE，垂足為F，連接DE，（1）求證：△ABE≌△DFA．（2）如果AD＝10，AB＝6，求sin∠EDF的值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據矩形的對邊平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠AEB．再結合一對直角相等即可證明三角形全等；

（2）根據全等三角形的對應邊相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的長；再根據勾股定理求得DE的長，運用三角函數定義求解．【詳解】(1)在矩形中，，．，,．．(2)由(1)知．．在直角中，，．在Rt中，，．20.脫貧攻堅的收官之年，老李在駐村干部的幫助下，利用網絡平臺進行“直播帶貨”，銷售一批成本為每件30元的商品，按單價不低于成本價，且不高于60元銷售，經調查發現，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數關系，部分數據如表所示．銷售單價x（元）304045銷售數量y（件）1008070(1)求該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式．(2)銷售單價定為多少元時，才能使銷售該商品每天獲得的利潤w（元）最大？最大利潤是多少元？【答案】(1)y=-2x+160；(2)銷售單價定為55元時，該商品每天獲得的利潤最大，最大利潤是1250元【分析】（1）設該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式為y=kx+b，用待定系數法求解即可；根據每件的利潤乘以銷售量等于利潤得出w關于x的二次函數，將其寫成頂點式，根據二次函數的性質及自變量的取值范圍可得答案．【詳解】（1）解：設該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式為y=kx+b，將點（30，100）、（40，80）代入一次函數關系式得：，解得：．∴函數關系式為y=-2x+160；（2）解：由題意得：w=（x-30）（-2x+160）=-2（x-55）2+1250，∵-2＜0，拋物線開口向下，∴當x＜55時，w隨x的增大而增大，∵30≤x≤60，∴當x=55時，w有最大值，此時w=1250．21．如圖1，是一款手機支架圖片，由底座、支撐板和托板構成．圖2是其側面結構示意圖，量得托板長，支撐板長，底座長，托板AB連接在支撐板頂端點C處，且，托板可繞點C轉動，支撐板可繞D點轉動．如圖2，若．(參考數值，，)(1)求點C到直線的距離(精確到0.1cm)；(2)求點A到直線的距離(精確到0.1cm)．【答案】(1)點C到直線的距離約為13.8cm(2)點A到直線的距離約為21.5cm【分析】（1）如圖2，過點C作，垂足為N，然后根據三角函數可得，即，最后將已知條件代入即可解答；（2）如圖2，過A作，交的延長線于點M，過點C作，垂足為F，再說明中，，，然后根據三角函數和線段的和差即可解答．【詳解】（1）解：如圖2，過點C作，垂足為N由題意可知，，在中，，∴．答：點C到直線的距離約為．（2）解：如圖2，過A作，交的延長線于點M，過點C作，垂足為F，∴在中，，，∴，∴．答：點A到直線的距離約為21.5cm．22.【發現問題】（1）如圖1，已知和均為等邊三角形，在上，在上，易得線段和的數量關系是______．（2）將圖1中的繞點旋轉到圖2的位置，直線和直線交于點．①判斷線段和的數量關系，并證明你的結論；②圖2中的度數是______．（3）【探究拓展】如圖3，若和均為等腰直角三角形，，，，直線和直線交于點，分別寫出的度數，線段、間的數量關系，并說明理由．【答案】（1）（2）①，證明見解析；②；（3）度，，理由見解析【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性質可求解；（2）①由“SAS”可證，可得；②由全等三角形的性質可得，即可解決問題．（3）結論：，．證明，可得，，由此即可解決問題．【小問1詳解】解：∵和均為等邊三角形，∴，，∴，故答案為：；【小問2詳解】如圖2中，①∵和均為等邊三角形，∴，，，∴，∴（SAS），∴；②∵，∴，設交于點．∵，∴，∴，故答案為：；【小問3詳解】結論：，．理由：如圖3中，∵，，，∴，，∴，∴，，∴，∵，∴．23.如圖，拋物線與x軸的兩個交點分別為A（3，0），D（﹣1，0），與y軸交于點C，點B在y軸正半軸上，且OB=OD．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，拋物線的頂點為點E，對稱軸交x軸于點M，連接BE，AB，請在拋物線的對稱軸上找一點Q，使，求出點Q的坐標；(3)如圖2，過點C作軸，交拋物線于點F，連接BF，點G是x軸上一點，在拋物線上是否存在點N，使以點B，F，G，N為頂點