第四章一元線性回歸

第一部分學習目的和要求

本章主要介紹一元線性回歸模型、回歸系數的確定和回歸方程的有效性檢驗方法。回歸

方程的有效性檢驗方法包括方差分析法、t檢驗方法和相關性系數檢驗方法。本章還介紹了

如何應用線性模型來建立預測和控制。需要掌握和理解以下問題：

1一元線性回歸模型

2最小二乘方法

3一無線性回歸的假設條件

4方差分析方法

5t檢驗方法

6相關系數檢驗方法

7參數的區間估計

8應用線性I可歸方程控制與預測

9線性回歸方程的經濟解釋

第二部分練習題

一、術語解釋

1解釋變量

2被解釋變量

3線性問歸模型

4最小二乘法

5方差分析

6參數估計

7控制

8預測

二、填空

1在經濟計量模型中引入反映（）因素影響的隨機擾動項椅，目的在于使模型更

符合（）活動。

2在經濟計量模型中引入隨機擾動項的理由可以歸納為如下幾條：（1）因為人的行為的

（）、社會環境與自然環境的（）決定了經濟變量本身的（）;（2）

建立模型時其他被省略的經濟因素的影響都歸入了（）中；（3）在模型估計時，

（）與歸并誤差也歸入隨機擾動項中；（4）由于我們認識的不足，錯誤的設定了（）

與（）之間的數學形式，例如將非線性的函數形式設定為線性的函數形式，由此產生

的誤差也包含在隨機擾動項中了。

3（）是因變量離差平方和，它度量因變量的總變動。就因變量總變動的變異來源看,

它由兩部分因素所組成。一個是自變量，另一個是除自變量以外的其他因素。（）是

擬合值的離散程度的度量。它是由自變量的變化引起的因變量的變化，或稱自變量對因變量

變化的貢獻。（）是度量實際值與擬合值之間的差異，它是由自變量以外的其他因素所

致，它又叫殘差或剩余。

4回歸方程中的回歸系數是自變量對因變量的（）＜,某自變量回歸系數夕的意義，指

的是該自變量變化一個單位引起因變量平均變化（）個單位。

5模型線性的含義，就變量而言，指的是回歸模型中變量的（）；就參數而言，指

的是回歸模型中的參數的（）；通常線性回歸模型的線性含義是就（）而言的。

6樣本觀察值與回歸方程理論值之間的偏差，稱為（），我們用殘差估計線性模型中

的（）。

三、簡答題

1在線性回歸方程中，“線性”二字如何理解？

2用最小二乘法求線性回歸方程系數的意義是什么？

3一元線性回歸方程的基木假設條件是什么？

4方差分析方法把數據總的平方和分解成為兩部分的意義是什么？

5試敘述t檢驗法與相關系數檢驗法之間的聯系。

6應用線性回歸方程控制和預測的思想。

7線性回歸方程無效的原因是什么？

8I可歸分析中的隨機誤差項J有什么作用？它與殘差項與有何區別？

9判斷如下模型，哪些是線性模型，哪些不是。以及它們經過怎樣的變化能夠變成線性模型？

模型描述性名稱

Yi=P\倒數

h.X=化+02mxi+鳥半對數

c.InYj=仇+反半對數

c.In%=In°、+/?2InX.+與對數或雙對數

c.ln￥=0「02J+4對數倒數

10如下模型是線性回歸模型嗎？并說出原因。

a,K=心也…

卜Y=_________

（I、

c.InX=月+夕2—+J

d.￥=仇+（0.5-仇）/“XT+與

e.丫尸0廿代Xi+%

四計算題

1給定如下表第一列的假設，說明第二列中的假定是與之等效的。

關于經典模型的假設

(1)(2)

總（耳匡）=0E化￡)=4+鳳Xj

COV(與,￡j)=0i手jcov(")=0zVJ

2

var(^|X/.)=0-、鈍化￡）=/

2下表給由了美國30所知名學校的MBA學生1994年基本年薪（ASP）、GPA分數（14

共四個等級）、GMAT分數以及每年學費的數據.

a.用雙變量回歸模型分析GPA是否對ASP有影響？

b.用合適的回歸模型分析GMAT分數是否與ASP有關系？

c.每年的學費與ASP有關嗎？你是如何知道的？如果兩變量之間正相關，是否意味著進到最

高費用的商業學校是有利的。

d.你同意高學費的商業學校意味著高質量的MBA成績嗎？為什么？

1994年MBA畢業生平均初職薪水

學校ASP/美元GPAGMAT學費/美元

Hanard3.465023894

Stanford3.366521189

Columbian3.364021400

Daiimouth954103.466021225

Wharton899303.465021050

Northwestern846403.364020634

Chicago832103.365021656

Mit805003.565021690

Virginia742803.264317893

Ucla740103.564014496

Berkeley719703.264714361

Cornell719703.263020400

Nyu706603.263020276

Duke704903.362321910

Carnegiemellon598903.263520600

NorthCarolina698803.262110132

Michigan678203.263020196

Texax618903.36258580

Indiana585203.261514036

Purdue547203.25819556

Casewestern572003.159117600

Georgetown698303.261919584

Michiganstate418203.259016057

Pennstate491203.258011400

Southernmethodist609103.160018034

Tulane440803.160019550

Illinois471303.261612628

Lowa416203.25909361

Minnesota482503.260012618

Washington441403.361711436

3你的朋友將不同年度的債券價格作為該年利率（在相等的風險水平下）的函數，估計出的

簡單方程如下：

=101.40-4.78%,.

其中：匕=第1年美國政府債券價格（每100美元債券）

乂:=第1年聯邦資金利率（按百分比）

請回答以下問題：

（1）解釋兩個所估系數的意義。所估的符號與你所期望的符號一樣嗎？

（2）為何方程左邊的變量是g而不是Y?

（3）你朋友在估計的方程中是否遺漏了隨機誤差項？

（4）此力程的經濟意義是什么？對此模型你有何評論？（提示：聯邦資金利率是一

種適用「銀行間隔夜持有款項的利率）

4對于家庭收入X影響家庭消費支出Y的問題，如果通過調查得到一組數據，如下表所示。

家庭收入X家庭消費支出Y

1800770

212001100

320001300

430002200

540002100

650002700

770003800

890003900

9100005500

10120006600

（1）試建立Y與X之間的樣本回歸方程。

（2）預測收入為6000元這類家庭的平均消費支出（顯著性水平a=0.05）

（3）以95%的概率預測某個收入為6000元的家庭的消費支出。

5中國的人均GDP（元/人，用Y表示）與人均鋼產量1千克/人，用X表示）如下表所示:

年度YX

198585344.52

198695648.93

1987110451.92

1988135553.95

1989151255.05

1990163458.45

1991187961.70

1992228769.47

1993293976.00

1994392377.70

1995485479.15

1996557683.15

1997605488.57

1998603893.05

1999655199.12

20007086101.77

20017651119.22

20028184142.43

資料來源:《中國統計年鑒2003》，北京，中國統計出版社,2003o

（1）試建立樣本回歸方程，并在5%的水平下進行顯著性檢驗。

（2）求簡單相關系數。

（3）如果X。=200千克，以90%的概率對E（K）和〃進行預測。

6下表給出了1977—1991年期間美國的黃金價格、消費者指數和紐約股票交易所指數數據。

NYSE指數包括在NYSE上市的大多數股票，約有1500多利

年份在紐約每盎司黃金的消費者價格指數紐約股票交易所指數

美元價格1982-1984=1001965.121.31=100

1977147.9860.653.69

1978193.4465.253.70

1979307.6272.658.32

1980612.5182.468.10

1981459.6190.974.02

1982376.0196.568.93

1983423.8399.692.63

1984360.29103.992.46

1985317.30107.6108.90

1986367.87109.6136.00

1987446.50113.6161.70

1988436.93118.3149.91

1989381.28124.0180.02

1990384.08130.7183.46

1991362.04136.2206.33

a.在同一散布圖中描繪黃金價格，CPI和NYSE指數。

b.一種投資，如果它的價格和（或）回報率至少趕得上通貨膨脹，就被認為是（對通

貨膨脹）保值（能抵御通貨膨脹）的。為檢驗這一假設：投資是保值的，假定a中

的散點圖表明擬合以下模型是最適宜的：

黃金價格廣四+ACP4+O

NKSE指數,=4+&CPL+q

7下表給出了，1959—1997年間美國國內總產值數據

年份NGDPRGDP年份NGDPRGDP

1959507.20002210.20019792557.5004630.600

i960526.60002262.90019802784.2004615.000

1961544.80002314.30019813115.9004720.700

1962585.20002454.80019823242.1004620.300

1963617.40002559.40019833514.5004803.700

1964663.00002708.40019843902.4005140.100

1965719.10002881.10019854180.7005323.500

1966787.70003069.20019864422.2005487.700

1967822.60003147.20019874692.3005649.500

1968910.60003293.90019885049.6005865.200

1969982.20003393.60019895438.7006062.00

19701035.6003397.60019905743.8006136.300

19711125.4003510.00019915916.706079.400

19721237.3003702.30019926244.4006244.400

19731382.6003916.30019936558.1006389.600

19741496.9003891.20019946947.0006610.700

19751630.6003873.90019957269.6006761.700

19761819.(X)04082.90019967661.6006994.800

19772026.9004273.60019978110.9007269.800

19782291.4004503.000

a.將當年美元和不變（即1992年）美元數據對時間描圖。

b.用Y表示GDP,X表示時間（按年歷從1代表1959,2代表I960開始，直至39代表

1997）.看以下模型是否適合GDP數據：Y小仇十&Xh

試用當年美元和不變美元兩種數據分別估計此模型。

c.你會怎樣解釋用？

d.如果用當年美元估計用和不變美元GDP估計的有所不同，你會怎樣解釋這個差距？

e.從你計算的結果，你能對樣本時期美國通貨膨脹的性質得出什么評論？

第三部分參考答案

一、術語解釋

I解釋變量：也稱自變量，是在模型中對被解釋變量起解釋作用的變量。如模型

y=a++與中的為。

2被解釋變量：也稱因變量，在模型中假設其變動由解釋變量引起，對解釋變量起依存關系。

如模型y=a+/七+與中的％o

3線性回歸模型：是相對于模型的參數而言的，即對于其參數是一次的。對于變最而言，模

型可以是線性的，也可能不是線性的。

4最小二乘法：普通最小二乘法歸功于德國數學家高斯，在一定假設下，最小二乘法有一系

列非常令人向往的統計性質，是回歸中較常用的一種方法。如，對模型+〃為+與

（y=a+/7xj而言，通過使得統計量。=Z（y—））2最小而求得參數a、。。

5方差分析:通過分析總離差平方和引=與回歸平方和S；=2（）：—斤、剩

余平方和s；.二Z（?—）'，）2的數值，及相互之間的數量關系，來分析變量之間的關系和回

歸模型。

6參數估計：選定模型，根據解釋變量和被解釋變量的數據，使用一定的估計方法得出模型

中的未知參數，稱為參數估計。

7控制：是預測的反問題：即要求觀察值在某個區間（），；,%）取值時，解釋變量七應控制在

什么范圍。

8預測：根據回歸模型和已估計出的參數，在給定解釋變量/時，預測被解釋變量上的取

值或取值范圍。

二、填空題

1不確定性；客觀經濟。

2隨機性；隨機性；隨機性；隨機擾動項；測量誤差；被解釋變量；解釋變量。

3總離差平方和；回歸平方和；殘差平方和。

4凈影響;夕。

5指數是一次；指數是一次；參數。

6殘差；隨機擾動項。

三、簡答題

1答：在線性回歸方程中，“線性”二字指的是方程對參數而言是線性的的，即參數的次數

為一次。對于變量而言，模型可以是線性的，也可能不是線性的。

2答：最小一乘法歸功于德國數學家高斯，在一定假設下，最小一乘法有一系列非常令人向

往的統計性質，是回歸中較常用的一種方法。如，對模型y=a+與（y=a+■「）

而言，通過使得統計量Q=Z（y-y?最小而求得參數々、B。最小二乘法使得回歸的

參差平方和盡可能的小，卻總體上來說，y與y的偏差最小。在滿足一定的條件下，最小

二乘法具有最優線性無偏估計量的性質（BLUE）。

3答：假設I,隨即誤差項?的均值為0,方差為，，H服從正態分布。即與?

假設2,隨即誤差項弓,名,飛，……J之間是兩兩不相關的。即cov（q,￡j）=0

由于正態分布的隨即變量不相關與獨立是等價的，因此改假設實際上表示各隨機變量誤差項

相互獨立。

假設3,隨機誤差項與解釋變量X之間不相關，即

cov（耳，與）=0r=1,2,n

實際上，如果X是可觀察或可控制變量，則它就不是隨機變量，因此改條件一定成立,

4答：方差分析通過分析總離差平方和s；=￡3-5『與回歸平方和s；=Z（y—不丫、

剩余平方和Sr=Z（y-y）2的數值，及相互之間的數量關系，來分析變量之間的關系和

回歸模型。通過方差分析，我們可以判斷線性回歸方程的好壞。我們可以知道總離差平方和

5；=X（X-5）2的構成情況，回歸平方和啜=Z（y一亍『反映由于X與y之間的線性關

系而引起的回歸值的離散程度，而剩余平方和S：=Z（y—y）2則反映了除x與y之間的

線性關系以外引起數據y波動的因素，這種波動性實際上是由于觀測誤差等隨機因素引起

的。這樣，我們就通過平方和的分解把引起數據y波動的兩種原因在數值上分開了。

5答：t檢驗的思路，若線性假設符合實際，那么b不應該為零。否則，若b=0,那么y就

不依賴于x了。因此，我們需要檢驗假設：°,通過計算I統計量，二幺二向，

■：6工（）b丫

及相應的臨界值得出拒絕域。當假設〃o：b=O被拒絕時，我們認為線性回歸效果是顯著的;

反之，則認為線性回歸效果不顯著。

L

相關系數檢驗法主要是通過由數據觀測值計算出的樣本相關系數&.二xv作為相關

y[^xxy[^yy

系數的估計值，通過々，的大小來判斷x與y之間線性關系的密切程度。因此，我們需要

檢驗假設："。：'二°,通過計算檢驗統計量/二飛■尸2,及相應的臨界值得出拒絕域。

對于一元線性回歸方程而言，有5=所以對于一元線性回歸方程而言，I檢

驗中的假設：〃=0等價于相關系數中的假設“o:2=0。

6答：預測：根據回歸模型和已估計出的參數，在給定解釋變量為時，預測被解釋變量y的

取值或取值范圍。即，己知自變量的取值，求因變量的取值或取值范圍。

控制：是預測的反問題，即要求觀察值在某個區間（），；,%）取值時，解釋變量』應控制在

什么范圍。

7答：①影響y取值的，除x外，還有其他不可忽略的因素。

②y與x的關系不是線性的，它們存在其他關系。

③y與x不存在關系。

8答：一個回歸模型永遠也不可能對現實做出完全準確的描述。因此，回歸子的實際值與從

選擇的模型中估計出來的值之間必定不同。二者之差就簡單的歸納為隨機誤差項。而參差是

指樣本的隨機誤差項。

9答：模型a、b、c和e都是線性（于參數的）回歸模型。如果我們另a=ln片，則模型d

也是線性的。

10答：（a）通過取自然對數，我們發現lnX=;?|+&X,+d，便成為一個線性回歸模型。

（b）如下被稱為logit變換的變換使得模型成為一個線性問歸模型：

ln［（”X）/K1=/+AXj+逐

（C）線性回歸模型

（d）非線性回歸模型

⑹因為自的哥指數是3,所以不是線性回歸模型。

四、計算題

I解：（1）Yj=0?Xi+與，因此

七化囚）=七8+/?/,+弓忙）

=4+P，X,+E（￡；|X,）因為僅為常數而X為非隨機的。

w+河X,

（2）假定對所有的仃了吟/）都有COV（［，邑）=0，?工，，于是

cov化』）=網,"化）］已一￡化）］｝

=E（^.）利用（1）中的結論

=￡（＜.）網與）根據假定誤差項不相關

=0根據假定每個J的均值都為零。

（3）給定var（￡/Xj）=/,于是根據假定有

var化因）=E［工-E（K）了=E（婷）=var⑻X,）=/

2解：a.回歸結果為

DependentVariable:ASP

Method:LeastSquares

Date:07/23/06Time:15:47

Sample:130

Includedobservations:30

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-.585758.31-3.0.0035

GPA.626347.093.0.0004

R-squared0.Meandependentvar68260.00

AdjustedR-squared0.S.D.dependentvar18187.78

S.E.ofregression14779.44Akaikeinfocriterion22.10420

Sumsquaredresid6.12E+09Schwarzcriterion22.19762

Loglikelihood-329.5630F-statistic15.91789

Durbin-Watsonstat1.Prob(F-statistic)0.

因為估計的GPA的系數是統計顯著的，所以它對ASP有正的影響。

b.回歸結果為：

DependentVariable:ASP

Method:LeastSquares

Date:07/23/06Time:15:49

Sample:130

Includedobservations:30

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-.847572.09-6.0.0000

GMAT641.659876.150368.0.0000

R-squared0.Meandependentvar68260.00

AdjustedR-squared0.S.D.dependentvar18187.78

S.E.ofregression9843.701Akaikeinfocriterion21.29139

Sumsquaredresid2.71E+09Schwarzcriterion21.38480

Loglikelihood-317.3709F-statistic71.00122

Durbin-Watsonstat1.Prob(F-statistic)0.

顯著的正相關。

c.回歸模型為：

DependentVariable:ASP

Method:LeastSquares

Date:07/23/06Time:15:51

Sample:130

Includedobservations:30

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C22789.949769.6552.0.0271

XUEFEI2.0.4.0.0000

R-squared0.Meandependentvar68260.00

AdjustedR-squared0.S.D.dependentvar18187.78

S.E.ofregression13690.92Akaikeinfocriterion21.95119

Sumsquaredresid5.25E+09Schwarzcriterion22.04461

Loglikelihood-327.2679F-statistic23.17903

Durbin-Watsonstat1.Prob(F-statistic)0.

每年的學費與ASP顯著正相關。

從回歸方程看，學費高，ASP就高。但因為影響ASP變動的因素還很多，所以不是絕對的。

d.因為

DependentVariable:GPA

Method:LeastSquares

Date:07/23/06Time:15:54

Sample:130

Includedobservations:30

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C3.0.43.290600.0000

XUEFEI6.28E-064.10E-061.0.1370

R-squared0.Meandependentvar3.

AdjustedR-squared0.S.D.dependentvar0.

S.E.ofregression0.Akaikeinfocriterion-1.

Sumsquaredresid0.Schwarzcriterion-1.

Loglikelihood26.99939F-statistic2.

Durbin-Watsonstat1.Prob(F-statistic)0.

DependentVariable:GMAT

Method:LeastSquares

Date:07/23/06Time:15:55

Sample:130

Includedobservations:30

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C570.140713.8537341.154300.0000

XUEFEI0.0.4.0.0004

R-squared0.Meandependentvar624.2667

AdjustedR-squared0.S.D.dependentvar24.00421

S.E.ofregression19.41423Akaikeinfocriterion8.

Sumsquaredresid10553.55Schwarzcriterion8.

Loglikelihood-130.5135F-statistic16.33355

Durbin-Watsonstat0.Prob(F-statistic)0.

所以，高學費的商業學校意味著較高的GMAT成績，因為GMAT與學費顯著正相關。因為

成績與學費不是顯著相關的，所以，高學費的學校并不意味著較高的GPA成績。

3解：（I）10I.40是常數項的估計值，它是當聯邦資金利率為零時的債券價格的估值。但由

于聯邦資金利率通常不為零，此解釋意義不大。一4.78是斜率系數的估值，它告訴我便當聯

邦資金利率變化一單位（一個百分點）時債券價格變化多少。斜率系數估值的符號與預期一

致；當利率上升時，現有債券的價格會下降。我們通常對常數項不作假定。

（2）原方程可等價地描述為：

匕=101.40—4.78Xj+。

（3）誤差項是不可觀察的，不應被包括在我們用于實際計算￡的樣本方程中。此問題被

重新表述為：問方程中為什么沒有包括余項，則回答與（2）相同）

（4）若聯邦資金利率上升一個百分點，債券價格將下降4.78美元。可能的評論是：

①當解釋長期資產的價值時，應使用的合適利率是長期利率而不是短期利率。

②另外，可能有除利率之外的更多的解釋變量

③給定資本市場對利率變化的反應程度，則采用按月的數據集將給相同的年數提供更多

的觀察值。（因而擬合優度更好）。

4解：

(1)把上述數據導入eviews,進行回歸得到:

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C380.5269212.36301.0.1109

X0.0.14.962980.0000

所以樣本回歸方程為：/=380.5269+().484532Xj

(2)這是求E(%)。

8

Xo=6000又=5400=1.3848*105=381.0639

H=1()a=().05rOO25(8)=2.306

Yo=380.52686+0.4845321*6000=3287.719

JvAr闖=SU+=381.0639*(6000"]22.0593

(號U+s=

v''W?Z七V101.3848*10

5解：

(1)把數據導入eviews,進行回歸得如下結果：

DependentVariable:Y

Method:LeastSquares

Date:07/03/06Time:14:58

Sample:19852002

Includedobservations:18

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C-3395.318614.4268-5.0.0000

X93.687797.12.514040.0000

R-squared0.Meandependentvar3913.111

AdjustedR-squared0.S.D.dependentvar2580.713

S.E.ofregression809.9203Akaikeinfocriterion16.33619

SumsquaredresidSchwarzcriterion16.43512

Loglikelihood-145.0257F-statistic156.6012

Durbin-Watsonstat0.Prob(F-statistic)0.

查表得fog(16)=2.120<12.51,所以拒絕”o

(2)r=0.9525

⑶13713.15<E(^)<16971.33

6解，(a)

這些變量相對于時間都有上升趨勢；黃金的波動價格較大。

(b)如果假設正確，我們將預期四之1

(c)黃金價格對CPI做I可歸得到如下表格(使用eviews)

DependentVariable:HUANGJIN

Method:LeastSquares

Date:07/23/06Time:10:59

Sample:19771991

Includedobservations:15

VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.

C186.1833125.40391.0.1615

CPI1.1.1.0.1535

R-squared0.Meandependentvar371.8193

AdjustedR-squared0.S.D.dependentvar109.4400

S.E.ofregression104.6939Akaikeinfocriterion12.26353

Sumsquaredresid.7Schwarzcriterion12.35793

Loglikelihood-89.97644F-statistic2.

Durbin-Watsonstat1.Prob(