2024-2025學年江蘇省無錫市高三上學期12月聯考數學檢測試題一、單項選擇題：本題共8題，每小題5分，共計40分．在每小題列出的四個選項中，只有一項符合題目要求．1．已知集合，則A． B． C．D．【正確答案】D2．已知i為虛數單位，復數z滿足，則A．5B．C．2D．【正確答案】B3．“直線與圓相交”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A4．已知數列的通項公式是（），若數列是遞增數列，則實數的取值范圍是A． B．C． D．【正確答案】C5．已知，，直線與曲線相切，則的最小值是A．4 B．3 C．2 D．1【正確答案】D6．已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1、F2，若C上存在一點P，使得，則橢圓C的離心率的取值范圍是A． B． C．D．【正確答案】D7．已知是等比數列，且，則能使不等式成立的最大正整數n的值為A．5 B．6 C．7 D．8【正確答案】C8．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，成等差數列，則的最小值為A．2 B．3 C． D．4【正確答案】B由題知，由正弦定理得，即，因為，所以，又，所以，得，所以最多有一個是鈍角，所以，因為，由基本不等式得，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為3．故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知（，，）的部分圖象如圖所示，則A． B．的最小正周期為C．在內有3個極值點 D．當時，與y=cosx的圖象有3個交點【正確答案】ABD10．已知函數及其導函數的定義域均為R，記．若，均為奇函數，且，則A．關于直線對稱 B．關于點對稱C．的周期為4 D．【正確答案】BCD因為為奇函數，所以，即，所以所以關于對稱，故，A錯誤同時，又奇函數，則，所以關于對稱，故B正確關于對稱，結合，所以，所以，又，所以，所以，也即，所以所以是周期為4的函數，故C正確，，，，，，故，D正確故選：BCD11．如圖，在平行四邊形ABCD中，，且，BF為的中線，將沿BF折起，使點C到點E的位置，連接AE，DE，CE，且，則A．EF⊥平面ABCD B．BC與DE所成的角為 C．AE與平面BEF所成角的正切值是D．點C到平面BDE的距離為【正確答案】ACD因為，且，所以，．又為的中線，所以，．因為，所以．由題意，知，所以．又，且，平面，所以平面，故A正確；因為，所以或其補角即為與所成的角，連接，在中，，，，所以由余弦定理，得．在中，由勾股定理，得．所以在中，，．由余弦定理的推論，得，所以，所以與所成的角為，故B錯誤；因為，，，所以平面．又，所以平面．所以與平面所成的角為．中，，．所以，故C正確；因為，且，所以．又，所以．因為點到平面的距離為，所以由等體積法，得點到平面的距離為，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知等比數列的前n項和為，若，則．【正確答案】13．已知函數的兩個極值點為，且，則實數a的最小值是．【正確答案】214．已知向量，，，，則的取值范圍是．【正確答案】四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本題滿分13分）已知數列的前n項和為，且滿足．（1）求數列的通項公式；（2）設，設數列的前n項和，求證：．（1）當時，，解得．…2分當時，，即．因為，且，所以，所以，…5分所以，數列是以2為首項，2為公比的等比數列，所以．…6分（2）由（1）知：，…8分所以，…10分所以…12分因為， 所以，．…13分16．（本題滿分15分）在銳角△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角C；（2）求的取值范圍．（1）由，結合正弦定理可得，即，…3分所以，又，故；…5分（2）由（1）有由正弦定理可得：…7分…9分…11分因為△ABC是銳角三角形，故，解得，…13分則，所以，，所以，即的取值范圍為．…15分17．（本題滿分15分）已知O為坐標原點，是橢圓C：的右焦點，點M是橢圓的上頂點，以點M為圓心且過F的圓恰好與直線相切．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，直線MA，MB與x軸的交點分別是P，Q，求證：線段PQ的橫坐標為定值．（1）設橢圓焦距為2c（）點M為圓心且過F的圓恰好與直線相切∴，∴∴橢圓C的方程為…5分（2）設直線l：，，，聯立方程，得因為，直線l交橢圓C于A，B兩點所以，…7分所以，，…8分直線MA：令y=0得：…10分同理，…13分所以，PQ中點的橫坐標為．…15分18．（本題滿分17分）如圖，在三棱錐中，側面PAC是邊長為2的正三角形，，，E，F分別為PC，PB的中點，平面AEF與底面ABC的交線為l．（1）證明：l∥平面PBC．（2）已知平面PAC⊥平面ABC，若在直線l上存在點Q，使得直線PQ與平面AEF所成角為，異面直線PQ，EF所成角為，且滿足，求|AQ|．（1）因為分別為的中點，所以，．又平面，平面，所以，平面．…2分又平面，平面與底面的交線為，所以，．…4分從而，．而平面，平面，所以，平面．…6分（2）取的中點記為，連接，因為是邊長為2的正三角形，所以，．由（1）可知，在底面內過點A作的平行線，即平面與底面的交線．因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=ACPD⊥AC，PD平面PAC所以平面．取AB的中點記為，連接，則．因為AC⊥BC，所以DM⊥AC．以為坐標原點，為正交基底，建立空間直角坐標系（如圖所示），………9分則，，，，，，設．于是，，，．設平面的一個法向量為，則，即，取，則，，即是平面的一個法向量，…11分所以．又直線與平面所成角為，于是．…13分又，而異面直線所成角為，于是．…15分假設存在點滿足題設，則，即，所以．綜上所述，|AQ|=1．…17分19．（本題滿分17分）定義運算：，已知函數．（1）若函數的最大值為0，求實數a的值；（2）證明：；（3）若函數存在兩個極值點，證明：．（1）由題意知：，，①當時，f'x<0，在單調遞減，不存在最大值．…1分②當時，由得，當，f'x>0；，f函數y=fx的增區間為，減區間為．，…3分令，求導得，當時，，函數遞減，當時，，函數遞增，因此，．…5分（2）由（1）知，，即，當時，．…7分．．