高級中學名校試卷PAGEPAGE1浙江省臺州市三校2024-2025學年高一上學期期中聯考數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為集合，，故.故選：B.2.下列關于，的關系式中，能表示是的函數的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對于A，，當時，得，即，不滿足函數定義，故A錯誤；對于B，，當時，得，即，不滿足函數定義，故B錯誤；對于C，即，滿足函數的定義，故C正確；對于D，，當時，得，即，不滿足函數定義，故D錯誤.故選：C.3.函數的定義域為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】依題意得，解得，所以的定義域為.故選：D.4.若，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由函數在上單調遞減，且，則；由函數在上單調遞增，且，則，由，則.故選：A.5.已知，，則a、b、c的大小關系為（）A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜a＜c D.c＜b＜a【答案】C【解析】函數是定義域R上的單調減函數，且，則，即，又函數在上單調遞增，且，于是得，即，所以a、b、c的大小關系為．故選：C.6.已知實數，且“”的一個必要不充分條件是“”，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得，即，由，，得，即，因為“”是“”的必要不充分條件，所以，得（等號不能同時成立），解得，即實數的取值范圍為.故選：A.7.過點與圓相切兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓的標準方程為，圓心為，半徑為，若切線斜率不存在時，則直線方程為，此時，圓心到直線的距離為，不合乎題意；當切線的斜率存在時，設切線的方程為，即，則有，整理可得，則，設兩切線的斜率分別為、，則、為關于的方程的兩根，由韋達定理可得，，所以，，所以，，由題意，，由，解得.故選：D.8.已知正實數，，滿足，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，所以，即，因為，則，解得，當且僅當，即或時，等號成立，所以的取值范圍為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.下列函數既是偶函數，又在上是減函數的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對于A，函數的定義域為，該函數不具奇偶性，A不是；對于B，函數的定義域為R，，是偶函數，當時，在上單調遞減，B是；對于C，函數的定義域為R，，是偶函數，在上單調遞減，C是；對于D，函數的定義域為，，是奇函數，D不是.故選：BC.10.已知集合，集合，則（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】由題意得，.A.，選項A錯誤.B.，選項B錯誤.由集合與元素的關系得，，，選項C，D正確.故選：CD.11.如圖，在直棱柱中，各棱長均為，則下列說法正確的是（）A.異面直線與所成角的正弦值為B.當點M在棱上運動時，則直線與平面所成角的最大值為C.當點M在棱上運動時，最小值為D.三棱錐外接球的表面積為【答案】BCD【解析】對于A，連接，，，四邊形為平行四邊形，，異面直線與所成角即為，，，，所以異面直線與所成角的正弦值為，故A錯誤；對于B，連接交于點，連接，在菱形中，，因為平面，平面，所以，又平面，所以平面，因為平面，平面，所以平面，所以線段的長度即為點到平面的距離，在等邊三角形中，，則直線與平面所成角的正弦值為，當點與點重合時，取得最小值，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，所以直線與平面所成角的最大值為，故B正確；對于C，將四邊形與沿著棱展開得四邊形，則的最小值即為，故C正確；對于D，，，是邊長為的正三角形，的外接圓半徑，三棱錐外接球半徑，三棱錐外接球表面積，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“，”的否定是______．【答案】，【解析】因為全稱量詞命題的否定是特稱（存在）量詞命題，所以命題“，”的否定是“，”.13.已知，若，，則的最小值為__________.【答案】【解析】因為，若，，可知，則，可得，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為.14.設函數，若且，則當取得最小值時__________.【答案】【解析】因為函數，又因為且，則，所以，所以，則，則當取得最小值時，所以，所以.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知全集，集合，.（1）求和；（2）已知，寫出集合的所有非空子集.解：（1）因為，，則，.（2）因為全集，，則，所以，集合的所有非空子集為：、、、、、、.16.設．注：.（1）證明：；（2）若，求的最小值．解：（1），．均不為0，則，．（2）由可知．，當且僅當時，取等號，．的最小值為.17.已知集合，.（1）當時，求；（2）已知“”是“”的必要條件，求實數m的取值范圍.解：（1），得，所以.，當時，，.（2）因為“”是“”的必要條件，所以.當時，，不符合題意；當，即時，，符合題意；當時，，所以，解得.綜上所述：.18.已知函數.（1）解不等式；（2）若，試判斷的單調性，并用定義證明.解：（1）令，則，原不等式可化為，解得，即，可得，故原不等式的解集為.（2）在上為增函數，證明如下：因為，任取，，且，則.因為，則，，可得，即，所以函數在上為增函數.19.已知函數，且.（1）判斷函數的奇偶性；（2）若，試判斷函數的單調性.并求使不等式在R上恒成立的的取值范圍；（3）若，且在上的最小值為，求的值.解：（1）函數的定義域為R，，所以函數奇函數.（2）由，，得，則，