夏津育中萬隆中英文高級中學高二上學期第二次月考數學試題（時間：120分鐘滿分：150分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.四名同學報名參加三項課外活動，每人限報其中一項，不同報名方法共有A.種 B.種 C.種 D.種2.一個盒子里裝有大小，材質均相同的黑球個，紅球個，白球個，從中任取個，其中白球的個數記為，則等于的是(

)A. B. C. D.3.經過點作直線，若直線與連接，的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍為A. B. C. D.4.已知盒中裝有個紅球、個白球、個黑球，它們大小形狀完全相同，現需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率A. B. C. D.5.離散型隨機變量的分布列中部分數據丟失，丟失數據以，代替，分布列如下：則A. B. C. D.6.的展開式中，前項的系數成等差數列，展開式中二項式系數的最大值為A. B. C. D.7.高三某班有的學生數學成績優秀，若從班中隨機找出名學生，那么其中數學成績優秀的學生數，則取最大值時的值為A. B. C. D.8.拋物線上有三點，且直線的斜率大于零，，點為三角形的重心，若直線橫截距的范圍為，則的值是(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若隨機變量服從兩點分布，且，和分別為隨機變量的期望與方差，則下列結論正確的是A. B. C. D.10.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂點重合，則下列關于的說法正確的有A.當時，的面積為B.的周長為

C.當時，中D.橢圓上有且僅有個點，使得為直角三角形11.已知正方體棱長為，為棱的中點，為底面上的動點，則下列說法正確的是

A.存在點，使得；

B.存在唯一點，使得；

C.當，此時點的軌跡長度為；

D.當為底面的中心時，三棱錐的外接球表面積為．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.的展開式中的一次項系數為，則實數的值為

．13.已知隨機事件滿足，則

．14.已知雙曲線的左右焦點分別為，，為坐標原點，傾斜角為的直線過右焦點且與雙曲線的左支交于點，若，則雙曲線的離心率為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題分從名男生和名女生中選出人去參加某活動的志愿者．若人中必須既有男生又有女生，則有多少種選法？先選出人，再將這人分配到兩個不同的活動場地每個場地均要有人去，人只能去一個場地，則有多少種安排方法？若男女生各需要人，人選出后安排與名組織者合影留念站一排，名女生要求相鄰，則有多少種不同的合影方法？16.本小題分

端午假日期間，某商場為了促銷舉辦了購物砸金蛋活動，凡是在該商場購物的顧客都有一次砸金蛋的機會主持人從編號為，，，的四個金蛋中隨機選擇一個，放入獎品，只有主持人事先知道獎品在哪個金蛋里游戲規則是顧客有兩次選擇機會，第一次任意選一個金蛋先不砸開，隨后主持人隨機砸開另外三個金蛋中的一個空金蛋，接下來顧客從三個完好的金蛋中第二次任意選擇一個砸開，如果砸中有獎的金蛋直接獲獎現有顧客甲第一次選擇了號金蛋，接著主持人砸開了另外三個金蛋中的一個空金蛋．

作為旁觀者，請你計算主持人砸號金蛋的概率；

當主持人砸開號金蛋后，顧客甲重新選擇，請問他是堅持選號金蛋，還是改選號金蛋或號金蛋？以獲得獎品的概率最大為決策依據17.本小題分為了解客戶對，兩家快遞公司的配送時效和服務滿意度情況，現隨機獲得了某地區客戶對這兩家快遞公司評價的調查問卷，已知，兩家公司的調查問卷分別有份和份，全部數據統計如下：快遞公司快遞公司快遞公司項目份數評價分數配送時效服務滿意度配送時效服務滿意度假設客戶對，兩家快遞公司的評價相互獨立，用頻率估計概率．從該地區選擇快遞公司的客戶中隨機抽取人，估計該客戶對快遞公可配送時效的評價不低于分的概率；分別從該地區和快遞公司的樣本調查問卷中，各隨機抽取份，記為這份問卷中的服務滿意度評價不低于分的份數，求的分布列和數學期望；記評價分數為“優秀”等級，為“良好”等級，為“一般”等級已知小王比較看重配送時效的等級，根據該地區，兩家快遞公司配送時效的樣本評價分數的等級情況，你認為小王選擇，哪家快遞公司合適？說明理由.18.本小題分如圖，在四棱錐中，底面是正方形，面，，為棱上的動點．（1）若為棱的中點，證明：；在棱上是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）分別在棱上，，求三棱錐的體積的最大值．19．本小題分閱讀材料：極點與極線，是法國數學家吉拉德?笛沙格（GirardDesargues，）于年在射影幾何學的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述，它是圓錐曲線的一種基本特征.已知圓錐曲線，則稱點和直線是圓錐曲線的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換（另一變量也是如此），即可得到點對應的極線方程．特別地，對于橢圓，與點對應的極線方程為；對于雙曲線，與點對應的極線方程為；即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.其中，極點與極線有以下基本性質和定理①當在圓錐曲線上時，其極線是曲線在點處的切線；②當在外時，其極線是曲線從點所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）；③當在內時，其極線是曲線過點的割線兩端點處的切線交點的軌跡.根據上述材料回答下面問題：已知雙曲線，右頂點到的一條漸近線的距離為，已知點是直線上的一個動點，點對應的極線與雙曲線交于點，(1)若，，證明：極線恒過定點.(2)在（1）的條件下，若該定點為極線的中點，求出此時的極線方程.(3)若，，，極線交的右支于，兩點，點在軸上方，點是雙曲線的左頂點，直線，直線分別交軸于，兩點，點為坐標原點，求的值.夏津育中萬隆中英文高級中學高二上學期第二次月考數學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.四名同學報名參加三項課外活動，每人限報其中一項，不同報名方法共有(

)A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C

解：由題意，由于每位同學都有種選法，故共有

種選法．2.一個盒子里裝有大小，材質均相同的黑球個，紅球個，白球個，從中任取個，其中白球的個數記為，則等于的是(

)A. B. C. D.【答案】C

解：由題設，取出的個球中沒有白球的概率為，取出的個球中有一個白球的概率為，所以目標式表示．3.經過點作直線，若直線與連接，的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍為(

)A. B. C. D.【答案】A

解：由題意可知：，，與線段相交，，即；設直線的傾斜角為，或，由于在及均單調遞增，或．

4.已知盒中裝有個紅球、個白球、個黑球，它們大小形狀完全相同，現需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率(

)A. B. C. D.【答案】B

解：設“第一次拿到白球”為事件，“第二次拿到紅球”為事件，

，，則所求概率為.5.離散型隨機變量的分布列中部分數據丟失，丟失數據以，代替，分布列如下：則(

)A. B. C. D.【答案】B

解：由題意得，化簡得，又，且，所以，，所以．6.的展開式中，前項的系數成等差數列，展開式中二項式系數的最大值為(

)A. B. C. D.【答案】B

解：

展開式的通項公式為，前三項的系數分別為，，，且成等差數列，

，即，又，，故解得，二項式系數的最大值為．

7.高三某班有的學生數學成績優秀，若從班中隨機找出名學生，那么其中數學成績優秀的學生數，則取最大值時的值為(

)A. B. C. D.【答案】B

解：由已知，，，，，，，

所以由得：解得，又因為，所以．

故選B．8.拋物線上有三點，且直線的斜率大于零，，點為三角形的重心，若直線橫截距的范圍為，則的值是(

)A. B. C. D.【答案】A

解：由題意知，設，則，又為的重心，所以，得，代入方程，得設直線方程為，由，消去，得，，得，，代入，得，即，則，解得，所以，解得．對于，令，得，又函數在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，當時，，即．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.若隨機變量服從兩點分布，其中，和分別為隨機變量的期望與方差，則下列結論正確的是(

)A. B. C. D.【答案】ABD

解：隨機變量服從兩點分布，其中，

，

，，故D正確，

對于選項，，故A正確；

對于選項，，故B正確；

對于選項，，故C錯誤；

故選ABD．10.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且不與橢圓的左、右頂點重合，則下列關于的說法正確的有(

)A.當時，的面積為B.的周長為

C.當時，中D.橢圓上有且僅有個點，使得為直角三角形【答案】ABD

解：根據橢圓方程可得，，．

對于，當時，設，，則有，可得，

則的面積，故A正確；

對于，的周長為，故B正確；

對于，當時，的邊，故C錯誤；

對于，設，，

當時，則有解得，此時點為上下頂點，

當時，有兩個點，當時，有兩個點，故D正確．故選：．11.已知正方體棱長為，為棱的中點，為底面上的動點，則下列說法正確的是(

)

A.存在點，使得；

B.存在唯一點，使得；

C.當，此時點的軌跡長度為；

D.當為底面的中心時，三棱錐的外接球表面積為．【答案】ABD

解：以為原點，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系．

，，設點坐標為，，

為求的最小值，找出點關于平面的對稱點，設該點為，則點坐標為，

，故A選項正確；

由，可得，故B選項正確；

時，即，而，，

得到，

點軌跡是連接棱中點與棱中點的線段，其長度為線段的一半，即長為，故C選項錯誤；

當為底面的中心時，由選項知，顯然，，

三棱錐的外接球球心為棱的中點，從而求得球半徑為，，故D正確．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.的展開式中的一次項系數為，則實數的值為

．【答案】

解：的展開式的通項為：，令，解得，的展開式中的一次項為：，，．13.已知隨機事件滿足，則

．【答案】

解：因為，，所以，

所以．

14.已知雙曲線的左右焦點分別為，，為坐標原點，傾斜角為的直線過右焦點且與雙曲線的左支交于點，若，則雙曲線的離心率為

．【答案】

解：

因為，所以，則，過作軸，垂足為，由題意知，則，故，在中，，，故，又點在雙曲線上，則，將代入整理得，則，解得，又，得到，所以雙曲線的離心率為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題分從名男生和名女生中選出人去參加某活動的志愿者．若人中必須既有男生又有女生，則有多少種選法？先選出人，再將這人分配到兩個不同的活動場地每個場地均要有人去，人只能去一個場地，則有多少種安排方法？若男女生各需要人，人選出后安排與名組織者合影留念站一排，名女生要求相鄰，則有多少種不同的合影方法？【答案】解：從這人中任選人的選法有種，其中只有男生的選法有種，

只有女生的選法有種，故人中必須既有男生又有女生的選法有種4分從這人中任選人的選法有種，若人數按，分配，則安排方法有種，若人數按，分配，則安排方法有種，所以共有種安排方法．9分因為男女生各需要人，所以選出人的方法有種，先排名男生與名組織者，有種排法，再將名女生“捆綁”在一起，放入個空檔中，所以共有種不同的合影方法．13分16.本小題分

端午假日期間，某商場為了促銷舉辦了購物砸金蛋活動，凡是在該商場購物的顧客都有一次砸金蛋的機會主持人從編號為，，，的四個金蛋中隨機選擇一個，放入獎品，只有主持人事先知道獎品在哪個金蛋里游戲規則是顧客有兩次選擇機會，第一次任意選一個金蛋先不砸開，隨后主持人隨機砸開另外三個金蛋中的一個空金蛋，接下來顧客從三個完好的金蛋中第二次任意選擇一個砸開，如果砸中有獎的金蛋直接獲獎現有顧客甲第一次選擇了號金蛋，接著主持人砸開了另外三個金蛋中的一個空金蛋．

作為旁觀者，請你計算主持人砸號金蛋的概率；

當主持人砸開號金蛋后，顧客甲重新選擇，請問他是堅持選號金蛋，還是改選號金蛋或號金蛋？以獲得獎品的概率最大為決策依據【答案】解：設，，，分別表示，，，號金蛋里有獎品，設，，，分別表示主持人砸開，，，號金蛋，則，且，，，兩兩互斥．

由題意可知，事件，，，的概率都是，

，，，．6分

由全概率公式，得．8分

在主持人砸開號金蛋的條件下，號金蛋、號金蛋、號金蛋里有獎品的概率分別為

，10分

，12分

，14分

通過概率大小比較，甲應該改選號金蛋或號金蛋．

15分本小題分為了解客戶對，兩家快遞公司的配送時效和服務滿意度情況，現隨機獲得了某地區客戶對這兩家快遞公司評價的調查問卷，已知，兩家公司的調查問卷分別有份和份，全部數據統計如下：快遞公司快遞公司快遞公司項目份數評價分數配送時效服務滿意度配送時效服務滿意度假設客戶對，兩家快遞公司的評價相互獨立，用頻率估計概率．從該地區選擇快遞公司的客戶中隨機抽取人，估計該客戶對快遞公司配送時效的評價不低于分的概率；分別從該地區和快遞公司的樣本調查問卷中，各隨機抽取份，記為這份問卷中的服務滿意度評價不低于分的份數，求的分布列和數學期望；記評價分數為“優秀”等級，為“良好”等級，為“一般”等級已知小王比較看重配送時效的等級，根據該地區，兩家快遞公司配送時效的樣本評價分數的等級情況，你認為小王選擇，哪家快遞公司合適？說明理由.【答案】解：調查問卷中共有份，其中配送時效的評價不低于分的份數為，則，故可估計該客戶對快遞公可配送時效的評價不低于分的概率為； 2分快遞公司的樣本調查問卷中抽取的份服務滿意度評價不低于分的概率為：，3分快遞公司的樣本調查問卷中抽取的份服務滿意度評價不低于分的概率為：，4分的可能取值為，，，5分，6分，7分，8分故其分布列為：其期望；10分快遞公司的樣本調查問卷中“優秀”等級占比為，“良好”等級占比為，“一般”等級占比為；11分快遞公司的樣本調查問卷中“優秀”等級占比為，“良好”等級占比為，“一般”等級占比為；12分其中快遞公司的樣本調查問卷中“優秀”或“良好”等級占比為，13分快遞公司的樣本調查問卷中“優秀”或“良好”等級占比為，14分我認為小王應該選擇快遞公司，因為快遞公司中“優秀”或“良好”等級占比比公司大．15分18.本小題分如圖，在四棱錐中，底面是正方形，面，，為棱上的動點．若為棱中點，證明：面；在棱上是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；，，分別在棱，，上，，求三棱錐的體積的最大值．【答案】解：連接交于，連接，易知，

又因為面上，面，所以面2分

以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

可得，，，，，3分

由為棱上一點，設，，

，．4分

設平面的法向量為，

由可得

令，則，則6分

平面的一個法向量為，7分

則二面角的平面角滿足：，

化簡得：，解得：或舍去，故存在滿足條件的點，此時10分

因為，

可知三棱錐體積最大時，即最大，

在中，由余弦定理有：，

可得，

設，則，12分

由題可知：該方程有實根，則，解得，同理可得．13分

設點到平面的距離為，

則由等體積法得到：，

即，解得：．15分

當最大時三棱錐體積最大，即三棱錐體積最大，且易得∠APC=60°，

所以最大體積為：．

17分19．閱讀材料：極點與極線，是法國數學家吉拉德?笛沙格（GirardDesargues，）于年在射影幾何學的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述，它是圓錐曲線的一種基本特征.已知圓錐曲線，則稱點和直線是圓錐曲線的一對極點和極線.事實上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換（另一變量也是如此），即可得到點對應的極線方程．特別地，對于橢圓，與點對應的極線方程為；對于雙曲線，與點對應的極線方程為；即對于確定的圓錐曲線，每一對極點與極線是一一對應的關系.其中，極點與極線有以下基本性質和定理①當在圓錐曲線上時，其極線是曲線在點處的切線；