人教A版2019選擇性必修二第一章

空間向量1.4.2用空間向量研究距離、角度問題高中數學教研組第2課時用空間向量研究空間角度問題素養/學習目標1.理解兩異面直線所成角與它們的方向向量之間的關系,會用向量方法求兩異面直線所成角，發展直觀想象，數學運算素養.2.理解直線與平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角之間的關系,會用向量方法求直線與平面所成角，發展直觀想象，數學運算素養.3.理解二面角大小與兩個面法向量夾角之間的關系,會用向量方法求二面角的大小，發展直觀想象，數學運算素養.引入新知地球繞太陽公轉的軌道平面稱為“黃道面”,黃道面與地球赤道面交角(二面角的平面角)為23°26'.黃道面與天球相交的大圓為“黃道”.黃道及其附近的南北寬9°以內的區域稱為黃道帶,太陽及大多數行星在天球上的位置常在黃道帶內.黃道帶內有十二個星座,稱為“黃道十二宮”，從春分（節氣）點起，每30°便是一宮，并冠以星座名，如白羊座、獅子座、雙子座等，這便是星座的由來。探究新知與距離一樣，角度是立體幾何中的另一類度量問題.本質上，角度是對兩個方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度問題有其獨特的優勢.請同學們先看問題1.探究新知圖1.4-19探究新知圖1.4-19化為向量問題探究新知圖1.4-19探究新知圖1.4-19進行向量問題探究新知圖1.4-19回到圖形問題追問:回顧問題1的求解過程,你能歸納出利用向量求空間直線與直線所成的角的一般方法嗎?其基本步驟是怎樣的？探究新知求空間直線與直線所成的角的一般方法圖1圖2探究新知求空間直線與直線所成的角基本步驟幾何問題向量問題向量運算幾何解釋探究新知問題2：類比直線與直線夾角的向量解決步驟，一般地,如何求直線與平面所成的角?如何將幾何問題轉化為向量問題?點與方向向量點與法向量

類似地，直線與平面所成的角，可以轉化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角．探究新知圖1.4-20(1)圖1.4-20(2)探究新知問題3:類比已有的直線、平面所成角的定義,你認為應如何合理定義兩個平面所成的角?進一步地,如何求平面和平面的夾角?圖1.4-21探究新知圖1.4-21(1)圖1.4-21(2)探究新知追問:你能說說平面與平面的夾角與二面角的區別和聯系嗎?探究新知空間角的向量求解小結范圍圖形公式異面直線所成角直線與平面所成角平面與平面所成角應用新知例8圖1.4-22【分析】應用新知例8圖1.4-22應用新知例8圖1.4-22應用新知例8圖1.4-22應用新知例8圖1.4-22應用新知方法規律

用向量法求兩平面夾角的大小,可以避免作出二面角的平面角這一難點，轉化為計算兩半平面法向量的夾角問題,具體求解步驟如下:(1)建立空間直角坐標系;(2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量;(3)求兩個法向量的夾角;(4)確定兩平面夾角的大小.

向量法求兩平面夾角的步驟變式練習【解析】應用新知應用新知變式練習應用新知變式練習應用新知例9圖1.4-23應用新知例9圖1.4-23圖1.4-24探究新知例9圖1.4-24應用新知例10圖1.4-25【分析】本題涉及的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計算兩個平面的夾角，這些問題都可以利用向量方法解決．由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當的空間直角坐標系，用向量及坐標表示問題中的幾何元素，進而解決問題．應用新知例10圖1.4-25圖1.4-26應用新知例10圖1.4-26探究新知例10圖1.4-26探究新知例10圖1.4-26探究新知例10圖1.4-26能力提升題型一異面直線所成角的求解例題解析【方法1，坐標法】能力提升題型一異面直線所成角的求解解析【方法2，基向量法】能力提升題型一異面直線所成角的求解解析【方法3，幾何法】應用新知方法總結求異面直線所成的角的兩種方法能力提升題型一異面直線所成角的求解變式訓練解析【方法一：向量法】能力提升題型一異面直線所成角的求解變式訓練解析【方法一：向量法】能力提升題型一異面直線所成角的求解變式訓練解析【方法二：幾何法】能力提升題型一異面直線所成角的求解變式訓練解析【方法二：幾何法】能力提升題型二空間直線與平面所成角的求解例題解析【方法1，坐標法】能力提升題型二空間直線與平面所成角的求解例題解析【方法1，坐標法】能力提升題型二空間直線與平面所成角的求解例題解析【方法1，坐標法】能力提升題型二空間直線與平面所成角的求解例題解析【方法2，幾何法】能力提升題型二空間直線與平面所成角的求解例題解析【方法2，幾何法】應用新知方法總結求空間直線與平面所成角的方法幾何法向量法能力提升題型二空間直線與平面所成角的求解變式訓練解析能力提升題型二空間直線與平面所成角的求解變式訓練解析能力提升題型二空間直線與平面所成角的求解變式訓練解析能力提升題型三平面角與二面角問題例題能力提升解析題型三平面角與二面角問題能力提升解析題型三平面角與二面角問題能力提升解析題型三平面角與二面角問題應用新知方法總結向量法求二面角的步驟能力提升變式訓練題型三平面角與二面角問題能力提升解析題型三平面角與二面角問題能力提升解析題型三平面角與二面角問題能力提升解析題型三平面角與二面角問題課堂小結作業布置鞏固作業：教科書第41頁練習第1題；

教科書第43-44頁習題1.4第9、10、14題.作業解析教科書第41頁練習第1題作業解析教科書第43頁習題1.4第9題作業解析教科書第43頁習題1.4第9題作業解析教科書第43頁習題1.4第9題作業解析教科書第43頁習題1.4第9題作業解析教科書第43頁習題1.4第10題作業解析教科書第43頁習題1.4第10題作業解析教科書第43頁習題1.4第10題作業解析教科書第43頁習題1.4第10題作業解析教科書第43頁習題1.4第10題作業解析教科書第43頁習題1.4第10題作業解析教科