第七章圓第26講與圓有關的性質1.

了解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念.2.

探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧.3.

探索圓周角與圓心角及其所對弧的關系，了解并證明圓周角定理及其

推論.4.

知道三角形的外心.5.

圓內接四邊形的對角互補.

1.

圓的相關概念(1)圓：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一

個端點A所形成的圖形叫做圓.(2)弦：圓上任意兩點間的線段.直徑：經過圓心的弦(直徑是圓中最長的

弦).(3)?。簣A上兩點間的部分.(半圓、優弧、劣弧、等弧)(4)圓心角：頂點在圓心上的角.(5)圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角.1.

(2024·連云港中考)如圖，將一根木棒的一端固定在點O，另一端綁一

重物.將此重物拉到點A后放開，讓此重物由點A擺動到點B，則此重物

移動路徑的形狀為(

C

)A.

傾斜直線B.

拋物線C.

圓弧D.

水平直線C2.

垂徑定理及其推論(1)定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.(2)推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.2.

(2023·遼寧中考)如圖，DC是☉O的直徑，弦AB⊥CD于點M，則下

列結論不一定成立的是(

B

)A.

AM＝BMB.

CM＝DMB3.

弧、弦、圓心角定理及其推論(1)定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等.(2)推論1：在同圓或等圓中，相等的弧所對的圓心角相等，所對的弦

相等.(3)推論2：在同圓或等圓中，相等的弦所對的圓心角相等，所對的優弧和

劣弧分別相等.

A.9°B.18°C.36°D.45°B4.

圓周角定理及其推論(1)定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.(2)推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等.(3)推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是

直徑.(4)推論3：圓內接四邊形的對角互補.4.(1)(2023·紹興中考)如圖，四邊形ABCD內接于圓O，若∠D＝

100°，則∠B的度數是

?.

A.140°B.120°C.110°D.70°

第(1)題圖

第(2)題圖80°

A【核心考點1】垂徑定理及其推論1.

(2023·東營中考)“圓材埋壁”是我國古代數學名著《九章算術》中的

一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸

道長一尺.問徑幾何？”轉化為現在的數學語言表達：如圖，CD為☉O

的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的

長度是

寸.26

【變式1】(2024·赤峰中考)如圖，AD是☉O的直徑，AB是☉O的弦，半

徑OC⊥AB，連接CD，交OB于點E.

若∠BOC＝42°，則∠OED的

度數是(

B

)A.61°B.63°C.65°D.67°B【核心考點2】弧、弦、圓心角定理及其推論2.

(2024·北京模擬)如圖，點A，B，C在☉O上，BC＝6，∠BAC＝

60°，則☉O的半徑為

?.第2題圖

【變式2】(2024·廣州名校一模)如圖，已知半☉O的直徑AB為3，弦AC

與弦BD交于點E，OD⊥AC，垂足為F，AC＝BD，則弦AC的長

為

?.

變式2圖【核心考點3】圓周角定理及其推論

A.10°，1C.15°，1第3題圖

C

A.40°B.25°C.20°D.15°變式3圖C4.

(2023·自貢中考)如圖，△ABC內接于☉O，CD是☉O的直徑，連接

BD.

若∠DCA＝41°，則∠ABC的度數是(

C

)A.41°B.45°C.49°D.59°第4題圖

C5.

(2023·宜昌中考)如圖，OA，OB，OC都是☉O的半徑，AC，OB交

于點D.

若AD＝CD＝8，OD＝6，則BD的長為(

B

)A.5B.4C.3D.2

第5題圖

B

第6題圖

7.

(2024·武漢中考)如圖，四邊形ABCD內接于☉O，∠ABC＝60°，

∠BAC＝∠CAD＝45°，AB＋AD＝2，求☉O的半徑.

解：如圖，延長AB至點E，使BE＝AD，連接BD，CE，連接CO并延

長交☉O于點F，連接AF，∵四邊形ABCD內接于☉O，∴∠ADC＋∠ABC＝∠ABC＋∠CBE＝180°，∴∠ADC＝∠CBE.

∵∠BAC＝∠CAD＝45°，∴∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠DCB＝90°，DC＝BC.

又∵BE＝AD，∴△ADC≌△EBC(SAS)，∴∠ACD＝∠ECB，AC＝CE.

∵AB＋AD＝2，∴AB＋BE＝AE＝2.解：如圖，延長AB至點E，使BE＝AD，連接BD，CE，連接CO并延

長交☉O于點F，連接AF，∵四邊形ABCD內接于☉O，∴∠ADC＋∠ABC＝∠ABC＋∠CBE＝180°，∴∠ADC＝∠CBE.

∵∠BAC＝∠CAD＝45°，∴∠CBD＝∠CDB＝45°，∴∠DCB＝90°，DC＝BC.

又∵BE＝AD，∴△ADC≌△EBC(SAS)，∴∠ACD＝∠ECB，AC＝CE.

∵AB＋AD＝2，∴AB＋