2025屆上海市寶山區建峰附屬高中高三第一次模擬考試數學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在直三棱柱中，己知，，，則異面直線與所成的角為（）A． B． C． D．2．現有甲、乙、丙、丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A． B． C． D．3．設，其中a，b是實數，則（）A．1 B．2 C． D．4．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．3 C． D．45．已知，則“直線與直線垂直”是“”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．如圖，棱長為的正方體中，為線段的中點，分別為線段和棱上任意一點，則的最小值為（）A． B． C． D．7．過拋物線的焦點F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設P為拋物線上的一動點，，若，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若，則λ＋μ的值為（）A． B． C． D．9．定義在上的奇函數滿足，若，，則（）A． B．0 C．1 D．210．如圖所示是某年第一季度五省GDP情況圖，則下列說法中不正確的是（）A．該年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山東省B．與去年同期相比，該年第一季度的GDP總量實現了增長C．該年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2個D．去年同期浙江省的GDP總量超過了4500億元11．已知，函數在區間內沒有最值，給出下列四個結論：①在上單調遞增；②③在上沒有零點；④在上只有一個零點.其中所有正確結論的編號是（）A．②④ B．①③ C．②③ D．①②④12．展開項中的常數項為A．1 B．11 C．-19 D．51二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．電影《厲害了，我的國》于2018年3月正式登陸全國院線，網友紛紛表示，看完電影熱血沸騰“我為我的國家驕傲，我為我是中國人驕傲！”《厲害了，我的國》正在召喚我們每一個人，不忘初心，用奮斗書寫無悔人生，小明想約甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厲害了，我的國》，并把標識為的四張電影票放在編號分別為1，2，3，4的四個不同的盒子里，讓四位好朋友進行猜測：甲說：第1個盒子里放的是，第3個盒子里放的是乙說：第2個盒子里放的是，第3個盒子里放的是丙說：第4個盒子里放的是，第2個盒子里放的是丁說：第4個盒子里放的是，第3個盒子里放的是小明說：“四位朋友你們都只說對了一半”可以預測，第4個盒子里放的電影票為_________14．已知向量，，若向量與向量平行，則實數___________．15．正四面體的各個點在平面同側，各點到平面的距離分別為1，2，3，4，則正四面體的棱長為__________．16．函數的值域為_________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正實數滿足.（1）求的最小值.（2）證明：18．（12分）設前項積為的數列，（為常數），且是等差數列.（Ｉ）求的值及數列的通項公式；（Ⅱ）設是數列的前項和，且，求的最小值.19．（12分）已知函數（1）求函數的單調遞增區間（2）記函數的圖象為曲線，設點是曲線上不同兩點，如果在曲線上存在點，使得①；②曲線在點M處的切線平行于直線AB，則稱函數存在“中值和諧切線”，當時，函數是否存在“中值和諧切線”請說明理由20．（12分）已知函數.（1）若，，求函數的單調區間；（2）時，若對一切恒成立，求a的取值范圍.21．（12分）如圖，D是在△ABC邊AC上的一點，△BCD面積是△ABD面積的2倍，∠CBD=2∠ABD=2θ．（Ⅰ）若θ=，求的值；（Ⅱ）若BC=4，AB=2，求邊AC的長．22．（10分）運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時，每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元（），運輸的路程為S（千米）.設用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用（包括運費和損耗費）分別為（元）、（元）、（元）.（1）請分別寫出、、的表達式；（2）試確定使用哪種運輸工具總費用最省.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由條件可看出，則為異面直線與所成的角，可證得三角形中，，解得從而得出異面直線與所成的角．【詳解】連接，，如圖：又，則為異面直線與所成的角.因為且三棱柱為直三棱柱，∴∴面，∴，又，，∴，∴，解得.故選C【點睛】考查直三棱柱的定義，線面垂直的性質，考查了異面直線所成角的概念及求法，考查了邏輯推理能力，屬于基礎題．2、B【解析】

求得基本事件的總數為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數為,利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，現有甲乙丙丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動，基本事件的總數為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為，故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中合理應用排列、組合的知識求得基本事件的總數和所求事件所包含的基本事件的個數，利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.3、D【解析】

根據復數相等，可得，然后根據復數模的計算，可得結果.【詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【點睛】本題考查復數模的計算，考驗計算，屬基礎題.4、C【解析】

首先把三視圖轉換為幾何體，該幾何體為由一個三棱柱體，切去一個三棱錐體，由柱體、椎體的體積公式進一步求出幾何體的體積.【詳解】解：根據幾何體的三視圖轉換為幾何體為：該幾何體為由一個三棱柱體，切去一個三棱錐體，如圖所示：故：.故選：C.【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式，考查了空間想象能力，屬于基礎題.5、B【解析】

由兩直線垂直求得則或，再根據充要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，“直線與直線垂直”則，解得或，所以“直線與直線垂直”是“”的必要不充分條件，故選B.【點睛】本題主要考查了兩直線的位置關系，及必要不充分條件的判定，其中解答中利用兩直線的位置關系求得的值，同時熟記充要條件的判定方法是解答的關鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎題.6、D【解析】

取中點，過作面，可得為等腰直角三角形，由，可得，當時，最小，由，故，即可求解.【詳解】取中點，過作面，如圖：則，故，而對固定的點，當時，最?。藭r由面，可知為等腰直角三角形，，故.故選：D【點睛】本題考查了空間幾何體中的線面垂直、考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.7、C【解析】

設直線AB的方程為，代入得：，由根與系數的關系得，，從而得到，同理可得，再利用求得的值，當Q，P，M三點共線時，即可得答案.【詳解】根據題意，可知拋物線的焦點為，則直線AB的斜率存在且不為0，設直線AB的方程為，代入得：.由根與系數的關系得，，所以.又直線CD的方程為，同理，所以，所以.故.過點P作PM垂直于準線，M為垂足，則由拋物線的定義可得.所以，當Q，P，M三點共線時，等號成立.故選：C.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系、焦半徑公式的應用，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意取最值的條件.8、B【解析】

建立平面直角坐標系，用坐標表示，利用，列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則D(0，0).不妨設AB＝1，則CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，解得則.故選：B【點睛】本題主要考查了由平面向量線性運算的結果求參數，屬于中檔題.9、C【解析】

首先判斷出是周期為的周期函數，由此求得所求表達式的值.【詳解】由已知為奇函數，得，而，所以，所以，即的周期為.由于，，，所以，，，.所以，又，所以.故選：C【點睛】本小題主要考查函數的奇偶性和周期性，屬于基礎題.10、D【解析】

根據折線圖、柱形圖的性質，對選項逐一判斷即可.【詳解】由折線圖可知A、B項均正確，該年第一季度總量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江蘇均第一.河南均第四.共2個.故C項正確；.故D項不正確.故選：D.【點睛】本題考查折線圖、柱形圖的識別，考查學生的閱讀能力、數據處理能力，屬于中檔題.11、A【解析】

先根據函數在區間內沒有最值求出或.再根據已知求出，判斷函數的單調性和零點情況得解.【詳解】因為函數在區間內沒有最值.所以，或解得或.又，所以.令.可得.且在上單調遞減.當時，，且，所以在上只有一個零點.所以正確結論的編號②④故選：A.【點睛】本題主要考查三角函數的圖象和性質，考查函數的零點問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.12、B【解析】

展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的，所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項為常數項，有3種情況：（1）5個括號都出1，即；（2）兩個括號出，兩個括號出，一個括號出1，即；（3）一個括號出，一個括號出，三個括號出1，即；所以展開項中的常數項為，故選B.【點睛】本題考查二項式定理知識的生成過程，考查定理的本質，即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、A或D【解析】

分別假設每一個人一半是對的，然后分別進行驗證即可．【詳解】解：假設甲說：第1個盒子里面放的是是對的，則乙說：第3個盒子里面放的是是對的，丙說：第2個盒子里面放的是是對的，丁說：第4個盒子里面放的是是對的，由此可知第4個盒子里面放的是；假設甲說：第3個盒子里面放的是是對的，則丙說：第4個盒子里面放的是是對的，乙說：第2個盒子里面放的是是對的，丁說：第3個盒子里面放的是是對的，由此可知第4個盒子里面放的是．故第4個盒子里面放的電影票為或．故答案為：或【點睛】本題考查簡單的合情推理，考查推理論證能力、分析判斷能力、歸納總結能力，屬于中檔題．14、【解析】

由題可得，因為向量與向量平行，所以，解得．15、【解析】

不妨設點A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點D，與AB，AC分別相交于點E，F，根據題意F為中點，E為AB的三等分點（靠近點A），設棱長為a，求得，再用余弦定理求得：，從而求得，再根據頂點A到面EDF的距離為，得到，然后利用等體積法求解，【詳解】不妨設點A，D，C，B到面的距離分別為1，2，3，4，平面向下平移兩個單位，與正四面體相交，過點D，與AB，AC分別相交于點E，F，如圖所示：由題意得：F為中點，E為AB的三等分點（靠近點A），設棱長為a，，頂點D到面ABC的距離為所以，由余弦定理得：，所以，所以，又頂點A到面EDF的距離為，所以，因為，所以，解得，故答案為：【點睛】本題主要考查幾何體的切割問題以及等體積法的應用，還考查了轉化化歸的思想和空間想象，運算求解的能力，屬于難題，16、【解析】

利用換元法，得到，利用導數求得函數的單調性和最值，即可得到函數的值域，得到答案．【詳解】由題意，可得，令，，即，則，當時，，當時，，即在為增函數，在為減函數，又，，，故函數的值域為：．【點睛】本題主要考查了三角函數的最值，以及利用導數研究函數的單調性與最值，其中解答中合理利用換元法得到函數，再利用導數求解函數的單調性與最值是解答的關鍵，著重考查了推理與預算能力，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用乘“1”法，結合基本不等式求得結果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.【詳解】（1）因為，所以因為，所以（當且僅當，即時等號成立），所以（2）證明：因為，所以故（當且僅當時，等號成立）【點睛】本題考查了基本不等式的應用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理論證能力，屬于中檔題.18、（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）當時，由，得到，兩邊同除以，得到.再根據是等差數列.求解.（Ⅱ），根據前n項和的定義得到，令，研究其增減性即可.【詳解】（Ⅰ）當時，，所以，即，所以.因為是等差數列.，所以，，令，，，所以，即；（Ⅱ），所以，，令，所以，，即，所以數列是遞增數列，所以，即.【點睛】本題主要考查等差數列的定義，前n項和以及數列的增減性，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）見解析（2）不存在，見解析【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論的范圍求出函數的單調區間即可；（2）求出函數的導數，結合導數的幾何意義，再令，轉化為方程有解問題，即可說明.【詳解】(1)函數的定義域為，所以當時，；，所以函數在上單調遞增當時，①當時，函數在上遞增②，顯然無增區間；③當時，，函數在上遞增，綜上當函數在上單調遞增.當時函數在上單調遞增；當時函數無單調遞增區間當時函數在上單調遞增(2)假設函數存在“中值相依切線”設是曲線上不同的兩個點，且則曲線在點處的切線的斜率為，.令，則，單調遞增，，故無解，假設不成立綜上，假設不成立，所以不存在“中值相依切線”【點睛】本題考查了函數的單調性，導數的幾何意義，考查導數的應用以及分類討論和轉化思想，屬于中檔題．20、（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為；（2）【解析】

（1）求導，根據導數與函數單調性關系即可求出.（2）解法一：分類討論：當時，觀察式子可得恒成立；當時，利用導數判斷函數為單調遞增，可知；當時，令，由，，根據零點存在性定理可得，進而可得在上，單調遞減，即不滿足題意；解法二：通過分離參數可知條件等價于恒成立，進而記，問題轉化為求在上的最小值問題，通過二次求導，結合洛比達法則計算可得結論.【詳解】（1）當，，，，令，解得，當時，，當時，，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）解法一：當