2025屆河南省商開二市高三下第一次測試數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在上的奇函數滿足，且當時，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-22．已知角的終邊與單位圓交于點，則等于（）A． B． C． D．3．下列函數中，既是奇函數，又在上是增函數的是（）．A． B．C． D．4．已知函數．下列命題：①函數的圖象關于原點對稱；②函數是周期函數；③當時，函數取最大值；④函數的圖象與函數的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是（）A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④5．橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個角度，水面的邊界即是橢圓.現有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略不計），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．6．在平行四邊形中，若則()A． B． C． D．7．為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度8．點在曲線上，過作軸垂線，設與曲線交于點，，且點的縱坐標始終為0，則稱點為曲線上的“水平黃金點”，則曲線上的“水平黃金點”的個數為（）A．0 B．1 C．2 D．39．設直線過點，且與圓：相切于點，那么（）A． B．3 C． D．110．已知集合，，若，則（）A． B． C． D．11．將函數的圖象向左平移個單位長度，得到的函數為偶函數，則的值為（）A． B． C． D．12．對兩個變量進行回歸分析，給出如下一組樣本數據：，，，，下列函數模型中擬合較好的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，的系數為____________.14．已知，，，的夾角為30°，，則_________.15．現有5人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有____種.（用數字作答）16．西周初數學家商高在公元前1000年發現勾股定理的一個特例：勾三，股四，弦五.此發現早于畢達哥拉斯定理五百到六百年.我們把可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數稱為勾股數.現從3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13這11個數中隨機抽取3個數，則這3個數能構成勾股數的概率為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中國，不僅是購物，而且從共享單車到醫院掛號再到公共繳費，日常生活中幾乎全部領域都支持手機支付.出門不帶現金的人數正在迅速增加。中國人民大學和法國調查公司益普索合作，調查了騰訊服務的6000名用戶，從中隨機抽取了60名，統計他們出門隨身攜帶現金（單位：元）如莖葉圖如示，規定：隨身攜帶的現金在100元以下（不含100元）的為“手機支付族”，其他為“非手機支付族”.（1）根據上述樣本數據，將列聯表補充完整，并判斷有多大的把握認為“手機支付族”與“性別”有關？（2）用樣本估計總體，若從騰訊服務的用戶中隨機抽取3位女性用戶，這3位用戶中“手機支付族”的人數為，求隨機變量的期望和方差；（3）某商場為了推廣手機支付，特推出兩種優惠方案，方案一：手機支付消費每滿1000元可直減100元；方案二：手機支付消費每滿1000元可抽獎2次，每次中獎的概率同為，且每次抽獎互不影響，中獎一次打9折，中獎兩次打8.5折.如果你打算用手機支付購買某樣價值1200元的商品，請從實際付款金額的數學期望的角度分析，選擇哪種優惠方案更劃算？附：0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．（12分）已知函數，，且．（1）當時，求函數的減區間；（2）求證：方程有兩個不相等的實數根；（3）若方程的兩個實數根是，試比較，與的大小，并說明理由．19．（12分）已知函數.其中是自然對數的底數.（1）求函數在點處的切線方程；（2）若不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍.20．（12分）在中，角的對邊分別為，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面積．21．（12分）已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且(1)求數列{a(2)求數列{1Sn}的前22．（10分）眼保健操是一種眼睛的保健體操，主要是通過按摩眼部穴位，調整眼及頭部的血液循環，調節肌肉，改善眼的疲勞，達到預防近視等眼部疾病的目的.某學校為了調查推廣眼保健操對改善學生視力的效果，在應屆高三的全體800名學生中隨機抽取了100名學生進行視力檢查，并得到如圖的頻率分布直方圖.（1）若直方圖中后三組的頻數成等差數列，試估計全年級視力在5.0以上的人數；（2）為了研究學生的視力與眼保健操是否有關系，對年級不做眼保健操和堅持做眼保健操的學生進行了調查，得到下表中數據，根據表中的數據，能否在犯錯的概率不超過0.005的前提下認為視力與眼保健操有關系？（3）在（2）中調查的100名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取8人，進一步調查他們良好的護眼習慣，在這8人中任取2人，記堅持做眼保健操的學生人數為X，求X的分布列和數學期望.附：0.100.050.0250.0100.005k2.7063.8415.0246.6357.879

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據f（x）是R上的奇函數，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【詳解】∵是定義在R上的奇函數，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時，；∴由奇函數性質可得；∴；∴時，；∴.故選：B.【點睛】本題考查利用函數的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據條件先推導出周期，利用函數的周期變換來求解，考查理解能力和計算能力，屬于中等題.2、B【解析】

先由三角函數的定義求出，再由二倍角公式可求.【詳解】解：角的終邊與單位圓交于點，，故選：B【點睛】考查三角函數的定義和二倍角公式，是基礎題.3、B【解析】

奇函數滿足定義域關于原點對稱且，在上即可.【詳解】A：因為定義域為，所以不可能時奇函數，錯誤；B：定義域關于原點對稱，且滿足奇函數，又，所以在上，正確；C：定義域關于原點對稱，且滿足奇函數，，在上，因為，所以在上不是增函數，錯誤；D：定義域關于原點對稱，且，滿足奇函數，在上很明顯存在變號零點，所以在上不是增函數，錯誤；故選：B【點睛】此題考查判斷函數奇偶性和單調性，注意奇偶性的前提定義域關于原點對稱，屬于簡單題目.4、A【解析】

根據奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數特點知②錯誤；函數定義域為，最值點即為極值點，由知③錯誤；令，在和兩種情況下知均無零點，知④正確.【詳解】由題意得：定義域為，，為奇函數，圖象關于原點對稱，①正確；為周期函數，不是周期函數，不是周期函數，②錯誤；，，不是最值，③錯誤；令，當時，，，，此時與無交點；當時，，，，此時與無交點；綜上所述：與無交點，④正確.故選：.【點睛】本題考查函數與導數知識的綜合應用，涉及到函數奇偶性和周期性的判斷、函數最值的判斷、兩函數交點個數問題的求解；本題綜合性較強，對于學生的分析和推理能力有較高要求.5、C【解析】

根據題意可知當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質即可確定此時橢圓的離心率，進而確定離心率的取值范圍.【詳解】當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時橢圓長軸長為，短軸長為6，所以橢圓離心率，所以.故選：C【點睛】本題考查了橢圓的定義及其性質的簡單應用，屬于基礎題.6、C【解析】

由，,利用平面向量的數量積運算,先求得利用平行四邊形的性質可得結果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

，，,

因為,

所以

,

，所以，故選C.【點睛】本題主要考查向量的幾何運算以及平面向量數量積的運算法則，屬于中檔題.向量的運算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.7、D【解析】

通過變形，通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據題意，故只需把函數的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數的圖象，故答案為D.【點睛】本題主要考查三角函數的平移變換，難度不大.8、C【解析】

設,則,則,即可得,設,利用導函數判斷的零點的個數,即為所求.【詳解】設,則,所以,依題意可得,設,則,當時,,則單調遞減；當時,,則單調遞增,所以,且,有兩個不同的解,所以曲線上的“水平黃金點”的個數為2.故選:C【點睛】本題考查利用導函數處理零點問題,考查向量的坐標運算,考查零點存在性定理的應用.9、B【解析】

過點的直線與圓：相切于點，可得.因此，即可得出.【詳解】由圓：配方為，，半徑.∵過點的直線與圓：相切于點，∴；∴；故選：B.【點睛】本小題主要考查向量數量積的計算，考查圓的方程，屬于基礎題.10、A【解析】

由，得，代入集合B即可得.【詳解】，，，即：，故選：A【點睛】本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關系，屬于基礎題.11、D【解析】

利用三角函數的圖象變換求得函數的解析式，再根據三角函數的性質，即可求解，得到答案．【詳解】將將函數的圖象向左平移個單位長度，可得函數又由函數為偶函數，所以，解得，因為，當時，，故選D．【點睛】本題主要考查了三角函數的圖象變換，以及三角函數的性質的應用，其中解答中熟記三角函數的圖象變換，合理應用三角函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．12、D【解析】

作出四個函數的圖象及給出的四個點，觀察這四個點在靠近哪個曲線．【詳解】如圖，作出A，B，C，D中四個函數圖象，同時描出題中的四個點，它們在曲線的兩側，與其他三個曲線都離得很遠，因此D是正確選項，故選：D．【點睛】本題考查回歸分析，擬合曲線包含或靠近樣本數據的點越多，說明擬合效果好．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、16【解析】

要得到的系數，只要求出二項式中的系數減去的系數的2倍即可【詳解】的系數為.故答案為：16【點睛】此題考查二項式的系數，屬于基礎題.14、1【解析】

由求出，代入，進行數量積的運算即得.【詳解】，存在實數，使得.不共線，.，，，的夾角為30°，.故答案為：1.【點睛】本題考查向量共線定理和平面向量數量積的運算，屬于基礎題.15、36【解析】

先優先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法，在此條件下，計算甲不排在兩端的排法，最后相減即可得到結果.【詳解】由題意得5人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，有種排法，其中甲排在兩端，有種排法，則6人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，且甲不排在兩端，共有（種）排法.所以本題答案為36.【點睛】排列、組合問題由于其思想方法獨特，計算量龐大，對結果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細膩、考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題.16、【解析】

由組合數結合古典概型求解即可【詳解】從11個數中隨機抽取3個數有種不同的方法，其中能構成勾股數的有共三種，所以，所求概率為.故答案為【點睛】本題考查古典概型與數學文化，考查組合問題，數據處理能力和應用意識.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）列聯表見解析，99%；（2），；（3）第二種優惠方案更劃算.【解析】

（1）根據已知數據得出列聯表，再根據獨立性檢驗得出結論；（2）有數據可知，女性中“手機支付族”的概率為，知服從二項分布，即，可求得其期望和方差；（3）若選方案一，則需付款元，若選方案二，設實際付款元，，則的取值為1200，1080，1020，求出實際付款的期望，再比較兩個方案中的付款的金額的大小，可得出選擇的方案.【詳解】（1）由已知得出聯列表：，所以，有99%的把握認為“手機支付族”與“性別”有關；（2）有數據可知，女性中“手機支付族”的概率為，，；（3）若選方案一，則需付款元若選方案二，設實際付款元，，則的取值為1200，1080，1020，，，，選擇第二種優惠方案更劃算【點睛】本題考查獨立性檢驗，二項分布的期望和方差，以及由期望值確定決策方案，屬于中檔題.18、（1）（2）詳見解析（3）【解析】

試題分析：（1）當時，，由得減區間；（2）因為，所以，因為所以，方程有兩個不相等的實數根；（3）因為，，所以試題解析：（1）當時，，由得減區間；（2）法1：，，，所以，方程有兩個不相等的實數根；法2：，，是開口向上的二次函數，所以，方程有兩個不相等的實數根；（3）因為，，又在和增，在減，所以．考點：利用導數求函數減區間，二次函數與二次方程關系19、（1）；（2）.【解析】

(1)利用導數的幾何意義求出切線的斜率，再求出切點坐標即可得在點處的切線方程；（2）令，然后利用導數并根據a的情況研究函數的單調性和最值.【詳解】（1），，∴，又，∴切線方程為，即.（2）令，，①若，則在上單調遞減，又，∴恒成立，∴在上單調遞減，又，∴恒成立.②若，令，∴，易知與在上單調遞減，∴在上單調遞減，，當即時，在上恒成立，∴在上單調遞減，即在上單調遞減，又，∴恒成立，∴在上單調遞減，又，∴恒成立，當即時，使，∴在遞增，此時，∴，∴在遞增，∴，不合題意.綜上，實數的取值范圍是.【點睛】本題主要考查導數的幾何意義及構造函數解決含參數的不等式恒成立時求參數的取值范圍問題，第二問的難點是構造函數后二次求導問題，對分類討論思想及化歸與等價轉化思想要求較高，難度較大，屬拔高題.20、（1）；（2）【解析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用二倍角的正弦公式與正弦的和角公式化簡求解即可.(2)由(1)有,根據正弦定理可得,進而求得的值,再根據三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）由,得,得,由正弦定理得,顯然,同時除以,得.所以.所以.顯然,所以,解得.又,所以.（2）若,由正弦定理得,得,解得.又,所以.【點睛】本題主要考查了正余弦定理與面積公式在解三角形中的運用,需要根據題意用正弦定理進行邊角互化,再根據三角恒等變換進行化簡求解等.屬于中檔題.21、（1）an=2n【解析】

(1)先設出數