第二章函數第九節函數模型及其應用·考試要求·1．在實際情境中，會選擇合適的函數模型刻畫現實問題的變化規律．2．結合現實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數函數、一次函數、指數函數增長速度的差異，理解“對數增長”“直線上升”“指數爆炸”等術語的現實含義．必備知識落實“四基”

××××2．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對三個函數的增長速度進行比較，下列選項中正確的是(

)A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f(x)＞h(x)＞g(x)B

核心回扣三種函數模型的性質性質函數y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調遞增單調遞增單調遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩圖象的變化隨x的增大逐漸表現為與y軸平行隨x的增大逐漸表現為與x軸平行隨n值變化各有不同值的比較存在一個x0，當x＞x0時，有logax＜xn＜ax.注意點：“直線上升”是勻速增長，其增長量固定不變；指數增長__________，其增長量成倍增加，常用“指數爆炸”來形容；對數增長__________，其增長速度緩慢．先慢后快先快后慢核心考點提升“四能”

利用函數的圖象刻畫實際問題1．(2024·泰安模擬)某工廠從2015年開始，近八年以來生產某種產品的情況是：前四年年產量的增長速度越來越慢，后四年年產量的增長速度保持不變，則該廠這種產品的年產量y與時間t的函數圖象可能是(

)√B

解析：由題意可得圖象的幾何特征為從左向右看每個點的切線斜率應逐漸減小，然后斜率變為一個固定的值，符合此特征的只有選項B中的圖象．故選B．2．已知正方形ABCD的邊長為4，動點P從點B開始沿折線BC-CD-DA向點A運動．設點P運動的路程為x，△ABP的面積為S，則函數S＝f(x)的圖象是(

)D

解析：依題意，知當0≤x≤4時，f(x)＝2x；當4<x≤8時，f(x)＝8；當8<x≤12時，f(x)＝24－2x.觀察四個選項知D項符合要求．√3．(2022·北京卷)在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現綠色冬奧做出了貢獻．如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態與T和lg

P的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是bar.下列結論中正確的是(

)A．當T＝220，P＝1026時，二氧化碳處于液態B．當T＝270，P＝128時，二氧化碳處于氣態C．當T＝300，P＝9987時，二氧化碳處于超臨界狀態D．當T＝360，P＝729時，二氧化碳處于超臨界狀態√D

解析：當T＝220，P＝1026時，lg

P>3，此時二氧化碳處于固態，故A錯誤；當T＝270，P＝128時，2<lg

P<3，此時二氧化碳處于液態，故B錯誤；當T＝300，P＝9987時，lg

P與4非常接近，此時二氧化碳處于固態，故C錯誤；當T＝360，P＝729時，2<lg

P<3，此時二氧化碳處于超臨界狀態，故D正確．故選D．判斷函數圖象與實際問題變化過程相吻合的方法(1)構建函數模型法：當根據題意易構建函數模型時，先建立函數模型，再結合模型選圖象．(2)驗證法：根據實際問題中兩變量的變化快慢等特點，結合圖象的變化趨勢，驗證是否吻合，從中排除不符合實際的情況，選擇符合實際情況的答案．

月份用氣量煤氣費1月4m34元2月25m314元3月35m319元若4月該家庭使用了20m3的煤氣，則其煤氣費為________元．

已知函數模型解決實際問題的解題關鍵(1)認清所給函數模型，弄清哪些量為待定系數．(2)根據已知利用待定系數法，確定模型中的待定系數．(3)利用該函數模型，借助函數的性質、導數等求解實際問題，并進行檢驗．

√

指數函數與對數函數模型的應用技巧(1)要先學會合理選擇模型．指數函數模型是增長速度越來越快(底數大于1)的一類函數模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數函數模型．(2)在解決指數函數、對數函數模型問題時，一般先需要通過待定系數法確定函數解析式，再借助函數的圖象和性質求解最值問題．

應用函數解決實際問題的步驟①審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇函數模型．②建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的函數模型．③解模：求解函數模型，得出數學結論．④還原：將數學結論還原為實際意義的問題．1.(2024·廣東一模)假設甲和乙剛開始的“日能力值”相同，之后甲通過學習，“日能力值”都在前一天的基礎上進步2%，而乙疏于學習，“日能力值”都在前一天的基礎上退步1%.那么，大約需要經過(