專項素養綜合練(九)利用四種數學思想解決線段和角的問題類型一方程思想1.(2024遼寧彰武期末)已知:如圖,B、C是線段AD上兩點,且

AB∶BC∶CD=2∶4∶3,M是AD的中點,CD=6cm,求線段MC

的長.

解析由AB∶BC∶CD=2∶4∶3,設AB=2xcm,BC=4xcm,CD=3xcm,則3x=6,解得x=2.所以AD=AB+BC+CD=2x+4x+3x=18(cm).因為點M是AD的中點,所以DM=

AD=

×18=9(cm).所以MC=DM-CD=9-6=3(cm).2.(2023湖北武漢江夏期末)如圖,∠AOB=110°,OD平分∠BOC,∠EOC=3∠AOE.(1)若∠AOD=95°,求∠AOE的度數;(2)若OF平分∠EOB,∠DOE=65°,求∠FOB的度數.

解析

(1)因為∠AOD=95°,∠AOB=110°,所以∠BOD=∠AOB-∠AOD=110°-95°=15°,因為OD平分∠BOC,所以∠BOC=2∠BOD=2×15°=30°,所以∠AOC=∠AOB-∠BOC=110°-30°=80°,因為∠EOC=3∠AOE,∠AOC=∠AOE+∠COE,所以∠AOC=4∠AOE,所以∠AOE=

∠AOC=

×80°=20°.(2)因為∠DOE=65°,∠AOB=110°,所以∠AOE+∠BOD=∠AOB-∠DOE=110°-65°=45°,設∠AOE=x°,則∠EOC=3x°,∠BOD=(45-x)°,又因為OD平分∠BOC,所以∠COD=∠BOD=(45-x)°,因為∠EOC+∠COD=∠DOE=65°,所以3x°+(45-x)°=65°,所以x=10,即∠AOE=10°,因為OF平分∠EOB,所以∠FOB=

∠EOB=

(∠AOB-∠AOE)=

×(110°-10°)=50°.類型二分類討論思想3.(2024福建福州晉安期末)已知:A,B,C三點在同一直線上,線

段AB=7cm,BC=4cm,請畫出圖形,并求出A,C兩點間的距離.解析①當C點在線段AB上時,如圖:

AC=AB-BC=7-4=3(cm);②當C點在線段AB的延長線上時,如圖:

AC=AB+BC=7+4=11(cm).4.(2024湖南衡陽期末)如圖,已知∠AOB=120°,OC是∠AOB

內的一條射線,且∠AOC∶∠BOC=1∶2.(1)求∠AOC的度數;(2)過點O作射線OD,若∠AOD=

∠AOB,求∠COD的度數.

解析

(1)因為∠AOC∶∠BOC=1∶2,∠AOB=120°,所以∠AOC=

∠AOB=

×120°=40°.(2)因為∠AOD=

∠AOB,∠AOB=120°,所以∠AOD=60°,當OD在∠AOB內時,∠COD=∠AOD-∠AOC=20°;當OD在∠AOB外時,∠COD=∠AOC+∠AOD=100°.綜上,∠COD的度數為20°或100°.類型三整體思想5.(雙中點模型)(2024湖北黃岡期末)A,B,C三點在同一條直線

上,且線段AB=9cm,點M為線段AB的中點,線段BC=3cm,點N

為線段BC的中點,求線段MN的長.解析①當點C在線段AB上時,如圖:

因為點M為線段AB的中點,點N為線段BC的中點,所以BM=

AB,BN=

BC,所以MN=BM-BN=

(AB-BC)=3cm;②當點C在線段AB的延長線上時,如圖:

因為點M為線段AB的中點,點N為線段BC的中點,所以BM=

AB,BN=

BC,所以MN=BM+BN=

(AB+BC)=6cm.綜上,線段MN的長為3cm或6cm.6.(雙角平分線模型)如圖,已知∠AOB=120°,∠COD=50°,OM

平分∠BOD,ON平分∠AOC.(1)若∠BOD=30°,則∠MON=

°.(2)若∠COD可以在∠AOB內部繞點O任意旋轉(射線OC與

射線OA不重合,射線OD與射線OB不重合),則∠MON的大小

是否會改變?試說明理由.解析

(1)85.(2)不改變.理由如下:因為∠AOB=120°,∠COD=50°,所以∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=120°-50°=70°,因為OM平分∠BOD,ON平分∠AOC,所以∠2=

∠BOD,∠3=

∠AOC,所以∠2+∠3=

(∠BOD+∠AOC)=35°,所以∠MON=∠COD+∠2+∠3=50°+35°=85°,故∠MON的大小不會改變.類型四運動思想7.(2022山東濟南長清期末)以直線AB上一點O為端點作射線OC,使∠BOC=70°,將一個直角三角板的直角頂點放在點O處.(注:∠DOE=90°)(1)如圖①,若直角三角板DOE的一邊OD在射線OB上,則∠COE=

°;(2)如圖②,將直角三角板DOE繞點O按逆時針方向轉動到某

個位置,若OC恰好平分∠BOE,求∠COD的度數;(3)如圖③,將直角三角板DOE繞點O轉動,如果OD始終在∠BOC的內部,試猜想∠BOD和∠COE有怎樣的數量關系,并說明理由.

圖①圖②圖③解析

(1)20.(2)因為OC平分∠BOE,∠BOC=70°,所以∠EOC=70°.因為∠DOE=90°,所以∠COD=∠DOE-∠EOC=20°.(3)∠CO